高等数学课后习题答案第六章

1、习题六1. 指出下列各微分方程的阶数：(1) 一阶(2)二阶(3)三阶(4)一阶2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：(1)xy2 y, y 5x2;解：由 y5x2得 y10 x 代入方程得故是方程的解 .x 10 x2 5x210 x2(2) yy0, y3sin x4cos x ;解： y3cos x4sin x;y3sin x4cos x代入方程得3sin x4cos x 3sin x4cos x0.故是方程的解 .(3) y2yy0,yx2ex ;解： y 2xexx2ex(2 x x2 )ex,y(2 4x x2 )ex代入方程得2ex0 .故不是方程的解 .(4) y

2、(12 ) y1 2 y 0, yC1e 1 xC2e 2 x.解： yC1 1e1xC2 2 e2 x,y C1 12e1 x2e2 xC2 2代入方程得C112 e 1xC2 22 e 2x( 12 )(C11e 1 xC22 e 2 x ) 1 2 (C1e 1xC2e 2 x ) 0.故是方程的解 .3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：(1)(x2 y) y2xy,x2xyy2C ;证：方程 x2xyy2C 两端对 x 求导：2x yxy2 yy02xyy得x 2 y代入微分方程，等式恒成立. 故是微分方程的解 .(2)( xyx) yxy 2yy2 y0, yln

3、( xy ).证：方程 yln( xy) 两端对 x 求导：y11xyy(*)yy得x( y1) .(*) 式两端对x 再求导得yy11y 1x2x2 ( y 1)2将 y , y代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：(1)x2y2C,y x 05;解：当 x0 时， y=5. 故 C=-25故所求曲线为：y2x2252 x(2) y(C1C2 x)e ,y x 00,y x 01.解：y(C22C12C2 x)e2 x当 x=0 时， y=0 故有 C10 .又当 x=0 时， y1. 故有 C2 1.故所求曲线为：yxe2

4、 x .5. 求下列各微分方程的通解：(1)xyy ln y0 ;dy1dx解：分离变量 , 得y ln yx1 d ln y1dx积分得ln yxln ln y ln xln cln ycx得yecx .(2) y1y ;1xdydx解：分离变量，得1y1xdydx积分得1y1x得通解：2 1y21xc.(3)(ex yex )dx(ex yey )dy0 ;eyy dyeyx dx解：分离变量，得1e1e积分得ln(e y1)ln(e x1)ln c得通解为(e x1)(ey1)c .(4)cos x sin ydxsin x cos ydy0 ;cos x dxcos y dy0解：分离

5、变量，得sin xsin y积分得lnsinylnsinx ln c得通解为sin y sin xc.(5) yxy ;dyxdxy解：分离变量，得ln y1 x2c积分得2112x(c ec1 )得通解为y ce2(6)2 x1y0 ;解： y2x1积分得y(2x1)dx得通解为yx2xc .(7)4 x32 x3 y2 y0 ;解：分离变量，得3 y2 dy(4 x32x)dx积分得y3x4x2c即为通解 .(8) yex y.解：分离变量，得e ydyexdx积分得e y dyexdx得通解为：e yexc .6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：(1)ye2 x y ,y x

6、00 ;解：分离变量，得eydye2 xdxey1e2 xc积分得2.以 x 0, y0 代入上式得c12ey1 (e2 x1)故方程特解为y ln y,2.(2) ysin xy xe2.dydx解：分离变量，得y ln ysin xc tan x积分得y e2x , y e将 2代入上式得 c 1tan x故所求特解为ye2 .7. 求下列齐次方程的通解：(1)xyyy2x20 ;dyy2y1解： dxxxuydyux du令xdxdxdudx原方程变为u21x两端积分得ln(uu 21)ln x ln cuu21cxyy21cxxx即通解为：yy2x2cx2(2) x dyy ln yd

