高等数学考研知识点总结5

1、第五讲中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。3、 了解定积分中值定理。二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值 .（2）零点定理设 f(x) 在a、b连续，且 f(a)f(b) 0，则至少存在一点 ,c (a、b)，使得 f(c)=02、 罗尔定理若函数 f (x) 满足：（1） f (x) 在 a, b

2、上连续（2） f (x) 在 ( a, b) 内可导（3） f (a)f (b)则一定存在(a, b) 使得 f ( ) 03、 拉格朗日中值定理若函数f ( x) 满足：（ 1） f (x) 在 a,b 上连续（ 2） f (x) 在 (a,b) 内可导则一定存在(a,b) ，使得 f (b)f (a)f ( )(ba)4、 柯西中值定理若函数f ( x), g( x) 满足 :（ 1）在 a,b 上连续（ 2）在 (a,b) 内可导（ 3） g ( x) 0f (b)f (a)f ()则至少有一点(a,b) 使得 g (b)g(a)g ( )15、 泰勒公式如果函数f ( x) 在含有 x

3、0 的某个开区间 (a,b) 内具有直到n 1 阶导数则当 x 在(a,b) 内时f ( x) 可以表示为 xx0 的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x) 之和，即f (x)f (x0 )f (x0)(x x0 )1 f (x0)(x x0 )21 f (n) (x0)(x x0 )nRn (x)f (n 1) ()2!n!R (x)(x x )n 1n(n 1)!0( 介于 x0 与 x 之间 )其中在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1展开的基点；2展开的阶数；3余项的形式其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式而基点

4、和阶数，要根据具体的问题来确定6、 积分中值定理若 f(x) 在a、b上连续，则至少存在一点ca、b ，使得bf(x)dx=f(c)(b-a)a三、 典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使 f ( )0 或方程 f(x)=0有根）方法：大多用介值定理f(x)满足：在 a,b 上连续； f(a)f(b)0.思路： 1）直接法2 ）间接法或辅助函数法例 1、设 f ( x) 在a,b 上连续， a x1x2xn b, ci 0(i 1,2, , n) ，证明存在 a, b ，使得c1 f (x1 ) c2 f ( x2 )cn f ( xn )f ( )c2cnc12例 2、设 b

5、 a 0, f ( x) 在a,b 上连续、单调递增，且 f ( x)0 ，证明存在(a,b)使得a2 f (b) b2 f ( a) 2 2 f ( )* 例 3、设 f (x) 在a,b上连续且 f (x)0 ，证明存在(a, b) 使得b1bf (x)dx 。f ( x) dxf (x)dx2aa.例 4、设 f ( x), g( x) 在a,b上连续，证明存在( a,b) 使得bg( )f (x)dxf ()g ( x) dxa例 5、设 f(x) 在0,1上连续，且 f(x)0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 a,b 使得bbf ( x)g (x)dxf ( ) g (x)

6、dxaa题型二、验证满足某中值定理3 x2,x1例 8、验证函数 f ( x)2，在0，2上满足拉格朗日中值定理，并求1 ,x1x满足定理的4题型三、 证明存在,使 f ( n) ( )0 (n=1,2, )方法： 1、用费马定理2 、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）3 、用泰勒公式思路：可考虑函数 f ( n 1 ) ( x )例 9、设 f ( x) 在 a,b上可导且 f (a) f (b)0，证明至少存在一个( a,b) 使得 f ( ) 0例 10、设 f ( x) 在 0,3 上连续，在（0,3）内可导，且 f (0)f (1) f ( 2) 3, f ( 3) 1 ，证明存在一个(

7、0,3) 使得 f ( ) 0* 例 11、设 f (x) 在0,2上连续，在（ 0，2）内具有二阶导数且limf ( x )1( 0,2) 使得 f ( ) 00, 2 f ( x )dx f (2) ，证明存在1cos x1x225题型四、证明存在,使 G ( , f ( ), f ( )0方法： 1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b 分离）思路： 1）换为 x2）恒等变形，便于积分3）积分或解微分方程4）分离常数： F ( x, f ( x )CF ( x , f ( x ) 即为辅助函数(1) 用罗尔定理1) 原函数法 :步骤：

