〈常微分方程》应用题及答案

1、 应用题(每题10分) 1、 设f (x)在(，)上有定义且不恒为零，又f (x)存在并对任意x,y恒有 f(x y) f(x) f (y)，求 f (x) o 2、设 F(x) f(x)g(x),其中函数 f (x),g(x)在( f (x), f (x)g(x), g (x) (1)求F(x)所满足的一阶微分方程； 求出F(x)的表达式。 f(0) ,)内满足以下条件 0, f(x) g(x) 2ex 3x 3、已知连续函数f (x)满足条件f (x) e2x 4、已知函数f (x)在(0, )内可导，f (x) 0, -dt 3 lim f (x) ，求 f (x)。 1，且满足 him

2、0 1 f(x hx)E f (x) 1 ex，求 f (x)。 5、 设函数f (x)在(0, )内连续,f (1) 5,且对所有x,t 2 (0,),满足条件 6、 7、 9、 xt 1 f(u)du t 1 f(u)du 求连续函数f(x),使它满足 已知可微函数f(t)满足1 设有微分方程 y 2y y y(x)使之在(，1)与 设位于第一象限的曲线y t x 1 f(u)du，求 f(x) o 1 0 f(tx)dt Jdt t3f (t) t f(x) f(x) (x),其中(X) sinx x。 1，试求 f (x) o 2 x 1 。试求在(,)内的连续函数 0 x 1 1,内

3、部满足所给方程，且满足条件y(0)0。 72 1 2，2 f (x)过点 ，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的 交点为Q,且线段PQ被x轴平分。 (1) 求曲线y f (x)的方程； (2) 已知曲线y sinx在0,上的弧长为I ,试用 10、求微分方程xdy (x 2y)dx 0的一个解y l表示曲线y f (x)的弧长s o y(x),使得由曲线y y(x)与直线 1, x 2以及x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周的旋转体体积最小。 丄上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为 x 11、设曲线L位于xOy平面的第一象限内 3 3 A,已知| MA | | OA |，且L过点 ，-

4、2 2 12、设曲线L的极坐标方程为r r(), ,求L的方程。 M (r,)为L上任一点，M 0(2,0)为L上一定点，若 极径OM。，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于 L上M。，M两点间弧长值的一 半,求曲线L的方程。 x 0 f(t)dt, 求f (x)的一般表达式。 15、 设函数 f(x),g(x)满足 f(x) g(x), g(x)2exf (x),且 f(0)0, g(x) 0 1 x 16、设函数y g(o)2,求 f(x) (1 x)2 y(x)在( dx。 数。试将x x(y)满足的微分方程 )内具有二阶导数，且y 0,x x(y)就是y d2x 尹(y dy y(x

5、)的反函 dx sin x) dy 3 0,变换为y y(x)所 13、设y x与 y xlnx就是二阶齐次线性方程y” p(x)y q(x)y 0 的两个解， 求p(x), q(x)以及该方程的通解。 14、设对任意x 0,曲线y f (x)上点(x, f(x)处的切线在y轴上的截距等于 满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0) o, y(0) 3的解。 2 17、已知连续函数f(X)满足 f (tx)dt x 解:设u=tx,则原式化为1 f (u)du x x 0 x f (x) f (t)dt，求 f (x)、 x 1 X f(x) 0f(t)dt x 0 x

6、即 2 0f (t)dt xf(x) 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导 对上式两端关于 -dx f(x) e x ( 所求函数为 求导，得一阶线性方程f(x) 1 f(x) 3x x 1 dx 3xe x dx c) cx 3x2c为任意常数 224 18、 、对于任意简单闭曲线l,恒有住2xyf (x )dx f (x ) x dy 0 L 其中f (x)在(，)有连续的导数，且f (0)=2、求f (x)、 19、设 f (x)满足 f (x) =f (1-x),求 f (x) x 20、设(x) ex o(x u) (u)du,其中(x)为连续函数，求(x) 21、人工繁

7、殖细菌，其增长速度与当时的细菌数成正比。 (1)如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？ 44 如在3小时的时候，有细菌数10 个,在5小时的时候有4 10个，那么在开始时有多少个 细菌？ 应用题答案 1、解：首先从导数定义出发，证明f(x)处处可微，并求出f(x)与f(X)满足的关系，最后定 出 f(x)。 由于f (x)不恒为零，设f (x0 0) 0,因而f(x。)f(x。 0) f(x)f(0)得到 f(0) 1 又由f (0)存在,对任意x有 f(x x)f(x) f(x) lim0 x 0 x lim f(x)f ( x) 1 x 0 由此可见f (x)处处可

