浙江专用高考数学新增分大一轮复习第六章平面向量复数6.5复数讲义含解析

1、最新考纲 6.5 复数考情考向分析1. 了解复数的定义、复数的模和复数 相等的概念.2. 了解复数的加、减运算的几何意义.3. 理解复数代数形式的四则运算本节主要考查复数的基本概念（复数的实部、 虚部、共轭复数、复数的模等 ），复数相等的 充要条件，考查复数的代数形式的四则运算， 重点考查复数的除法运算，与向量结合考查 复数及其加法、减法的几何意义，突出考查 运算能力与数形结合思想一般以选择题、 填空题的形式出现，难度为低档 .基础知识自主学习 回扣皐础知识 训练皐咄题目 一5知识梳理1 .复数的有关概念（1）定义：形如a+ bi（ a, b R）的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复

2、数z的虚部（i为虚数单位）.分类:满足条件（a, b为实数）复数的分类a+ bi为实数？ b= 0a+ bi为虚数？ b0a + bi为纯虚数？ a= 0且b0 复数相等：a+ bi = c+ di ? a= c 且 b= d(a, b, c, d R).(4)共轭复数：a+ bi 与 c+ di 共轭? a= c, b=- d(a, b, c, d R).模：向量OZ的模叫做复数 z = a+ bi的模，记作|a+ bi|或|z|，即|z| = | a+ bi| = a2 + b2(a, b R).2 .复数的几何意义 复数z= a+ bi与复平面内的点 Z(a, b)及平面向量OZ= (a

3、, b)( a, b R)是一一对应关系.3 .复数的运算(1)运算法则：设 乙=a + bi , Z2= c+di , a, b, c, d R=/ Zi - (a+tji)(c+di)=(ai-bd)+(bc+a(f)i尿I尿-叫渉+用 严+出/o)(2) 几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ= OZ1+ OZ2,Z1Z2= OZ2- OZ1【概念方法微思考11. 复数a+ bi的实部为a,虚部为b吗？提示 不一定.只有当 a, b R时，a才是实部，b才是虚部.2 .如何理解复数的加法、减法的

4、几何意义？提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.r基础自测题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“ X”)(1)方程X2+ x +1 = 0没有解.(X )复数z = a + bi( a, b R)中，虚部为bi.( x )(3) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(X )(4) 原点是实轴与虚轴的交点.(V )(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(V )题组二教材改编2. P106B 组 T2设 z = # + 2i，则 |z| 等于()A. 0B.2-C. 1D2答案C解析21

5、 i(1 i 2i z=+ 2i =+ 2i =+ 2i = i ,1 + i(1 + i j(1 i )2= 1.故选 C.3. P112A组T2在复平面内，向量 AB寸应的复数是2 + i，向量CB寸应的复数是一1 3i，则向量CA寸应的复数是()A. 1 2iB . 1+ 2iC . 3+ 4iD . 3 4i答案 D解析 CA= Cb+ Ba= 1 3i + ( 2 i) = 3 4i.24. P116A组T2若复数z = (x 1) + (x 1)i为纯虚数，则实数 x的值为()A. 1B. OC. 1D. 1 或 1答案 Ax = 1.x2 1 = 0,解析z为纯虚数伴o,题组三易

6、错自纠5. 设a, b R, i是虚数单位，则ab = 0”是“复数a + b为纯虚数”的(A.充要条件C.必要不充分条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案 Cb解析 t复数a+ = = a bi为纯虚数，.a= 0且0,即a = 0且0, “ ab= 0”是“复 i数a+ -为纯虚数”的必要不充分条件故选C.i6. 若复数z满足iz = 2 2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析由题意，t z = 21彳=2 2i i i = 2 2i ,i i (i ) z = 2+ 2i，贝U z的

