高中数学二项式定理题型总结

1、二项式定理知识点归纳1二项式定理及其特例：（ 1） (a b)nCn0anCn1 anb L Cnr an r brLC nnbn (n N ) ，（ 2） (1 x) n1 Cn1x L Cnr xrL xn2二项展开式的通项公式：Tr 1 C nr a n r br (r0，1，2， n)3常数项、有理项和系数最大的项：r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对4 二项式系数表（杨辉三角）(a b)n 展开式的二项式系数，当 n 依次取1,2,3时，二项式系数表， 表中每行两端都是11以，除外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项

2、式系数的性质：( a b) n 展开式的二项式系数是Cn0，Cn1，Cn2， Cnn Cnr可以看成以 r 为自变量的函数f (r ) ，定义域是 0,1,2, L, n ，例当 n6时，其图象是7 个孤立的点（如图）（ 1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnn m ）直线 rn 是图象的对称轴n2n1n1（ 2）增减性与最大值： 当 n 是偶数时，中间一项C n2 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项Cn2， Cn2取得最大值（ 3）各二项式系数和： (1x)n1 Cn1 xLCnr xrLxn ，令 x 1 ，则 2nCn0Cn1Cn2L CnrL Cnn题型讲

3、解例 1 如果在（x +1）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项24 x解：展开式中前三项的系数分别为nn(n 1)nn(n 1)，得 n=8 设第 r +1项为有理项，1，8，由题意得 2=1+228116 3 rrx4T r 1 =C 82r，则 r 是 4 的倍数，所以 r =0，4， 8 ，有理项为 T1=x4，T5= 35x，T9=18256x2点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例 2求式子（ x + 1 2）3 的展开式中的常数项| x |解法一：（ x+1 2） 3=（ x +1 2）（ x+1 2）（ x + 1 2）得到常数

4、项的情况有：三个括号| x | x | x | x |中全取 2，得（ 2）3 ；一个括号取 x，一个括号取1，一个括号取 2，得 C 13 C 12 （ 2）= 12，常数项为（2）| x |3+（ 12）= 20 解法二：（ |x|+ 1 2）3=（| x | 1）6设第 r+1 项为常数项， 则 T r 1 =C 6r （ 1）r（ 1 ）r |x| 6r =| x | x | x |（ 1） 6 C 6r |x| 6 2r，得 62r=0， r =3 T3+1= （ 1） 3 C 63= 20例 344） 4 的展开式中的常数项；求（ 1+x+x2+x3）（ 1x） 7 的展开式中 x

5、4 的系数；求（ x+求（ 1+x） 3+ （1+x）4 + +（ 1+x） 50 的展开式中 x3 的系数x解：原式1x44 1=14 （ x+4=（ 1 x ） 7= （ 1 x4 ）（ 1 x） 6 ，展开式中x4 的系数为（ 1 ） 4C 6 4 ）1xx4=( x 24x4) 4 =( 2 x) 8， 展 开 式 中 的 常 数 项 为 C84 2 4 （ 1 ） 4=1120 方 法 一： 原 式x 4x4(1 x) 3 (1x) 481(1 x) 51(1 x) 3展开式中x3 的系数为 C4方法二：原展开式中x3 的系数为=1=x51(1 x)C 33 +C 34 +C 35

6、+ +C 350 =C 44 +C 34 + +C 350 =C 45 +C 35 + +C 350 = =C 451点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键19例 4求 x2展开式中 x9 的系数2xrrr3解：Trrx2 9 r1r18 2r1xrCr1x18 3 r 令1213r 9, 则r931C92xC 9 x292183, 故x 的系数为: C922点评： C nr a nr br是 ab n 展开式中的第 r1项， r0,1,2,n 注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，13第 4项的二项式系数是C93 ，第 4 项 x9 的系数为 C93，二者并不相同2例 5

