142 正弦函数余弦函数的性质课件

1、 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 1 1.定义域和值域 x 2 ? 2 ? ? ?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3 ? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1 正弦函数 sinyx? 定义域：R 值域：-1，1 1sinx ? 时，取最大值1； )(2 2 Zkkx? )(2 2 Zkkx?时，取最小值1； 正弦函数的图象正弦函数的图象 2 1.定义域和值域定义域和值域 x 2 ? 2 ? ? ?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3 ? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1 余弦函数 cosyx? 定义域：R 值域：-1，1 余弦函数的图象

2、)(2xZkk?时，取得最大值1. )() 1k2xZ k? ?（时，取得最小值-1. 1cosx ? 3 2.周期性 7 思考思考1：观察上图, 正弦曲线每相隔 个个 单位重复出现. . y -1 x O 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6 - y=sinx 2 其理论依据是什么？ 诱导公式： )(sin)2(sinZkxkx? 4 f(x+2k)=f(x) 这就是说：当自变量x的值增加到x+2k 时，函 数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量 地刻画这种“周而复始”的变化规律。 我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k 为这 个函数的周期( (其中其中kzkz

3、且且k0)k0). )(sin)2(sinZkxkx? 思考2：设设f(x)=sinxf(x)=sinx，则 可以怎样表示？ 5 思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么， 一般地，如何定义周期函数呢？ 【周期函数的定义】对于函数f(x)f(x)，如果存 在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每 一个值时，都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)f(x)就叫做周期函数，非零常数 T T 就叫做这个函数的周期. 6 思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦 函数y=sinx的周期有哪些？4 答：周期函数的周期 不止一个. 2 4 ，6 ，都是正弦函数的周期 事实上，任何一个常数 2k

4、 (kz且k0 都是它的周期. 7 【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的 所有周期中存在一个最小的正数 , 则这 个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说 明，一般都是指函数的最小正周期. 思考5：周期函数是否一定存在最小正周期 例如：f(x)=c (c 为常数） 否 所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正数 . 8 思考6：就周期性而言，对正弦函数 有什么结论？对余弦函数呢？ 根据上述定义，我们有 正弦函数是周期函数， 都是 它的周期，最小正周期是 . 类似地，余弦函数的周期性是什么样的呢？ 余弦函数是周期函数， 都是 它的周期，最小正周期是 .

5、 )0kk(k2?且Z? ?2 )0kk(k2?且Z? ?2 9 例1 求下列函数的周期： y=3cosx,xR; y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xR; 2 x 6 ? 即3cos(x+2 )= 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2 【解】 y=cosx的周期为 ，所以自变量x 只要并且至少需要增长到x+ ,余弦函数的值才会重复 取得. 3cosx ?2 ?2 10 y=sin2x,xR;y=sin2x,xR; 解:令z=2x，那么xR必须并且只需zR，且函数y=sinz， zR的T= . 即变量z只要并且至少要增加到z+ ，函数值才能重复取得， 而z+ =2x+ = 2（

6、x+ ） 故变量x只要并且至少要增加到x+ ，函数值就能重复取得， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 . ? ? ?2 ?2 ?2?2? 11 y=2sin( - ),xR;),xR; 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 2 x 6 ? 解：令 ，那么xR必须并且只要 zR，且函数y=2sinz，zR的T= ，由 于 。所以自变量z只 要并且至少要增加到 z+ ，函数值才能重复取 得，即T= 62 1? ?xz 6 )4( 2 1 2 62 1 2 ? ? ? ?xxz ?4 ?4 ?2 ?4 12 由上例知函数y=3cosx的周期 T=

7、2 ； 函数y=sin2x的周期 T= ； 函数y=2sin( - )的周期 T=4 想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量 有关吗？ 2 x 6 ? 仅与自变量的系数有关仅与自变量的系数有关 函数 ， 令 ，那么xR必须并且只需zR，且函数y=Asinz， zR的T= . 即变量z只要并且至少要增加到z+ ，函数值才能重复取得， 而z+ = = 故变量x只要并且至少要增加到x+ ，函数值就能重复取得， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 . )sin(?xAy ?xz ?2 ?2 ?2 ?2x? ? ? ? ?) 2 (x ? ?2 ? ?2 0? 13 一般地，三角函数 如果函数

