高中物理八大解题方法之五：极值法

1、高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师戴儒京高中物理中的极值问题， 是物理教学研究中的活跃话题。 本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。一、二次函数求极值二次函数 y ax 2bx c a( xb ) 2b24ac ，当 xb2a4a2a时， y 有极值4ac b 2，若 a0，为极小值，若a2）【解法 2】用动能定理解：在物块M下落过程中，设 M落地时的速度大小为 ，根据动能定理MgL sin 300mg Lsin 300 1( Mm)v 2 ，将 Mkm 代入，解得22k12k12 gLv2( kgL . 在物块 M落地后，小物块 m上滑到顶端的过程中，k11)设 m射出管口时速度

2、大小为，根据动能定理：mg L sin 3001 mv021 mv2 ，222解得。（ 3）平抛运动，。解得因为，所以，得证。【注意】第（ 2）问中要分 M落地前和落地后两段计算，因为两段的加速度不相等。在用动能定理时，也要分两个阶段，有的同学企图毕其功于一役，写出动能定理 MgL sinmgLsin1 mv02 ，解得 v0(k1) gL是错误的，错2误的原因在于认为M落地后速度为 0，这个速度为 0，是 M与地面碰撞以后的结果，并不是 M下落和 m上滑的结果。【点评】本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律。难度：中等偏难。例 4. 水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为 =3

3、7斜滑道 AB和水平滑道BC平滑连接（设经过 B 点前后速度大小不变），起点 A 距水面的高度 H=7.0m，BC长 d=2.0m，端点 C 距水面的高度 h=1.0m一质量 m=50kg的运动员从滑道起点 A无初速地自由滑下，运动员与 AB、BC 间的动摩擦因数均为 =0.1 （取重力加速度 g=10m/s2，sin37 =0.6 ，cos37=0.8 ，运动员在运动过程中可视为质点）- 10 -（ 1）求运动员沿 AB下滑时加速度的大小 a；（ 2）求运动员从 A 滑到 C的过程中克服摩擦力所做的功 W和到达 C 点时速度的大小 v ；（ 3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高

4、度h 和长度 d 到图中BC位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道BC距水面的高度 h【解析】运动员沿AB下滑时，受力情况如图所示Ff =FN=mgcos根据牛顿第二定律： mgsin- mgcos=ma得运动员沿 AB下滑时加速度的大小为：a=gsin - gcos=5.2 m/s2（ 2） 运动员从 A 滑到 C 的过程中，克服摩擦力做功为：Wf=mgcosH h（H-h）sin+ mgd= mgd+cot = 0.1 5010 10=500J12由动能定理得： mg（H-h）-Wf =mv2解得运动员滑到 C 点时速度的大小v=10m/s（ 3）在从 C点滑出至落到水面

5、的过程中， 运动员做平抛运动的时间为t ，h= 1 gt 2， t=2h2g下滑过程中克服摩擦做功保持不变Wf=500J- 11 -根据动能定理得： mg（H-h） -Wf = 1mv2，解得 v= 2g(H1 h)2运动员在水平方向的位移： x=vt 2 g(H1- h)2h =4(H1- h)hg【解法 1】配方法：令 y ( H 1 - h )h(hH 1) 2(H1)224当 h = H 1 3m时，水平位移最大为 x 6m。 2【解法 2】求导法：令 y( H1- h )hh 2( H1) h ，求导 y(h )2h H1 ,当 h = H 1 3m时，水平位移最大为 x 6m。2答

6、：（ 1）运动员沿 AB下滑时加速度的大小a 为 5.2m/s 2；（2）运动员从 A 滑到 C的过程中克服摩擦力所做的功 W为 500J，到达 C 点时速度的大小为 10m/s；（3）滑道 BC距水面的高度h为 3m【注意】为什么说下滑过程中克服摩擦做功保持不变呢？因为克服摩擦做功 Wf=mgcos L mgd=mgLcos +d, 其大小只与水平方向的总长度有关，而与水平滑道高度 h 无关。归纳总结：平抛运动中的极值问题，一般解法如下：首先根据平抛运动分解的原理列出平抛运动的方程：xv0t ， y1 gt 2 ，然2后根据其它条件结合以上两个公式，把物理问题转化为求极值的数学问题。之后，用

7、数学方法求极值。方 法 1 ： 配 方 法 。 对 形 如 yax2bx c 的 二 次 函 数 ， 配 方 为y a( xb )24acb2，则当 xb 时， y 有最小值 ymin4acb 2。2a4a2a4a方法 2: 求导法。对形如 yax 2bxc 的二次函数，求其导数y(x)2axb ，令其等于 0，得当 xb时，代入得 y 的最小值 ymin 4acb 2。2a4a最后探究极值的物理意义，把数学问题回归到物理问题。六、小船渡河问题- 12 -位移最小问题。设河宽为 d，小船在静水中的速度为 V 船 ，水流速度为 V 水 ，小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？分两种情况

8、研究：（1）当 v船v水 时【解析】求位移最小问题。在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图2。当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即 V1=V 水 ，小船的合速度 （ V2）就沿垂直河岸方向，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d。而渡河时间ddt=。v2vsin图 2河宽 60m,小船在静水中的速度为5m/s, 水流速度为 3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？【解析】 如图 2，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V 水 ，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，min=d=60(m) 。而 V船

9、与河岸的夹角 =arccos(V水/V船)=530。S这时小船实际渡河的时间 t=d/V2=d/ （ V 船 sin ） =60/4=15(s).（ 2）当 v船v水 时，设河宽 60m,小船在静水中的速度3m/s, 水流速度 5m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？【解析】因为不论船的航向如何，船速在平行河岸方向上的分速度不能把水速平衡掉，所以船总是被水冲向下游，那么怎样才能使漂下的距离最短呢？如图 3 所示，设船头v 船与河岸成角。合速度v 与河岸成角。可以看出：角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下角最大呢？以船的出发点A 为起点沿河岸做v 水- 13 -的速度矢量，以v 水的矢端 O为圆心， v 船 为半径画圆，当v 合与圆相切（切点为C）时，角最大，设船头方向（与OC平行）与河岸的夹角为，则 cosv船。v水图 3设船沿河漂下的最短距离为x ，渡河的最短位移为s，根据相似三角形对应边成比例，有 dxs。v船v水2 - v船2v 水所以，船沿河漂下的最短距离为xdv水2- v船2，代入数据得 x60480m ，v船3此时渡河的最短位移：dv水，代入数据得 s605s3100m 。v船（ 1）求极值