7、共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.2014.2015. 2016.2017. 2018.2019. 20207. i + i + i + i + i + i + i =答案 i解析 原式=i t i 3+ i 4+ i 1+ i 2+ i3+ i 4= i.题型分类深度剖析 宜融典题深庭剖析 应点难点实醴探究题型一复数的概念三I丄;.讯为虚数单位），则1. （2018 丽水、衢州、湖州三地市质检）若复数z满足i z= 3 + 2i（i复数z的虚部是（）B. 3iD. 3iA. 3C. 3答案 C解析因为3 + 2ii=2 + 3i ,所以复数z的虚部是3.故选C.2 复数爭的共轭复数是（）

8、1 + iA.31尹2iB.12i3 1逅+ 2i答案 D解析2+ i由复数iTi（2 + i ） （1 i = 3L = 3 . 1 + i 1 i = 2 = 2 2i31所以共轭复数为3 + ?i，故选D.3. （2018 杭州质检）设a R,若（1 + 3i）（1 + ai） R（i是虚数单位），则A. 3B. 3a等于（）D.答案 B解析由题意得，(1 + 3i)(1 +ai)= 1 3a+(3 +a)i为实数，二3+a= 0,.a= 3,故选B.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析 概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解.题型二复数的运

9、算命题点1复数的乘法运算例 1(1)(2018 全国川)(1 + i)(2 i)等于()A. 3 iB. 3+ iB. 3 iD. 3 + i答案 D解析 (1 + i)(2 i) = 2+ 2i i i 2= 3 + i.(2)i (2 + 3i )等于()A. 3 2iB. 3 + 2iC. 3 2iD. 3+ 2i答案 D解析 i(2 + 3i) = 2i + 3i2= 3 + 2i，故选 D.命题点2复数的除法运算1 + 2i例2(1)(2018 全国H)等于()1 2iA.43.5 5i4 3B 5+ 3i25C.3 4D 5+ 4i答案 D1 + 2i 门 + 2i 21 4+ 4

10、i解析 1 2i =( 12i 屛2i = 1 (2i J3 + 4i 34=5 + 5i.故选D.(2)(2018_z-浙江杭州地区四校联考）设z的共轭复数是z，若z+ z = 4, z2= 8i，则 三等A. iB. iC.lD.i答案解析2z+ z = 4 可设 z = 2 + bi(b R)，由 z = 8i，得 b= 2,所以 z z = 8,222i = i，故选 D.8命题点3复数的综合运算例3（1）（2018 绍兴质检1）在复平面内，复数市i5的模为（）bA. 10C. 5答案1 i55111 3i = 22i i= 2 2i，所以该复数的模为1 + i 1 i222 2冷0，

11、故选D.(2)对于两个复数 a = 1 i , 3 = 1+ i ,有下列四个结论:2 21 : a + 3 = 0, a 3 = 1；a= i ； a =33其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案 C解析对于两个复数a =1 i , 3=1 + i ,a 3 = (1 i) (1 + i) = 2,故不正确；i，故正确;1 i =(1 i(1 i) 2i1 + i =(1+ ij1 i= 2a =| i | = 1，故正确；32 2 2 2 a + 3 = (1 i) + (1 + i) = 1 2i 1 + 1+ 2i 1= 0,故正确.故选C.思维升华（1）复数的乘

12、法：复数乘法类似于多项式的四则运算. 复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练1(1)已知a R, i是虚数单位，若 z =3 + ai , z z = 4，则a为()A. 1 或1B. 1C. 1D.不存在的实数答案 A解析由题意得z = _ 3 ai ,故 z z = 3+ a2 = 4? a= 1,故选 A.(2)(2018 浙江杭州七校联考)已知复数z = 2 + ai( a R), |( 1 + i) z| = 3 2，贝U a的值是( )A. .5B. .5D. 3C. 土 3答案 A解析 方法一 |( 1 + i) z| =|( 2 a) + (2 a)i|