8、微且满足 解得 f (x) 又由 f(0) 2、解:(1) F (x) cef(0)x 1所以 lim f(x)f( x) f(x) x 0 f(x) f (0) -J f (x) f (x) f (0)即 - f (0)dx f (0) x e 、 2 f(x) f(x)g (x) g2(x) 2 g(x)2f(x)g(x) 于就是F(x)满足一阶线性微分方程 (2)按一阶线性微分方程的通解公式 2dx dx f (x)g(x) f(x) f2(x) (2e2)2 2y 2F(x) 4e2x 2dxx F (x) e 4e e e 2x 4e4xdx C e2x Ce 2x 由 F(0) f

9、 (0) g(0)0 得 于就是F (x)e2x 3、解：方程两端同时对 x求导，得到 由题设知道 C 2x e 1, f(0)0 f (x) 1。 3f(x) 2x 2e 故令 f (x) y 即得 y yx0 3y 2e2x 1 3 dx e C 2e2x 3dx dx e3x C 2e xdx Ce3x 2e2x 由 y 于就是 3 2e2x 4、解：设y 得到 C f (x) 3e3x 1 f(x hx) h 口 ,则 f(x) ln 丄ln h f(x hx) f(x) n ml。 Hh lim In h 0h f (x hx) f(x) xln f(x hx) In f(x) m

10、lh exln f (x) hx xln f(x) 丄 ,一，小xln f(x)x1 由已知条件得 eex ,因此xln f(x)- ,即卩ln f (x) x 解之得 f (x) Ce 1 由 lim f (x)1,得 C 1o 故 f(x) e 。 x 5、解:由题意可知，等式的每一项都就是 x的可导函数 tf(xt) tf(x) ，于就是等式两边对 x求导，得 t 1 f(u)du 5 在式中令x 1,由f(1) 得 2 tf(t) 5t 2 t 1 f (u)du， 则f (t)就是(0, )内的可导函数 ,(2)式两边对t求导，得 f(t) tf(t) f(t), f(t) 5 o

11、2t 上式两边求积分 ，得 f(t) 5lnt 由 f (1) I，得C o于就是 2 f(t) 6、解:令u tx, du xdt ,原方程变为 5 (I nt 1) o 2 1 x 0 f(u)du f (x) xsinx f (u)du 0 两边求导数，得到 xf (x) 2 . x sinx、 f(x) xf 2sin x 积分得 f(x) f(x) 2cosx (x) xcosx 2xsin x 2 x cosx f(x) xd s inx 2cosx xsinx cosx 7、解:首先从题设可求得 y f(x) ，得 du 变量还原得 又因为f (1) cosx f(1) 1, 2

12、 -dy e y 2x 1，代入上式可得 3dx xsinx C、 方程两边求导得3 f(x) f(x)、 x f(x) x 考虑x du dy 2 dy y 或者 c=5 3 x(y)，方程可化为伯努利方程 dy dx dy x3 2 3 3y 2 3y f 2(x) 3 f3(x) 3 f2(x) 2 x 3 8、解：当x 1时，y 2y f3(x) 2dx C1 2e 2dx dx e2x C1 2e 2xdx C1e2x1 由 y(0) 1 通解为 代入得 C1 y 2y 0 2dx C?e 所以 e2x 1 (x 1) C2e2x y 1 处y(x)就是连续的 C2e2 e2 就是若

13、补充函数值 所以 C2 (x lim x 1 0 2 e 、 1) C2e2x C2e2 丿m(e2x1 e2 1、 就是所求的函数。 9、解：(1)曲线 y f (x) 在点 为法线上任意一点的坐标 故Q点坐标为 o，y 积分得 由yx2 y(x) 1，则得到( 2x e (1 e2) 2x e P(x,y)处的法线方程为 ，令X 0,则 -。由题设知 y 2y2 1 ,故曲线 (2)曲线 y sinx在0, 上的弧长为 )上连续函数就是所求的函数 y 曲线y f (x)的参数方程为 故其弧长为 s2si n2 1cos2 d 2 1 -(X x),其中(X,Y) y x y y C ( c

