组合变形以及弯扭组合的定义

1、第十章第十章 组合变形组合变形 第一节第一节 组合变形及应力状态组合变形及应力状态 组合变形以及弯扭组合的定义 压弯组合变形压弯组合变形一、组合变形工程实例一、组合变形工程实例 组合变形以及弯扭组合的定义 拉弯组合变形拉弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例 组合变形以及弯扭组合的定义 弯扭组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例 组合变形以及弯扭组合的定义 压弯组合变形压弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例 组合变形以及弯扭组合的定义 拉扭组合变形拉扭组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例 组合变形以及弯扭组合的定义 用叠加原理解决组合变形问题用叠加原理解决组合变形问题 构件在小

2、变形和服从胡克定理的条件下，力的构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的叠加应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的叠加 解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基 本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应 力、应变等；最后进行叠加。力、应变等；最后进行叠加。 组合变形以及弯扭组合的定义 F l a S 1 p p W W T T z z z z W W M M 3 p p W W

3、T T z z z z W W M M z Mz T 4 3 2 1 y x 二、一点的应力状态二、一点的应力状态 M Fl T Fa 组合变形以及弯扭组合的定义 1 2 3 y x z x y z xy yx yz zy zx xz 单元体与主平面单元体与主平面 组合变形以及弯扭组合的定义 1 2 3 空间（空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零 应力状态的概念应力状态的概念 组合变形以及弯扭组合的定义 x x y y x y

4、 yx xy a a 0 n F 0 t F 1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xy d dA A x yx 三、二向应力状态分析三、二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 0 n F 0sin)sin(cos)sin( cos)cos(sin)cos( dAdA dAdAdA yyx xxy 0 t F 0cos)sin(sin)sin( sin)cos(cos)cos( dAdA dAdAdA yyx xxy y a a xyd dA A x yx 二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的解析法 组合变形以及弯扭组合的定义 利用三角函数公式利用三角函数公式 )2co

5、s1( 2 1 cos 2 )2cos1( 2 1 sin 2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得 xyyx 2sin2cos)( 2 1 )( 2 1 xyyxyx 2cos2sin)( 2 1 xyyx 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 x y x y yx xy a a 使微元顺时针方向使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。 角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转 到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反 之为负。之为负。 y a a xy n t x yx x 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变

6、形以及弯扭组合的定义 2sin2cos)( 2 1 )( 2 1 xyyxyx 确定正应力极值确定正应力极值 2cos22sin)( xyyx d d 设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即 02cos22sin)( 00 xyyx 3. 正正应力极值和方向应力极值和方向 0 02 2c co os s2 2s si in n2 2 2 2 ) )( ( 2 2 0 0 0 0 x xy y0 0 y yx x 即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 yx xy 2 2tan 0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别

7、由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 2 2 max 4 2 1 2 xyyx yx 2 2 min 4 2 1 2 xyyx yx 主应力按代数值排序：主应力按代数值排序：1 1 2 2 3 3 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。 例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。：一点处的平

8、面应力状态如图所示。 y x xy 。 30 MPa，60 x MPa,30 xy ,MPa40 y 已知已知 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 解： 解： （ （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力 2sin2cos 22 xy yxyx )60sin(30)60cos( 2 4060 2 4060 MPa02. 9 2cos2sin 2 xy yx )60cos(30)60sin( 2 4060 MPa3 .58 y x xy 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 （2 2）主应力、主平面）主应力、主平面 2 yx xy yx22 ) 2

9、( max MPa3 .68 2 yx xy yx22 ) 2 ( min MPa3 .48 MPa3 .48, 0MPa,3 .68 321 y x xy 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 主平面的方位：主平面的方位： yx xy tg 2 2 0 6 . 0 4060 60 ,5 .15 0 5 .105905 .15 0 y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向： 1 5 .15 0 主应力主应力 方向：方向： 3 5 .105 0 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 （3 3）主应力单元体：）主应力单元