8、 的周期是T，那么函数 的周期是 cos()yAx?的周期： 2 | T ? ? ? sin()yAx?的周期： 2 | T ? ? ? )(xf y ? )( xfy? ? T 14 解：解： 例2：试判断函数 是否为周期函数？ xxfsin)(? 周期为 ? 15 三角函数周期的主要求法 1、定义法： 2、公式法： 3、图象法 )()(xfTxf? 2 | T ? ? ? 16 正弦函数的图象 余弦函数的图象 问题：它们的图象有何对称性？ x 2 ? 2 ? ? ?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3 ? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1 x 2 ? 2 ? ?

9、?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3 ? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1 3.奇偶性 正弦曲线关于原点O对称 奇函数 余弦曲线关于y轴对称 偶函数 ? ? 17 3.奇偶性 (1) ( )sin,f xx xR? xR?任意()sin()fxx?sin x ? ?( )f x? ? ( )sin,f xx xR?为奇函数 (2)( )cos ,f xx xR? xR?任意()cos()fxx?cos x?( )f x? ( )cos ,f xx xR?为偶函数 思考：能否从奇偶性定义出发， 证明这个判断的正确性？ 18 判断奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函

10、数. 首先检查其定义域是否关于原点对称， 如果是，再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而 判断函数的奇偶性； 如果不是，就是非奇非偶函数. 19 x 2 ? 2 ? ? ?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3 ? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1P P 正弦函数的图象正弦函数的图象 53113 , 22222 x? ? ? ? ? ?对称轴：对称轴： , 2 xkkZ ? ? (,0),(0,0),(,0),(2,0)?对称中心：对称中心： (,0)kkZ? ? 20 余弦函数的图象 ,0,2x? ? ? ?对称轴： ,xkkZ? ? 35 (,0),(,

11、0),(,0),(,0) 2222 ? ?对称中心： (,0) 2 kkZ ? ? P P x 2 ? 2 ? ? ?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3 ? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1 21 例 题 求 函数的对称轴和对称中心 sin(2) 3 yx ? ? 2 3 zx ? ?解（1）令 则 sin(2)sin 3 yxz ? ? sinyz?的对称轴为 , 2 zkkZ ? ? 2 32 xk ? ? 解得：对称轴为 , 122 xkkZ ? ? (2)sinyz?的对称中心为 (,0) ,kkZ? 2 3 xk ? ? 对称中心为 62 xk ? ? ?

12、zk? (,0) ,Z 62 kk ? ? 22 y=sinx (x ? R) x y o -? -1 2? 3? 4? -2? -3? 1 ? 2 ? 2 3? ? 2 5? 2 7? 2 ? ? 2 3? 2 5? ? x sinx 2 ? ? 2 ? 2 3? 0 . . ? . -1 0 1 0 -1 4.正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx 增区间为 ，其值从-1增大到1 )(2 2 ,2 2 Zkkk? ? ? ? 减区间为 ，其值从 1减小到-1 3 2,2() 22 kkkZ ? ? 23 4.余弦函数的单调性 y=cosx (x?R) 增区间为 减区间为 y x o

13、 -? -1 2? 3? 4? -2? -3? 1 ? 2 ? ? 2 3? ? ? 2 5? ? 2 7? ? 2 ? ? ? 2 3? ? 2 5? ? ? ?kk 22，? )(Z k? 其值从 -1增大到1 ?kk22?， )(Z k? 其值从 1减小到-1 24 思考： 正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函 数在定义域上是减函数，这种说法正确吗？ 不正确。 正弦函数在每个闭区间 上 是增函数，并不是在整个定义域上是增函数。 余弦函数在每个闭区间 上是 减函数，并不是在整个定义域上是减函数。 ）（Zkk?k 2 2 , 2 2 ? ? ? ? ?Zkkk?2 ,2 25 正弦函数的最大