7、xx ;dyy ln y解： dxxxuydyux du令x ，则 dxdxdudx原方程变为u(ln u1)x积分得ln(ln u1)ln xln cln u1cxln y1cxxxecx1即方程通解为y(3)( x2y2 )d xxydx02x2y21ydyxdxxyy解：xuydyux du令x ，则 dxdxux du1u 2原方程变为dxux du1 ,ududx即dxux积分得1 u2ln xln c12y22ln x2ln c1x2故方程通解为y2x2 ln( cx2 )(cc12 )(4)( x3y3 )d x3xy2 dy0 ;y3dyx3y31xdx3xy232y解：xuy

8、dyux du令x , 则 dxdxudu x1u3原方程变为dx3u 23u2dx即12u3 dux积分得1 ln(2 u31)ln xln c12y2 y3x3cx .以 x 代替 u，并整理得方程通解为(5) dyxydxxy ;dy1yxdx1y解：xuydyux du令x ， 则 dxdxudu1ux1u原方程变为dx1 udu1 dx分离变量 , 得1u 2x积分得arctan u1 ln(1u2 )ln x ln c12yx2y22arctan y12 )cex .(c以 x 代替 u，并整理得方程通解为到c1(6) yyxx2y2dyyxdxy211x解：dxxx21dyyy即

9、xvxyv, dxvy dv令 y， 则dydy ,原方程可变为vy dvvv21dyy dvv21即dydvdy分离变量，得v21y积分得ln( v v21)ln yln c .vv21y即cy2vv21cy22 yv1c2cc以 yvx 代入上式，得y22c x2即方程通解为y22cxc2.8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：(1)(y23x2 )dy2xydx0,y x 01 ;dy2 yxdx2y3解：x令 yu x du2uux ，则得dxu 23分离变量，得u233dudxuux积分得3ln uln( u1)ln(u1) ln cxln u21ln c即u3x得方程通解为y

10、2x2cy3以 x=0， y=1 代入上式得 c=1.故所求特解为y2x2y3.(2) yxy , y x 12yx.解：设 yux ，dyux du则 dxdxududx原方程可变为x1 u2ln x ln c.积分得2得方程通解为y22x2 (ln xln c)以 x=1， y=2 代入上式得 c=e2.故所求特解为y22x2 (ln x2) .9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：(1)(2x5y 3)dx(2 x 4 y 6)dy 0解：设 xX 1, y Y1，则原方程化为令代回并整理得dY2 X5Y25 YXdX2X4Y24YXuYuX du25uXdX24u4u2

11、dX4u27u2duXln X1(8u7)3 du24u27u21 ln(4u27u2)34u2du2227u1 ln(4u27u2)1u14du2624u11ln(4u27u2)1ln4u1ln c124u61u26ln X3ln(4 u27u2)lnln c2(c2c16 )4u 1u2X 6 (4u 27u2) 3c2u2X 6 (4u1)4 (u2)2c2X 3 (4u1)2 (u2)c3 ,(c3c2 )(4 y x3)2 ( y2x3)c,(cc3 ) .(2)( x y1)dx(4 yx1)dy 0;dyx y1解： dx4yx1作变量替换，令xX1, yY0YdYX Y1YXd

12、XX4Y14Y原方程化为X令 Y uX , 则得uX du1uX du14u2dX14udX14u分离变量，得14u2dudX14ux积分得ln X12 du1d(14u2 )14u214u21 arctan 2u1 ln(1 4u 2 )c4u2 )22即2ln Xln(1arctan 2ucln X 2 (14u 2 )arctan2ucln4 y 2( x1)2 arctan 2 yc.代回并整理得x1(3)( xy)dx(3x 3 y 4)dy0 ;解：作变量替换 vxy,dydv1则 dxdxdv1v原方程化为dx3v4dv2(v2)dx3v43v4dvdx2(v2)31dvdxdv

13、v223 vln( v2)xc123v2ln( v2)2xc,(c2c1 )代回并整理得x3y2ln( xy2)c.(4) dy11dxxy.dudy解：令 ux y, 则 dx1dxdu1原方程可化为dxu分离变量，得ududx积分得1u2x c12u22x2c1故原方程通解为(x y)22x c.(c 2c1)10. 求下列线性微分方程的通解：(1)yye x ;解：由通解公式y edxe xdxe xe x ex dx ce x ( x c)e dx c(2) xyyx23x2 ；y1 yx32解：方程可化为xx由通解公式得1dx1y e x( x 3dx2) e x dx cx1( x

