2020_2021学年高中数学第1章计数原理1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用课件新人教A版选修2_320210317192

1、1.1分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 1.1.1分类加法计数原理与 分步乘法计数原理及其简单应用 目标定位重点难点 1.掌握分类加法计数原理和分步 乘法计数原理 2会用分类加法计数原理与分 步乘法计数原理分析和解决一些 简单的实际问题. 重点：分类加法计数原 理与分步乘法计数原理 的简单应用 难点：正确理解“完成 一件事”的含义. 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同 的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共 有N_种不同的方法 推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法在第n

2、 类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N _种不同的方法 mn m1m2mn 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N_ 种不同的方法 推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同 的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法 mn m1m2mn 1某学生去书店，发现2本好书，决定至少要买其中一 本，则购买方法共有() A1种B2种 C3种D4种 【答案】C 2某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另 一个门出，则不同走法的种数是()

3、 A8B7 C11D12 【答案】D 3一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一 名同学参加学科比赛，共有不同的选派方法_种 【答案】8 4有4名同学参加3项不同的比赛，每名学生必须且只需 参加一项比赛，则不同的结果有_种 【答案】81 【例1】 一班有学生50人，其中男生30人；二班有学生60 人，其中女生30人；三班有学生55人，其中男生35人 (1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？ (2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学 生会体育部部长，有多少种不同的选法？ 【解题探究】利用分类加法计数原理求解即可 分类加法计数原理 【解析】(1)选一名学生任学生会

4、主席有3类不同的选法 第一类，从一班选一名，有50种不同的方法； 第二类，从二班选一名，有60种不同的方法； 第三类，从三班选一名，有55种不同的方法 故任选一名学生任学生会主席的选法共有506055 165种 (2)选一名学生任学生会体育部部长有3类不同的选法 第一类，从一班男生中选有30种不同的方法； 第二类，从二班男生中选有30种不同的方法； 第三类，从三班女生中选有20种不同的方法 故任选一名学生任学生会体育部部长有30302080种 不同的方法 8 运用分类加法计数原理要注意“完成一件事”是什么事， 完成这件事可以有哪些办法 1有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色 小球5

5、个，黄色小球4个，若从三个袋子中任取一个小球，有多 少种不同的取法？ 【解析】从三个袋子中任取一个小球，有3类不同方案 第1类，从第一个袋子中任取一个红色小球，有6种不同的 取法； 第2类，从第二个袋子中任取一个白色小球，有5种不同的 取法； 第3类，从第三个袋子中任取一个黄色小球，有4种不同的 取法 其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取一个小球都能独 立地完成“任取一个小球”这件事，根据分类加法计数原理， 不同的取法共有65415(种) 【例2】 某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视 机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1 台检验，有多少种不同的选法？ 【解题探究

6、】利用分步乘法计数原理求解即可 分步乘法计数原理 【解析】从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步 完成 第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的方法； 第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的方法； 第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的方法 根据分步乘法计数原理，得10812960(种) 因此共有960种不同的方法 8 运用分类加法计数原理要注意“完成一件事”是什么事， 完成这件事可以有哪些办法. 【例3】 某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1 种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小 号的各1人，有多少种不同的选法？ 【解题探究】本题涉及分类加法计数原理与

7、分步乘法计数 原理，在分类中又包含分步 两个原理的应用 【解析】由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会 钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号 的有2人按“多面手”的选法分为两类 (1)“多面手”入选，则有628种选法； (2)“多面手”不入选，则有6212种选法 因此选法共有81220(种) 8 在解决计数问题时，应认真阅读题目内容，弄清楚题意， 才能正确地选择解题方法，另外要把两个原理理解透彻，否则 解题时易发生分类不全或分类有叠加的现象，即“重复”和 “遗漏” 3设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩 画 (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同选法

8、？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几 种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种的画布置房间，有几种不同 的选法？ 【解析】(1)分为三类，从国画中选，有5种不同选法；从 油画中选，有2种不同选法；从水彩画中选，有7种不同选 法根据分类加法计数原理，共有52714种选法 (2)分为三步，国画、油画、水彩画各有5,2,7种不同选 法根据分步乘法计数原理，共有52770种选法 (3)分为三类，1幅选自国画，1幅选自油画，有5210种 选法；1幅选自国画，1幅选自水彩画，有5735种选法；1 幅选自油画，1幅选自水彩画，有2714种选法再根据分 类加法计数原理，共有1035

9、1459种不同选法 【示例】 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学 3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多 少种不同的冠军获得情况？ 未选准分步依据致错 错解一：分4步完成这件事第1步，第一名同学去夺3门 学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或全 部，因此，共有4种不同情况； 同理，第2,3,4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠 军，都各自有4种不同情况 由分步乘法计数原理知，共有444444256种不 同的冠军获得情况 错解二：分4步完成这件事第1步，第一名同学去夺3门 学科的冠军，有3种不同情况； 同理，第2,3,4步分别由其他3名同学去夺这3门学

10、科的冠 军，都各自有3种不同情况 由分步乘法计数原理知，共有33333481种不同 的冠军获得情况 错因分析：要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞 赛的冠军且每门学科只有一名冠军产生”但错解一、二中都 有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形， 另外错解一中还可能出现某一学科没有冠军产生的情况 正解：可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化 学知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3 门学科”，只有3门学科各产生一名冠军，才完成了这件事， 而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分3步 第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中一名同学获 得，有4种不同的

11、获得情况； 第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的 同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是 由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况； 第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得 情况由分步乘法计数原理知，共有4444364种不同 的冠军获得情况 警示：用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题 时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据 1“分类”是加法原理的标志，要做到： (1)遵从分类标准，即在同一标准下进行分类 (2)遵从分类原则，即分类不重不漏，要注意类与类之间的 独立性和并列性分类时要注意满足两条基本原则：完成这 件事的任何一种方法必

12、须属于某一类；分别属于不同两类的 两种方法是不同的方法 2“分步”是乘法原理的标志： (1)遵从分步标准，即一类中的分步标准的一致性 (2)遵从分步原则，即分步要做到步骤关联，步骤连续，步 骤独立，确保对每一类事件的分步不重不漏 1.(2019年内蒙古月考)书架上有不同的语文书10本，不同 的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同 的选法有() A.22种 B.350种 C.32种 D.20种 【答案】A 【解析】任选一本有三类选法，即选语文书、英语书、数任选一本有三类选法，即选语文书、英语书、数 学书，不同的选法分别有学书，不同的选法分别有10种，种，7种，种，5种，由分类加

13、法计数原种，由分类加法计数原 理可得不同的选法有理可得不同的选法有10+7+5=22种种.故选故选A. 2.(2019年天津期末)四大名著是中国文学史上的经典作 品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读 月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室 借阅四大名著红楼梦、三国演义、水浒传、西 游记(每种名著至少有5本)，若每人只借阅一本名著，则不同 的借阅方案种数为( ) A.45 B.54C.44D.55 【答案】A 【解析】每一名同学都有每一名同学都有4种选择，由分步乘法计数原理种选择，由分步乘法计数原理 可得不同的借阅方案种数为可得不同的借阅方案种数为44444=45.故选故选A. 3.(2020年郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个 区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】4 320 【解析】分步进行：分步进行：1区域有区域有6种不同的涂色方法，种不同的涂色方法，2区域区域 有有5种不同的涂色方法，种不同的涂色方法，3区域有区域有4种不同的涂色方法，种不同的涂色方法，4区域有区域有 3种不同的涂色方法，种不同的涂色方法，6区域有区域有4种不同的涂色方法，种不同的涂色方法，5区域有区域有3 种不同的涂色方法种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原