10、体： y x xy 5 .15 1 3 二向应力状态分析二向应力状态分析 组合变形以及弯扭组合的定义 2sin2cos)( 2 1 )( 2 1 xyyxyx 2cos2sin)( 2 1 xyyx xy yxyx2222 ) 2 () 2 ( 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 二向应力状态分析的图解法二向应力状态分析的图解法 组合变形以及弯扭组合的定义 xy yxyx2222 ) 2 () 2 ( R C xy yx R 22 ) 2 ( 2 yx 1. 1. 应力圆：应力圆： 二向应力状态分析的图解法二向应力状态分析的图解法 组合变形以及弯扭

11、组合的定义 2.2.应力圆的画法应力圆的画法 D( x , xy) D/ ( y , yx) c xy 2 R xy yx R 22 ) 2 ( y yx xy A D x 二向应力状态分析的图解法二向应力状态分析的图解法 组合变形以及弯扭组合的定义 由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出： 2 31 max 结论：结论： 代表单元体任意斜代表单元体任意斜 截面上应力的点，截面上应力的点， 必定在三个应力圆必定在三个应力圆 圆周上或圆内。圆周上或圆内。 2 1 3 3 2 1 四、三向应力状态的最大应四、三向应力状态的最大应 力力 作业：作业：9 1，8 组合变形以及弯扭组合的定义 1.

12、1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律 xx E E x xy x y x 1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律 横向变形横向变形 2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 五、五、 广义胡克定律广义胡克定律 组合变形以及弯扭组合的定义 2 2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法、三向应力状态的广义胡克定律叠加法 2 3 1 3211 1 E 1 2 3 1 E 1 E 2 E 3 广义胡克定律广义胡克定律 组合变形以及弯扭组合的定义 2 3 1 3211 1 E 1322 1 E 2133 1 E 广义胡克定律广义胡克定律 组合变形以及弯扭组合的定义 )( 1 zyxx E G

13、 xy xy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式 )( 1 xzyy E )( 1 yxzz E G yz yz G zx zx x y z xy yx yz zy zx xz 广义胡克定律广义胡克定律 组合变形以及弯扭组合的定义 第二节第二节 强度理论强度理论 组合变形以及弯扭组合的定义 max, max A F N （拉压）（拉压） max max W M （弯曲）（弯曲） （正应力强度条件）（正应力强度条件） * max z zs bI SF （弯曲）（弯曲） （扭转）（扭转） max p W T （切应力强度条件）（切应力强度条件） max max 1. 1. 杆件

14、基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件 一、强度理论的概念一、强度理论的概念 组合变形以及弯扭组合的定义 max max 满足满足 max max 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？ 组合变形以及弯扭组合的定义 强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合，上升为理论。在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度

15、条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 强度理论的概念强度理论的概念 组合变形以及弯扭组合的定义 构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂， 断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上， 如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。 关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理

16、论和形状改变比能理论 (2) (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性 变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面 上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 组合变形以及弯扭组合的定义 1. 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值 0 1 构件

17、危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力 1 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得 b 0 0 二、四个常用强度理论二、四个常用强度理论 组合变形以及弯扭组合的定义 b1 断裂条件断裂条件 n b 1 强度条件强度条件 1. 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转 组合变形以及弯扭组合的定义 2. 2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂 , ,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单都是由于

18、微元内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应变数值。 0 1 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变 1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得 0 E/)( 3211 E b / 0 组合变形以及弯扭组合的定义 实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论 更接近实际情况。更接近实际情况。 强度条件强度条件)( 321 n b 2. 2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论

19、）最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 断裂条件断裂条件 EE b )( 1 321 b )( 321 即即 组合变形以及弯扭组合的定义 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。 0 max 3. 3. 最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力 max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得 0 2/ 0 s 2/ )( 31max 组合变形以及弯扭组合的定义 s31 屈服条件

20、屈服条件 s s 31 n 强度条件强度条件 3. 3. 最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论） 低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转 组合变形以及弯扭组合的定义 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0( max 局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象， 1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响