14、为任意常数)。 0,即 2ydy xdx 2 2 f (x)的方程为x 2y 1 (x 0, cos2 xdx、 y 0)。 -2 12 cos , sin 2 0“ sin2 d 1 2 0 1一2 t) 10、解:原方程可以改写为一阶线性方程 dy dx 应用其通解公式得 2dx e x 2 -y x ?dx x dx x2 C 4 dxCx2 x x Cx2 x, 1, x 2, 体积为 V(C) 2 1 (x 2 2 Cx ) dx 0所围成的平面图形绕 2 % 2 31 C 5 x轴旋转一周的旋转体 7 V（c） 62 C 5 17 20解得驻点 C0 75 福，由于V(C)5 C0

15、 75 就是唯 的极小值点，因而也就是最小值点,于就是得所求曲线为 124 75 2 x 。 124 M的坐标为由切线MA的方程为 Y y y （X x） 0,则Yy xy,故点A的坐标为 （0, y xy） 由 | MA| |OA| 有|y xy| 、(X 0)2 (y y 化简后得 2yy 1y2 x x。 令 2 z y ，得 dz z dx x x。 解得 1dx z e xxe 1dx x dx C x( x C)。 即 2 y x2 Cx 。 由于所求曲线在第一象限内 ，故 11、解:设点 令X xy)2 y - Cx x2 。 3 再以条件y 3 代入得 3。于就是曲线方程为 1

16、2、解:由已知条件得 两边对 从而 求导得 dr 1 2 2 r r2d 因为 rr21 dr 由条件 r(0)2，知 C r2 .1 arcs in r 、.3x x2(0 x 3)、 r2 r2d r2 C, 6，故所求曲线 所以 1 arcsin 一 C r L的方程为rsin -m 1。 13、解：由yi 1, yi0, y2 In x 1, y?丄;分别代入方程得到 x p(x) xq(x) 0 (1) 1 p(x)(l nx 1) q(x)xln x 0 x (1) lnx (2) 得p(x) 丄即 1 P(x) x x 1 把 p( x) 代入(1)式得 q(x) 4 x x 所

17、以原方程为 1 y -y 1 2 y 0 x x 又由于y-i / y2 In x不为常数,y1, y2就是齐次方程的基本解组 原方程的通解为 yGx qxln x。 14、解：曲线y f (x)上点(x,f(x)处的切线方程为过 Y f(x) f(x)(X x) 令X 0,得截距Y f(x) xf (x)。 1x 由题意,知f(t)dt x 0 f(x) xf (x), 即 x 0 f(t)dt x f (x)xf(x) 上式对x求导，化简得 xf(x) f(x) 0,即 -J (xf(x)0。 dx 积分得 xf (x) G，因此 f (x) C1I nx C2(其中G,C2为任意常数)。

18、 15、解:(解法一)由就是 x 2e , f(x) f (0) f(0) f(x) 0, 2, f(x) g(x)得 解之得 f (x)g(x) 2ex f(x),于就是有 f (x) si nx x cosx e 。 g(x) 1 x f(x) (1 x)2 dxg(x)(1 0 X)f(x)dx (1 x)2 f (x)(1 x) f(x) dx (1 x)2 f(x) 0 1 x f(x) 1 x 5 f(0) 0 (解法二)同解法，得 f (x) sin x cosx 又 回半dx ddx 0 1 x (1 x)20 1 x 0 f(x)d f(x) 3dx 1 x f() 1 1

19、ex 1 f(0) 16、解:(1)由反函数的求导公式 dx 两端关于x求导，得 dy dx dy 由此得到 代入原微分方程得 方程y y 0 设方程(*)的特解为 d2x d? y 的通解为 y d2x ()2 2 (y) dy dx dyy (y)2 sin x 。 y空 dy y (y)3 o (*) C2e x。 代入方程(*)求得A % Acosx B-,故 2 0, 从而方程(*)的通解就是 yGex Gex Bsin x, 1 % sinx, 2 1 sin x。 2 C2e x 由 y(0) 0, y(0) C1 1, C2 1。故所求值问题的解为 17、解:设u=tx,则原式化为- x x 0f (u)du x2 f (x) 1 . sinx。 2 1 x 0f(t)dt x 即 2 0f (t)dt xf(x) 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导 对上式两端关于 x求导，得一阶线性方程 1 f (x) f(x) x 3x 所求函数为 1dx 3xe x dx c) cx 3x2 1dx f(x) ex ( 18、解:根据积分与路径无关的充要条件有 c为任意常数 xyf (x ) 一 f (x ) x yx f(x2)2 2 2x x 即 2xf (x2) 4x3 f(x2) 2 x f(x2) 2x2 设 x2=t 现 f (t) dt 2t