八级数学下册 第一章 三角形的证明 3 线段的垂直平分线（第2课时）教学课件 （新版）北师大版

1、第2课时 3 线段的垂直平分线 1.1.能够证明三角形三边的垂直平分线相交于一点能够证明三角形三边的垂直平分线相交于一点. . 2.2.会作以会作以a a为底、高为为底、高为h h的等腰三角形的等腰三角形. . AB C D 1.1.线段的垂直平分线的性质定理线段的垂直平分线的性质定理 和判定定理和判定定理. . 2.2.线段的垂直平分线的作法线段的垂直平分线的作法. . 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成 之后你发现了什么？之后你发现了什么？ 发现：发现：三角形三边的垂直平三角形三边的垂直平 分线交于一点这一点到三分线交于一点这一点到三 角形三个

2、顶点的距离相等角形三个顶点的距离相等 【操作操作】 剪一个三角形纸片，通过折叠找剪一个三角形纸片，通过折叠找 出每条边的垂直平分线出每条边的垂直平分线. . 结论：结论：三角形三条边的垂直平分三角形三条边的垂直平分 线相交于一点线相交于一点. . 怎样证明这怎样证明这 个结论呢个结论呢? ? 点拨：点拨：要证明三条直线相交要证明三条直线相交 于一点，只要证明其中两条于一点，只要证明其中两条 直线的交点在第三条直线上直线的交点在第三条直线上 即可即可. . 命题命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 已知：在已知：在ABCABC中中,AB,BC,AB,BC的

3、垂直平分线相交于点的垂直平分线相交于点P P；求求 证：点证：点P P也在也在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. . 证明：证明：连接连接APAP，BPBP，CP.CP. 点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, , PA=PB.PA=PB.同理同理,PB=PC.,PB=PC. PA=PC.PA=PC. 点点P P在线段在线段ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上, , AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分线相交于一点的垂直平分线相交于一点. . A A B BC C P P 【证明证明】 定理定理: :三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交

4、于一点, ,并并 且这一点到三个顶点的距离相等且这一点到三个顶点的距离相等. . 如图如图, ,在在ABCABC中中, , c,a,bc,a,b分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平的垂直平 分线分线, , c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P,且且 PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平三角形三条边的垂直平 分线相交于一点分线相交于一点, ,并且这一点到三并且这一点到三 个顶点的距离相等个顶点的距离相等).). A A B BC C P P a a b b c c 【结论结论】 1.1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三分别作出锐角三角形、

5、直角三角形、钝角三角形三 边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. . 锐角三角形锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外三边的垂直平分线交点在三角形外. . 【做一做做一做】 2 2已知：已知：ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADAD是是BCBC边上边上 的中线，的中线，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ADAD于于O.O. 求证：求证：OA=OB=OCOA=OB=OC D D

6、C CB B A A O O 【证明证明】AB=ACAB=AC，ADAD是是BCBC的中线，的中线， ADAD垂直平分垂直平分BC(BC(等腰三角形底边上的等腰三角形底边上的 中线垂直平分底边中线垂直平分底边) ) 又又ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ADAD于点于点O O， OA=OB=OC(OA=OB=OC(三角形三条边的垂直平分三角形三条边的垂直平分 线交于一点，并且这一点到三个顶点线交于一点，并且这一点到三个顶点 的距离相等的距离相等) ) 【例例1 1】（】（1 1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作 出三角形吗出三角形吗? ?如果能

7、，能作几个如果能，能作几个? ?所作出的三角形都全等吗所作出的三角形都全等吗? ? 已知：三角形的一条边已知：三角形的一条边a a和这边上的高和这边上的高h.h. 求作：求作：ABCABC，使，使BC=aBC=a，BCBC边上的高为边上的高为h.h. A A1 1 D D C CB B A A a a h h (D)(D)C CB B A A a a h h A A1 1 D D C C B B A A a a h h A A1 1 【例题例题】 提示：提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. . （2 2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰已