14、32 )xdxcxx1 x23 x2c .e sin x ;32x(3) yy cos xyecosxdxe sin xecosxdxce sin x ( xc).dx解：(4) y4xy4x ;ye(4x )d x(4x )dxe2 x24xe 2 x2c4xedxcdx解：2 x2e2 x2c2 x21ece.(5)( x2) yy2( x2)3;dyx1y2( xx) 2解：方程可化为dx21 dx1yex22(xdxdxc2)2 e x 2eln( x2)2( x2)2 e ln( x 2) dxc(x2)2( x2)dxc(x2)3c( x2)(6)( x21) y2xy4x2 .2

15、x4x2解：方程可化为yx21 yx212xdx4x22 xdxye x2 11e x21 dx cx2e ln( x21)4x2 dxc4x3c3(x21)11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：(1)dy1 y1 sin x,y x1;dxxx1dx111dxyexsin x e xdxcsin xdxc c cosxx解：xx以 x ,y1代入上式得 c 1 ，y1 ( 1cos x)故所求特解为x.(2) y13 (23x2 ) y1,y x10x.23x22Qx3dxx3ln xc解：2 3 x2 dx23x2dxx2 +3ln xx 23ln xy ex3e x3edx

16、cdx ceex 2x31 e x 2cx3 cex 21 .22c12e .以 x=1, y=0 代入上式，得yx311 ex 2故所求特解为22e.12. 求下列伯努利方程的通解：(1)yyy2 (cos x sin x);解：令 zy1 2y 1，则有dz(12) z(1 2)(cos xsin x)dzzsin x cos xdxdxz(1)dxcosx)e( 1)d xdxce(sin xexe x (sin x cos x)dxccexsin x1cexsin xy即为原方程通解 .(2) y1y1(12x) y433.zy 3dzz2x1解：令dx.d x(2x1)edx2x 1

17、 cexz edx cy3 (cex2x1)1即为原方程通解.13. 求下列各微分方程的通解：(1)yxsin x ;解：方程两边连续积分两次得y1x2cos xc12y1x3sin xc1 x c26(2) yxex;解：积分得yxex dxxexexc1y( xexexc1 )dxxex2exc1 x c2y(xex2exc xc)dx( x3)ex1 c x2(3) yyx ;1221解：令 py ,则原方程变为pp x,ppx,p edxdxdxc1xe故y(c1exx1)dxc1ex1 x2xc22.(4) y( y )3y ;解：设 yyp dpp ， 则dyp dpp3p原方程可

18、化为dypdp(1 p2 )0即dy由 =0 知= ，这是原方程的一个解 .py cdp1 p21dp2dy当 p 0 时， dyparctan pyc1xdyln sin( yc1 )c2tan( yc1)yarcsin(c2ex)c1(c2ec2 )1(5) y;xc2 xc3c1exx1y1 dxln xc1解：xy(ln xc1 )dx xlnxxc1 xc2x ln xc1x c2(c1( 1 c1 )(6) y11x2;y1dxarcsin xc11x2解：y(arcsin xc1 )dxx arcsin x1x2c1xc2 .(7) xyy0 ;解：令 yp , 则得p1 p0dpdx0xpxln pln xln c1pc1得x故yc1 dxc1 ln x c2x.(8) y3 y10.解：令 py ，则yp dpdy .y3 p dp10, pdpy 3dy原方程可化为dy1 p21 y 2c1p2y2c2221dydxydydxc1y 2c1 y212 c1 y21 2c1 x 2c2c1 y2 1 c1x c2c1 y21 (c1x c2 )2 .14. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：(1)y3 y1 0,y x 11, y x 10 ;解：令 yyp dpp ，则dy ,y3p dp1 pdp13 dy原方程可化为dyy1 p21