9A文几个著名的不等式

1、【MeiWei 81 重点借鉴文档】【本讲教育信息 】一. 教学内容： 几个著名的不等式二、本周教学目标：1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想3、能将基本不等式推广到一般形式4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及 现实世界的联系。三、本周知识要点：2 2 2 2 2 定理 1：设 a，b，c，d 均为实数，则 (ac bd) (a b )(c d ) 当且仅当 ad bc 时等号成立。定理 2：(柯西不等式的向量形式)设 ， 是平面上的两个向量，则当且仅当两个向量方

2、向相同或相反时等号成立定理 3：(柯西不等式的一般形式)给定两组实数a1， a2， ， an ； b1， b2， ，bn 有n n n2 2 2( ai bi ) 2 ( ai ) ( bi )i 1 i 1 i 1，( R )当且仅当 ai kbi (i 1，2， ，n) 时等号成立。n n n2 2 2f ( x) ( ai 2 )x 2 (2 aibi )xbi2证明： i 1 i 1 i 1( 1)若 ai 全为 0，则结论显然成立；n ai 2 0(2)若 ai不全为 0，则 i 1 ， f (x) 为首项系数大于 0 的一元二次函数，并且 nf (x)(aix bi )2 0i 1

3、 ，故 f (x) 的判别式MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】n n n2 2 2(2 aibi )2 4 aibi0i 1 i 1 i 1 ，即n n n2 2 2( aibi )2 ( ai2) ( bi2 )i1 i 1 i1显然，当且仅当 ai kbi (i 1，2， ，n) 时等号成立。定 理 4 ： 设 x1,y1,x2,y2,x3,y3 为 任 意 实 数定理 5：n 个正数的算术几何平均不等式：a1 a2a n其中， n 称为这 n 个正数的算术平均， a1a 2 an 称为这 n 个正数的 几何平均这个不等式通常称为算术几何平均不等式，它表明

4、： n 个正数的算术平均不小 于它们的几何平均【典型例题】例 1.设 a，b， c 为正数，且 abc 1，求证：1 2 1 2 1 2 (a a1)2 (b 1b)2 (c 1c)210031 2 2 212 1 2 12证明：左边 13(12 12 12)(a 1a)2 (b 1b)2 (c c1)2MeiWei_81 重点借鉴文档】证： 原不等式等价于MeiWei 81 重点借鉴文档】a2 b2 c2 d2 ( (a c)2 (b d)2 )2a2 b2 c2 d2 2 a2 b2 c2 d 222(a c)2 (b d)2a2 b2 c2 d2ac bd证：设 (x1, y1), (x

5、2, y2), (x3,y3)，则(x1 x2)2 (y1 y2)2(x2 x3)2 (y2 y3)2(x1 x3)2 (y1 y3) 根据三角不等式，即得例 4.把一条长为 m 的绳子截成三段，各围成一个正方形怎样截法才能使这三个正方形 的面积和最小 ?解：设三段的长度各为 R，R，z则 RRzm三个正方形的面积和为因为 (x2 y2 z2)(12 12 12) (x ym2 当且仅当 RR 3 时等号成立， 所以 x812 例 5.已知 R0，当 R 取什么值时， R2 x281分析： 注意到 R2 x2 是和的形式，再看解： R0 R2 0，81x2 ，81 812 2 2 x 0， R

6、2 xz)my2z2的值最小81R2x22x2 x?最小值是多少 ?812x 18，m2m2有最小值 3 ，从而 S 有最小值 4881 为定值，从而可求和的最小值当且仅当 R2故 R 3 时，模拟试题】R2即 R 3 时取“”号812x 的值最小，其最小值是 181.已知 3R R 10，则 x y 的最小值 为()1A. 10 B.10C.1D.10032222.若 n0，则 n2 n 2 的最小值为 MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】1113.已知 a， b， c 是正实数，且 abc 1，则 a b c 的最小值为（） A.3B.6C.9D.12a2 b2 c2 14.已知 a b c 1，求证：3 （用三种方法）MeiWei_81 重点借鉴文档】MeiWei 81 重点借鉴文档】试题答案】1.B 2.8 2 3.A4.证明： a2 b2 c2 (a b c)2 (2ab 2bc 2ac) (a b c)2 2(a2 b2 c2)2 2 2 23(a2 b2 c2 ) (a b c)2 12 2 2 1a2 b2 c23另法a2 b2 c2 1 a2 b2 c23(a b c)231 2 2 2(2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac)312 2 2(a b)2 (b c)2 (