8、知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰 三角形吗三角形吗? ?如果能，能作几个如果能，能作几个? ?所作出的三角形都全等所作出的三角形都全等 吗吗? ? 这样的等腰三角形有无数多个这样的等腰三角形有无数多个. .根根 据线段垂直平分线上的点到线段两个端据线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等，只要作底边的垂直平分点的距离相等，只要作底边的垂直平分 线，取它上面除底边的中点外的任意一线，取它上面除底边的中点外的任意一 点，和底边的两个端点相连接，都可以点，和底边的两个端点相连接，都可以 得到一个等腰三角形得到一个等腰三角形 如图所示，这些三角形不都全等如图所示，这些三角形不都全等 (3)

9、(3)已知等腰三角形的底及底边上的高已知等腰三角形的底及底边上的高, ,你能用尺你能用尺 规作出等腰三角形吗？能作几个？规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并这样的等腰三角形只有两个，并 且它们是全等的，分别位于已知底边且它们是全等的，分别位于已知底边 的两侧的两侧 【例例2 2】已知：线段已知：线段a a，h.h. 求作：求作：ABCABC，使，使AB=ACAB=AC，BC=aBC=a，高，高 AD=h.AD=h. 作法：作法： N N M M D D C C B B a a h h A A 【例题例题】 1 1作作BC=aBC=a； 2 2作线段作线段BCBC的垂直平

10、分线的垂直平分线MNMN 交交BCBC于于D D点；点； 3 3以以D D为圆心，为圆心，h h长为半径作长为半径作 弧交弧交MNMN于于A A点；点； 4 4连接连接ABAB，AC.AC. ABCABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形. . 1.1.（烟台（烟台中考）中考）如图，等腰如图，等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC， A=20A=20线段线段ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于D D，交，交ACAC于于 E E，连接，连接BEBE，则，则CBECBE等于（等于（ ） A A8080 B B7070 C C6060 D D5050 C C B B A A D

11、D E E C C 2.2.下列说法错误的是下列说法错误的是 ( )( ) A.A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那 么过这点与顶点的直线必垂直于底边么过这点与顶点的直线必垂直于底边 C.C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称 【解析解析】选选D.D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线等边三角形关于任一边上的垂直平分线

12、成轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴成轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴 对称，一般三角形不是轴对称图形，对称，一般三角形不是轴对称图形，D D选项没有说明选项没有说明 三角形的形状，所以三角形的形状，所以D D选项说法错误选项说法错误. . 3.3.如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，B B22.522.5,AB,AB的垂直平的垂直平 分线交分线交BCBC于点于点D D，DFACDFAC于点于点F,F,并与并与BCBC边上的高边上的高AEAE交交 于于G. G. 求证：求证：EGEGEC. EC. F F A A B B C C E E G G D D 【证明证明

13、】连接连接AD.AD.点点D D在线段在线段ABAB的垂直平分线上，的垂直平分线上， DADADB,DABDB,DABB B22.522.5, , ADEADEDABDABB B4545. . AEBC,DAEAEBC,DAEADEADE4545, , AEAEDE.DE.又又DFAC,DFAC, DFCDFCAECAEC9090, , CCCAECAEC CCDFCDF9090, , CAECAECDF,CDF, DEGDEGAEC,AEC, EGEGEC.EC. F F A A B B C C E E G G D D 4 4. .已知：线段已知：线段a.a. 求作：求作：ABCABC，使，使ACB=90ACB=90，AC=BC=a.AC=BC=a. 【解析】【解析】作法：（作法：（1 1）作直线）作直线l. . （2 2）在直线）在直线l上任取一条线段上任取一条线段DE.DE. （3 3）作线段）作线段DEDE的垂直平分线的垂直平分线MNMN交交 DEDE于于C.C. （4 4）在射线）在射线CECE上截取上截取CA=a,CA=a, 在射线在射线CMCM上截取上截取CB=a.CB=a. （5 5）连接）连接AB.AB.