13、 =或2 aj+(2 aj2a2 + 8 =3 ,2,贝U a=5，故选 A.方法二 |( 1+ i) z| = | 1 + i| I z| = 2 - 22 + a2= 3 2，贝U a=5，故选 A.题型三复数的几何意义4汁1 2i例4(1)(2018 浙江六校协作体联考)已知z是z的共轭复数，若复数z = 2 + i + 2,则z在复平面内对应的点是()A. (2,1)B. (2 , 1)C. ( 2,1)D. ( 2, 1)答案 A解析 方法一 由 z= 12+2- + 2 = 1 2i j-.1 + 2=二5凸 + 2= 2 i，得 7 = 2+ i，所以z 2 十 I(2+ i2

14、i)5在复平面内对应的点为(2,1)，故选A.方法二 由 z = 1- + 2 = 1 2i + 2 = 1 12i 2i i + 2= 2 i，得 7 = 2+ i，所以 在 2 + i(2+ i )i(1 2i )复平面内对应的点为(2,1)，故选A.(2)(2018 浙江重点中学考试)已知复数z满足(2 i) z = 3+ ai(i是虚数单位).若复数z在 复平面内对应的点在直线y = 2x 4上，则实数a的值为.11答案-丁解析 方法一 因为(2 i) z= 3+ ai ,所以z = 3十ai2十L = 6a+ a + 3 i ,其在复平面(2 i 2 + i )5,-6 a 2a+

15、3、 2a+ 312-2a11内对应的点为 访-,，所以5-=号一一4解得a=-.方法二 因为复数z在复平面内对应的点在直线y = 2x 4上，不妨设z= t + (2 t 4)i( t R),4t 4= 3,则(2 i) t + (2t 4)i = 2t + 2t 4 + (3t 8)i = 3+ ai，所以解得 a= 3t 8= a,11思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.跟踪训练2(1)已知复数z=彳5切(i是虚数单位)，则z的共轭复数 7对应的点在()A.第四象限B.第三象限C.第二

16、象限D.第一象限答案 A5i解析 z= /5i ( 3 4i )43=-+* z =亠i=3 + 4i = (3 + 4i) (3 4i ) = 5 十 5i，_43z = i，则z的共轭复数z对应的点在第四象限.故选A.55 已知复数Z1 = 1 + 2i , Z2= 1 i , Z3= 3 2i，它们所对应的点分别为A, B, C, O为坐标原点，若 张 xOA+ yOB贝U x + y的值是.答案 5解析 由已知得 A 1,2) , B(1 , 1) , Q3 , 2),T OC= xOA+ yOB- (3, 2) = x( 1,2) + y(1 , 1) = ( x+ y, 2x y)

17、,x + y= 3,2x y = 2,故 x+ y = 5.课时作业N基础保分练1 . （2018 湖州模拟）已知i为虚数单位，则复数 z= z3. (2018 浙江金华名校统练)设复数z满足1+z = 2i，贝U z等于() +打1 + 2i的虚部为（A. 1B. iC . 1D. i答案 C1 + 3i解析 由题意知，z =;= 3 + i，故复数z的虚部为1.2. （2018 浙江高考研究联盟联考的模是（A. 4B. 5C. 7D. 25答案 B3 + 4it解析i= |4 3i|16+ 9 = 5.A.34.5 5i3 4B - 5+ 4iC.5+5iD.55i答案 A21 一 z1

18、一 2i(1 2i 解析 由仁=2i，得 1 z= 2i + (2i) z，所以 z=订齐=1 + 2i 1 2iA.一善一 4i 故选4 . （2018 温州测试）若复数 乙，Z2在复平面内关于虚轴对称，且乙=1 + i（i为虚数单位）,z1则z2等于（）A. iB . iC 2iD . 2i答案 A解析依题意得，z2= 1 + i，所以Z2 = = 1；1 + i =刍=i.故选A.5 .已知i为虚数单位，a R,若F为纯虚数，则a等于（1A. qB.2C 2D. 2答案解析由题意知舌=貯册=V 丁2i-2打+a，又由为纯虚数,a2 + 1a2+ 1a i所以2a 1 = 0且a2工0,解