8、将换为 x;恒等变形，便于积分；求原函数，取 c=0； 移项，得 F(x).例 12、设 f ( x), g( x) 在a,b上连续，在 (a,b)内可导，且 g ( x)0(x (a, b) ，求证存在(a,b) 使得 f (a)f ( )f ( )g ( )g(b)g ( )例 13、（ 0134）设 f(x) 在 0,1上连续， (0,1)内可导，且1f (1)k k xe1 x f (x)dx, k10证明：在 (0,1)内至少存在一点 , 使 f ( ) (11 ) f ( ).6例 14、 设 f(x) 在a,b 上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)f(b)0,f(a)abf

9、() 0, g(x)在 a,b上连续，试证对(a,b), 使得 f ( ) g ( ) f ( ).211* 例 15、设 f(x) 在 0，1上连续，在（0，1）内一阶可导，且 f ( x)dx0, xf ( x)dx 0 .00试证：( 0,1), 使得 f ( ) (11 ) f ( ) .2) 常微分方程法 :适用 :, f ( )( , f ( )步骤：x, f( x)(x, f ( x)解方程G (x, f ( x) c令F ( x)G ( x, f ( x)例 16、设 f (x) 在a,b上连续，在 (a,b)内可导，且 f ( a) f (b)，证明存在( a,b) 使得 f

10、() f ( )7* 例 17、设 f(x) 在0,1 上连续，在 (0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意实数,必存在（ 0， 1) , 使得 f ( ) f ( )1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例 18、设 f ( x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 内可导，求证存在(a,b) ，使得bf (b)af ( a)bf ( )f ( )a例 19、设 f ( x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 内可导，求证存在(a,b) ，使得1b na nn 1 nf ( ) f ( ), n 1b a f ( a)f ( b)例 20、设 f ( x) 在 a,

11、b 上连续，在 (a, b) 内可导 (0 ab) ，求证存在(a,b) ，使得 f (b) f ( a)ln bf ( )a8例 21、设 f ( x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 内可导 (0 ab) ，求证存在(a,b) ，使得f (b)f (a)( a2abb2 ) f ( )ba3 2题型 5、 含有 f( ) ( 或更高阶导数 ) 的介值问题方法： 1）原函数法（对f (x) 仍用微分中值定理 : 罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理）；2）泰勒公式例 22、设 f(x) 在 0,1 上二阶可导，且 f(0)=f(1),试证至少存在一个(0,1) , 使2 f ( )f (

12、)1例 23、（ 012，8 分）设 f ( x) 在 a, a(a0) 上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 写出 f(x) 的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2) 证明在 a, a 上至少存在一个使得a 3 f ( )a3 f ( x)dxa9例 24、设 f(x) 在 1, 1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0, f(1)=1, f (0)=0, 证明 : 在(-1,1)内存在一点，使得 f( )3.例 25、（ 103）设函数 f (x)在闭区间 0, 3 上连续 , 在开区间 (0, 3)内二阶可导 , 且22 f (0)= 0f ( x ) dx = f (2)+ f (3)

13、.(I) 证明存在(0, 2), 使得 f( )= f (0) ;(II) 证明存在(0, 3), 使得 f ( )=0 .10题型 6、 双介值问题 F ( , ,)0方法： 1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理2 ）用一次后再用一次中值定理例 26、设 f (x)在a,b上连续，在 (a,b)内可导， 0a b ，求证存在 ,(a,b) 使得 f ( )f ( ) (a b)2例 27、（ 051，12 分）已知函数f (x) 在0,1 上连续，在 (0,1)内可导，且f (0) 0, f (1)1证明：（ 1）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1（2）存在两个不同的点 ,(0,1) 使得 f ( ) f ( ) 111题型 7、 综合题* 例 29、（ 011， 7 分）设函数 f ( x) 在（ -1,1）内具有二阶连续导数，且f ( x)0 ，试证（1） 对于 (-1,1)内