21、，试验证实最大影响达15%15%。 2 3. 3. 最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论） 组合变形以及弯扭组合的定义 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是 由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。 0 sfsf vv 4. 4. 形状改变比形状改变比能理论（第四强度理论）能理论（第四强度理论） 2 13 2 32 2 21sf )()()( 6 1 E v 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能 sf 2 0 f 2 6 1 ss E v 形状改变比能的极限值，

22、由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得 0 f s 组合变形以及弯扭组合的定义 屈服条件屈服条件 22 13 2 32 2 21 2)()()( s 强度条件强度条件 s s 2 13 2 32 2 21 )()()( 2 1 n 4. 4. 形状改变比形状改变比能理论（第四强度理论）能理论（第四强度理论） 实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。 组合变形以及弯扭组合的定义 11 , r )( 3212 , r )()()( 2 1 2 13 2 32 2

23、 214 , r 强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式： r 相当应力相当应力 313 , r 组合变形以及弯扭组合的定义 2 22 ) 2 ( 1 2 22 ) 2 ( 3 3 4 22 4 22 3 r r 主应力主应力 代入第三、第四强度理论整理可得：代入第三、第四强度理论整理可得： 组合变形以及弯扭组合的定义 组合变形以及弯扭组合的定义 平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲 一、一、 斜斜 弯弯 曲曲 组合变形以及弯扭组合的定义 组合变形以及弯扭组合的定义 组合变形以及弯扭组合的定义 z z y y c t W M W M maxmax max, max, D1点： max,tt D2点

24、： max,cc 强度条件：强度条件： 组合变形以及弯扭组合的定义 挠度： 22 zy fff tantan y z y z I I f f 正方形 zy II f fz fy 组合变形以及弯扭组合的定义 += 二、二、 拉（压）弯组合变形拉（压）弯组合变形 组合变形以及弯扭组合的定义 += += A F c max, t max, c A F W Fl t max, A F W Fl c max, max, t max, c W Fl t max, W Fl c max, t c 组合变形以及弯扭组合的定义 例例1 1 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的铸铁压力机框架，立柱横截面

25、尺寸如图所示，材料的 许用拉应力许用拉应力 t t 30MPa30MPa，许用压应力，许用压应力 c c 120MPa120MPa。试。试 按立柱的强度计算许可载荷按立柱的强度计算许可载荷F F。 2 mm15000A mm75 0 z 47 mm1031. 5 y I mm125 1 z 解：（解：（1 1）计算横截面的形心、计算横截面的形心、 面积、惯性矩面积、惯性矩 （2 2）立柱横截面的内力立柱横截面的内力 FFN N.m10425 1075350 3 3 F FM F F 350F350 N F M 150 15050 50 0 z 1 z 1 y y 组合变形以及弯扭组合的定义 2

26、 mm15000A mm75 0 z 47 mm1031. 5 y I mm125 1 z （3 3）立柱横截面的最大应力立柱横截面的最大应力 max. t max. c Pa667 10151031.5 075.010425 35 3 0 max. F FF A F I Mz N y t （2 2）立柱横截面的内力立柱横截面的内力 FFN N.m10425 3 FM Pa934 10151031.5 125.010425 35 3 1 max. F FF A F I Mz N y c F350 N F M 组合变形以及弯扭组合的定义 （4 4）求压力）求压力F F max. t max. c

27、 F t 667 max. F c 934 max. F350 N F M tt F 667 max. N45000 667 1030 667 6 t F cc F 934 max. N128500 934 10120 934 6 c F 45kNN45000F许许可可压压力力为为 组合变形以及弯扭组合的定义 F l a S 1 p p W W T T z z z z W W M M 3 p p W W T T z z z z W W M M z Mz T 4 3 2 1 y x 第四节第四节 弯扭组合变形强度计算弯扭组合变形强度计算 M Fl T Fa 组合变形以及弯扭组合的定义 1 p p W W T T z z z z W W M M 3 p p W W T T z z z z W W M M W M p W T 2 2 max