7、求3x32100展开所得 x 的多项式中，系数为有理数的项数解： Tr 1C100r3x3 2rC100rx100 r3100rr100r , rZ ，r 为 3 和 2 的倍数，即22 3 依题意：100 r0r100 ， rN ，r0,6,96 ，构成首项为23为 6的倍数，又0，公差为6，末项为96的等差数列，由960( n1)6得 n17 ，故系数为有理数的项共有17 项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例 6求 x 23x25展开式中 x 的系数x23x55x25解法一：2x 1C50 x5C51x 4L C54 x C55C50 x5C51 x4 2 L C54

8、x 24C55 25故 展 开 式 中 含 x的 项 为C54 x C 5525C55C 54 x24240 x ，故展开式中 x 的系数为x23x 25x225240 ，解法二：3xTr 1C5r x25r3x r 0 r 5, r N， 要 使 x指 数 为 1 ， 只 有 r1 才 有 可 能 ， 即2T2C51x 2243x15x x84 2x664x 44 8x 224， 故 x 的 系 数 为 1524240 ， 解 法 三 ：x23x25x23x2x23x 2x23x2x23x2x23x2 ，由多项式的乘法法则，从以上 5 个括号中，一个括号内出现x ，其它四个括号出现常数项，则

9、积为x 的一次项，此时系数为 C51 3C 4424240点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用例 7设 an=1+q+q2n 1 （n N* ，q 1），A n=C1122nn+ +qn a +C n a +C n alimAn（ 1）用 q 和 n 表示 An；（ 2）（理）当 3q1 时，求 n2nn 1 1 qn1 q11 q221 q nn解：（1）因为 q1，所以 an=1+q+q2+ +q=1q于是 An =qC n+qC n + +1C n11q=1（C 1n+C n2 + +C nn ）（ C1n q+C n2 q2 + +C nn q

10、n）=1（ 2n 1）（ 1+q）n 1=11 2n（1+ q）n1q1qq（2） An=1 1（ 1q ） n 因为 3q1，且 q 1，所以 0| 12q|1 所以 nlimAn=1q2n1q22 n1例 8已知 Cn02Cn122 Cn22n Cnn729，求 C n1C n2C nn分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n解 ： 在ab nCn0 a nCn1a n1bCn2 an2 b2Cnnb n中 ， 令 a1, b2得12 n7293n729n612Ln12L6C60C61C62LC66C6026163CnCnCnC6C6C6点评：记住课本结论：C n0Cn1C n2

11、C nn2n ， C n0C n2C n4C n1C n3C n52n 1注意所求式中缺少一项，不能直接等于264a 2 x2a3 x3a4 x 4 ，求 a022例 9已知 2 x3a0a1 xa2a4a1a3解： 令 x1时，有 24a0a1a2a3a4 ，令 x1时，有234a0a1a2a3 a43 a0 a2a42a1a32a0 a1a2a3a4a0a1a2a3a4 a0a2a42a1a3223441 412 3点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解

12、决问题的目的望同学们在学习中举一反三例 10求 x2 y 7展开式中系数最大的项解：设第 r1项系数最大，则有Tr1项系数Tr 项系数，即C 7r2rC 7r1 2r 1C 7r2rC 7r1 2r 1Tr1 项系数Tr 2项系数7!2r7 !2r 121r16r ! 7 r !r 1 ! 7 r 1 !r8 r3 又0 r7, rN , r57!7 !2r2r 112r137 rr 13r ! 7 r !r 1 ! 7 r 1 !故系数最大项为T6C75 x 225 y 5672x2 y5点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n 为偶数时中间项 Tn的二项

13、式系数最21大；当 n 为奇数时，中间两项 Tn1， Tn 1的二项式系数相等且为最大1212小结：1 在使用通项公式 T r 1 =C nra nr br 时，要注意：通项公式是表示第r1 项，而不是第r 项 展开式中第 r +1项的二项式系数 C r与第 r+1 项的系数不同 通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五n个元素 在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意 n 是正整数， r 是非负整数且 r n2 证明组合恒等式常用赋值法学

