三角形的重心

1、三角形的重心三角形几心 R：实数集 Q：有理数集 Z：整数集 N：自然数集在这些字母后面加 +的表示正的部分 N +：正自然数集 即 正整数集 Z+：正整数集 R+：正实数集在字母右面加 *的表示除 0 以外的部分 N*：除了0 的自然数集 即 正整数集 Z*：非零整数集 R*：非零实数集集合通常表示为大写字母 A， B， C 。而元素通常表示为小写字母 a,b,c 。重心、垂心、内心和外心。正心是只有等边三角形才具有的，此时这四心合一。一、重心是三角形三边中线的交点重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相

2、等。3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3；) 空间直角坐标系 横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标： (Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35 、重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。证明：刚才证明三线交一时已证。6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。二、垂心是三角形的三条高的交点垂心的性质：设 ABC 的三条高为AD、BE、CF，其中 D、E、F为垂足，垂心为H，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)

3、/21、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外 .2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、 垂心 H 关于三边的对称点，均在 ABC的外接圆上。4、 ABC中，有六组四点共圆，有三组 (每组四个 )相似的直角三角形，且 A HHD=BHHE=CHH F。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一 垂心组)。6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中， 过 H 的直线交 A B、AC所在直线分别于 P、Q，则 AB/APtanB+

4、AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2倍。9、 设 O，H 分别为 ABC 的外心和垂心，则 BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上 )中，以垂足三角形的周长最短。12、 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。13、 设锐角ABC内有一点 T，那么 T 是垂心的充分必要

5、条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*。CA三、内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。三角形内心的性质 设ABC的内切圆为 O(半径 r)，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2、三角形的内心到三边的距离相等，都 等 于 内 切 圆 半 径 r 3 、 r=S/p 证 明 ：SABC=SOAB+SOAC+SOBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。ABC中，C=90，r=(a+b-c)/25、BOC=90+A/26、点 O是平面 ABC上任意一点，点 O 是

6、ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)=向量 07、点 O 是平面 ABC上任意一点，点 I 是ABC 内心的充要条件是： 向量 OI=a(向量 OA)+b(向量OB)+c(向量 OC)/(a+b+c)8、ABC 中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3) ， 那 么 ABC 内 心 I 的 坐 标 是 ：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c) ，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c) 9、(欧拉定理)ABC中，R 和 r分别为外接圆为和内切圆的半径， O 和 I 分别为其外心

7、和内心，则OI2=R2-2Rr1 0、（内角平分线分三边长度关系） 角平分线分对边与该角的两边成比例。四、外心是三角形三条边的垂直平分线的相交点。即外接圆的圆心。用这个点做圆心可以画三角形的外接。外心的性质：外心到三角形的三个顶点距离相等圆。三角形五心：重心垂心内心外心旁心三角形只有五种心一、重心 :三中线的交点 ,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍；重心分中线比为 1：2；1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1。证明一三角形 ABC，E、F是 A B，AC的中点。E C、FB交于 G。过 E作 EH平行 BF。AE=BE推出 AH=HF=

8、1/2AFAF=C推F 出 HF=1/2CF 推出 EG=1/2CG2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。证明二证明方法：在 ABC内，三边为 a，b，c，点 O 是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为 a、b、c 边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过 O，A 分别作 a 边上高h 1，h可知 Oh1=1/3Ah 则，S (BOC)=1/2 h1a=1/2 1/3ha=1/3S(ABC)；同 理 可 证 S (AOC)=1/3S( ABC)， S(AOB)=1/3S( ABC) 所 以 ，S(BOC)=S

9、( AOC)=S( AOB)3、重心到三角形 3 个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任 意一点为（x，y） 则该点到三顶点 距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3(x-1/3*(x1+x2+x3)2+3(y-1/3(y1+y2+y3)2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(

10、y1+y2+y3)2 显 然 当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（ 重 心 坐标 ） 时 上 式 取 得 最 小 值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3；) 空间直角坐标系 横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。6、在 ABC中，若 MA 向量+MB 向量+MC 向量=0（向

11、量） ，则M 点为 ABC的重心，反之也成立。7、设ABC重心为 G 点，所在平面有一点 O，则向量 OG=1/3（向量 OA+向量 OB+向量 OC）二、垂心:三角形三条高的交点 ;设ABC的三条高为 A D、B E、CF，其中 D、E、F为垂足，垂心为 H，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/21、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外 .2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、 垂心 H 关于三边的对称点，均在 ABC的外接圆上。4、 ABC中，有六组四点共圆，有三组 (

12、每组四个 )相似的直角三角形，且 A HHD=BHHE=CHH F。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一 垂心组)。6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中， 过 H 的直线交 A B、AC所在直线分别于 P、Q ， 则 AB/APtanB+ 三 角 形 的 垂 心 与 外 心 的 位 置 关 系AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2倍。9、 设 O，H 分别为 ABC 的外心和垂心，则 BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。10、

13、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上 )中，以垂足三角形的周长最短。12、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。13、 设锐角ABC内有一点 T，那么 T 是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*。CA三、内心 :三内角平分线的交点 ,是三角形的内切圆的圆心的简称 ;到三边距离相等 。设ABC的内切圆为 I(r)，I 为圆心，角 A、B、C的对边分

14、别为 a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r2、BIC=90+A/23、如图 在 RTABC中，A=90 内切圆切 BC于 D 则 SABC=BD*CD4、点 O 是平面 ABC上任意一点，点 I是ABC内心的充要条件是： 向量 OI=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c)5、ABC 中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC 内心 I 的坐标是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c，)ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c

15、) 6、(欧拉定理)ABC中，R 和 r分别为外接圆为和内切圆的半径， O 和 I 分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr7、点O 是平面 ABC上任意一点，点 O 是ABC内心的充要条件是： a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)=向量 08、 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。9、ABC中，内切圆分别与 AB，B C，CA相切于 P，Q，R，则 AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)tan(A/2)。/210、（内角平分线定理） ABC 中，0 为内

16、心， A 、B、 C的内角平分线分别交 B C、A C、AB于 Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.四、外心 :三中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称；到三顶点距离相等设 ABC 的外接圆为 G(R)，G 是圆心，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，p=(a+b+c)/2性质 1：（1）锐角三角形的外心在三角形内； （2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外 .性质 2：BGC=2A，（或BGC=2(180-A).性质 3：GAC+B=90证明：如图所示延长 AG与圆 交 与 PA 、 C 、 B 、 P 四 点 共 圆P=BP +GAC=90GAC+B=90性质 4：点 G 是平面 ABC上一点，点 P 是平面 ABC上任意一点，那么点 G 是ABC外心的充要条 件 是 ：（ 1 ） 向 量 PG=(tanB+tanC)向 量 PA+(tanC+tanA)向 量PB+(tanA+tanB) 向 量 PC)/2(tanA+tanB+tanC). 或 （ 2 ） 向 量PG=(cosA/2sinBsinC向) 量 PA+(cosB/2sinCsinA向) 量 PB+(cosC/2sin