19、得 a= 故选B.6 . （2018 浙江七彩阳光联盟联考）已知i是虚数单位，若复数z满足卷=1 i，则z z等于（）A. 4B. 5C. 6D. 8答案 B4 4解析 由 =1 i，得 z= 1= 1 + 2i，所以 z = 1 2i，贝U z z = (1 + 2i)(1 2i)1 + z1 i=5，故选B.7.已知复数z满足z2= 12+ 16i，则z的模为()A . 20B. 12C . 2 5D . 2 ,3答案 C解析设 z= a+ bi , a, b R,则由 z2= 12+ 16i，得 a2 b2 + 2abi = 12+ 16i ,a2 b2= 12,2ab= 16,解得4,

20、b= 2a= 或.4,b= 2,即 |z| = a2+ b2=16 + 4= 2 5.故选 C.8.已知集合 M= 1 ,m,3+ (吊一5m 6)i ,N= 1,3,若 MH N= 3,则实数 m 的值为答案 3或6解析 Mn N= 3 , 3 M且1?M m 1,3 + ( m- 5m- 6)i = 3 或 m= 3,卅5m- 6 = 0 且 m 1 或 m= 3,解得m= 6或m= 3，经检验符合题意.9 .(2019 嘉兴测试)若复数z = 4+ 3i，其中i是虚数单位，则| z| =, z2 =.答案 57 + 24i解析 | z| = |4 + 3i| =42 + 32= 5, z

21、2 = (4 + 3i) 2= 7 + 24i.10. 若复数z满足(3 + i) z= 2 i(i为虚数单位)，则z =; | z| =. 1 1迈答案 -i2 2 22 i 2 i 3 i 6 5i + i2 11. ”11解析由题意可知 z=37? = 3TT 37 =9 i2 = 2 2i，所以|z| =/运2$=二2 11. （2018 浙江十校联盟考试）复数z = #7（i为虚数单位）的虚部为 ,其共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限.答案 1四解析因为2iZ = 1Ti晋=1 + i，所以 Z的虚部为1, z = 1 - i，故复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限.1

22、7 亠 aia12. (2018 浙江重点中学考前热身联考)若a为实数，= 3+ i，且z = 1 + ，则a4 5i11=, |z| =.答案 112解析 由题意得 17+ ai = (4 5i)(3 + i) = 17 11i，所以 a = 11.故 z= 1 i , | z| =12+ 1 a2 b2= 3,由（a+ bi） = 3+ 4i. 得 ab= 2.-解得 a2= 4, b2= 1.所以 a + b = 5, ab= 2.15已知复数z= bi( b R) , I2是实数，i是虚数单位.(1)求复数z ；= 2.13. (2018 台州模拟)已知复数z的共轭复数 三满足(三i)

23、 (1 i) = 1 + 3i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于第 象限，| z| =.答案三 .10解析由（z i）（1i） = 1 + 3i，得z = i +1+31 i1 + 3i，所以 z=1 3i ,所以z在复平面内对应的点为(一1, 3),位于第三象限，|z| = . 1 2+ 3 2 =10.2 2 214. （2017 浙江）已知 a, b R, （a+ bi） = 3+ 4i（i是虚数单位），贝U a + b =ab=.答案 522 2 2解析 （a+ bi） = a b + 2abi.(2)若复数(mw z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.解因为z= bi( b R),z 2b+ 2又因为是实数，所以厂=0,所以 b= 2，即 z= 2i.因为 z = 2i ,R,222 2所以(n+ z) = (m- 2i) = m 4m + 4i2=(m4) 4m ,又因为复数(m+ z)2所表示的点在第一象限，m2 40,所以乜解得mQ即 m ( a, 2).16 若虚数z同时满足下列两个条件： z + 5是实数；z z + 3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出Z；若不存在，请说明理由.解存在.设