14、生练习1 已知（ 13x） 9=a0+a1 x+a2 x2+ +a9x9，则 a0 + a1 + a2+ + a9等于A 29B 49C 39D 1解析： x 的奇数次方的系数都是负值，a0 +a1 + a2 + + a9 =a0 a1+a2 a3+ a9 已知条件中只需赋值 x= 1即可 答案： B2 2x+ x ）4 的展开式中 x3 的系数是A 6B 12C 24D 48解析：（ 2x+x ） 4=x2（ 1+2 x ）4，在（ 1+2x ） 4 中， x 的系数为 C 42 22=24 答案： C3 （2x3 1）7 的展开式中常数项是xA 14解析：设（ 2x31xB 14C42D

15、42）7 的展开式中的第r+1项是 T r 1 =C 7r（ 2x3） 7 r （1rx)） r=C 7r2 7 r3( 7（ 1） r x 2，x当 r +3（ 7r ） =0，即 r=6 时，它为常数项，C 67 （ 1）6 21 =14 答案： A24 一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有 20 个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A 20B 219C 220D 2201解析： C 120 +C 202+ +C 2020 =220 1 答案： D5 已知（ x a ） 8 展开式中常数项为1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数

16、的和是xA 28B 38C 1 或 38D 1 或 28解析： T=C r x8 r（ ax 1） r =（ a）r C r x8 2r ，令 82r =0， r =4 ， （ a） 4C 4 =1120 a= 2 r 1 8 8 8316 已知（ x 2+x3） n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中 x5 的系数是 _ （以数字作答）31解析：（ x 2+x3 ）n 的展开式中各项系数和为128，令 x=1，即得所有项系数和为 2n=128 ， n=7 设该二项展开式中316311r的 r+1 项为 T r 1 =C 7r （x 2） 7 r （ x3 ） r =C 7r x6，令

17、 6311r =5 即 r=3 时， x5 项的系数为 C 37 =35 答案： 3567若（ x+1）n=xn+ +ax3 +bx2 +cx+1（n N* ），且 ab=31，那么 n=_解析： ab=C n3 C n2 =3 1，n=11 答案： 118（x 1 ）8 展开式中 x5 的系数为 _xr1r r 83r解析：设展开式的第8 r（ r2r +1 项为 T r 1 =C 8 x）=（ 1）C 8 x答案： 28x9 若（ x3+184，则 n=_）n 的展开式中的常数项为令 8 3r =5 得 r=2 时，x5 的系数为（ 1）2C 82 =282x x39r解析： T r 1

18、=C nr （x3 ）n r （x2 ）r =C nr x3n2，令 3n 9r =0， 2n=3r n 必为 3 的倍数， r 为偶数 试验可知 n=9，2r =6 时， C nr =C 96 =84 答案： 910 已知（ x lg x +1）n 展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为 20000，求 x 的值解：由题意 C nn 2 C nn 1 C nn =22，即 C n2 C 1nC n0=22， n=6 第 4 项的二项式系数最大 C 36 （ x lg x ）3=20000，即x3lgx=1000 x=10 或 x= 11011 若（ 1+x）6 （1 2x

19、）5=a0 +a1x+a2x2 + +a11x11 求：（1）a1+a2 +a3+ +a11；（ 2）a0+a2+a4+a10解：（1）（1+x） 6（ 12x）5 =a0+a1x+a2x2+a11x11 令 x=1，得a0 +a1+a2+ +a11= 26 ，又 a0 =1，所以 a1+a2+ +a11= 26 1= 65（ 2）再令 x= 1，得a0 a1+a2 a3+ a11=0 +得 a0+a2+a10= 1 （ 26+0） = 322点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1 或 112 在二项式（ axm+bxn）12（ a0， b 0，m、n 0）中有 2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（ 1）求它是第几项； （2）求 a 的范围b解：（1）设 T r 1 =C 12r（ axm）12r （bxn）r=C 12r a12r brxm（12 r ）+ nr 为常数项， 则有 m（ 12 r）+nr=0，即 m（12 r ） 2mr=0， r=4，它是第 5 项（ 2）第 5 项又是系数最大的项，有 C434512 a8b4C12 a9b3C12 a8b4 C12 a7b5 121110984121