14、值和最小值 x 2 ? 2 ? ? ?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3 ? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1 5.最大值和最小值最大值和最小值 正弦函数当且仅当x=_时取得最大 值1，当且仅当x=_时取得最小值-1； ? ? k2 2 ? ? ? k2 2 ? 26 余弦函数的最大值和最小值 5.最大值和最小值最大值和最小值 x 2 ? 2 ? ? ?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3 ? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1 余弦函数当且仅当x=_时取得最大 值1，当且仅当x=_时取得最小值-1； ?k2 ?k2? 27 ;, 1cos)

15、 1 (Rxxy? ;,2sin3) 2(Rxxy? 例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有， 请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合， 并说出最大值、最小值分别是什么？ 28 ?（1） y=cosx+1,x R ? 2,x xkkZ? ?y=cosx+1,xR ?y=cosx，xR 使函数 取得最大值的x集合,就 是使函数 取得最大值的x的集合 解： 使函数 取得最小值的x集合,就 是使函数 取得最小值的x的集合 ?y=cosx+1,xR ?y=cosx，xR ? (21) ,x xkkZ? 函数 的最大值是1+1=2，最 小值是 -1+1=0 ?y=cosx+1,xR 29 ?(2)

16、y=-3sin2x,xR ?令z=2x,使函数y=-3sinz,zR 取得最大值的z的集合是 2, 2 z zkkZ ? ? ? ? ? ? ? 2 2 zk ? ? ?由 2x= 4 k ? ? ?得 x x, 4 xkkZ ? ? ? ? ? ? ? x, 4 xkkZ ? ? ? ? ? ? ?函数y=-3sinz,zR 最大值是3，最小值是-3 使函数 取得最大值的x的集合是 Rzzy?,sin3 同理，使函数 取得最小值的x的集合是 Rzzy?,sin3 30 分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的 单调性，但需要考虑它是否在同一单调区间上，若是， 即可判断，若不是，需化成同

17、一单调区间后再作判断。 0) 10 sin() 18 sin() 18 sin() 10 sin(? ? 即 5 3 cos 5 23 cos) 5 23 cos() 2( ? ?、 4 cos 4 17 cos) 4 17 cos( ? ? 例4：不求值，判断下列各式的符号。 ) 10 sin() 18 sin(1 ? ?、 ) 4 17 cos() 5 23 cos(2 ? ?、 解： 上增函数。在且、 2 , 2 sin, 218102 1 ? ?xy? 上是减函数在且, 0cos, 5 3 4 0? ? x y ? ? 0 4 cos 5 3 cos 4 cos 5 3 cos? ?

18、即 2317 cos()cos()0 54 ? ? x 2 ? 2 ? ? ?3 2 ? ? 2?5 2 ? ? 3? ? y O ? 2 3? ?2 2 5? ?3 1? 1 31 例例5.求函数的单调增区间 1 23 sinyx ? ? ? ? ? ? ? sinyz? 22 22 zkk ? ? 1 22 2223 xkk ? ? ? ? 5 44 33 kxk ? ? 4,4 33 , 5 kkkZ? ? ? ? ? ? y=sinz的增区间 原函数的增区间 32 变式一：求函数的单调增区间 5 33 4,4kk? ? ? ? ? ? ? 1 2 sin, 2 ,2 3 xyx ? ? ? ? ? ? ? ? 1,k ? ? 2?2? 1711 , 33 ? ? ? ? 0, k ? 5 , 33 ? ? ? ? ? 1, k ? 711 , 33 ? ? ? 33 求函数的单调增区间 1 sin 23 yx ? ? ? ? ? ? ? sinyz? 3 22 22 zkk ? ? 1 2 3 22 232 xkk ? ? ? ? 511 44 33 xkk ? ? 4,4 1 33 , 51 kkkZ? ? ? ? ? ?