第五讲解析几何新题型的解题技巧

1、高三数学（人教版）第二轮专题辅导讲座 第五讲解析几何新题型的解题技巧 【命题趋向】 解析几何例 命题趋势： 1.解析几何 的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属 中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考. 2直线与二次曲线的普遍方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现. 3考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现 有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题. 4有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何 知识与代数知识的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较 高.

2、【考点透视】 一. 直线和圆的方程 1 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点 式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程. 2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系. 3了解二元一次不等式表示平面区域. 4了解线性规划的意义，并会简单的应用. 5了解解析几何的基本思想，了解坐标法. 6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. 二. 圆锥曲线方程 1 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 2 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3 掌

3、握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用. 【例题解析】 考点1求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之 2 2 例1 .（ 2006年安徽卷）若抛物线 y2 =2px的焦点与椭圆 y的右焦点重合，贝y p的值 6 2 为（） A . -2B. 2C. -4D. 4 考查意图：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质 2 2 解答过程：椭圆x y n的右焦点为（2,0），所以抛物线y2 =2px的焦点为（2,0），则p=4 , 6 2 故选D. 考点2.求线段的长 求线段的长也是高考题中的常

4、见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，找出点的坐标，利用距 离公式解之. 例2.（ 2006年全国卷II）已知 一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 A . 2 3B . 6 考查意图：本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用. 解答过程：由椭圆方程 令+ y2= 1知a（运0）b-7$兰, I 3丿 2 3 x2 2 ABC的顶点B、C在椭圆x3 + y2= 1上，顶点A是椭圆的 BC边上，则 ABC的周长是 C. 4 .3D. 12 5书C .C ABC 3 2=4 3. 3 故选C. 例3.（ 2006年四川卷）如图，把椭圆 =1的长轴 结合有关知识来解题. 例4. 为60 ( 2 2 已知双

5、曲线耳占=1（a：0,b0）的右焦点为F，若过点 a2b2 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ） A. （2006年福建卷） F且倾斜角 考查意图： （1,2 B . （1,2） 本题主要考查双曲线的 C. 2, ：)D. (2,：) 离心率e= c (1, +s )的有关知识. a 2 c Vab2 .e2 a a 例5 .（ 2006年广东卷）已知双曲线 3x 点P到右准线的距离之比等于（） A. 2B.U C. 2 3 解答过程: 1 p 3 2 =2. -y2 =9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与 D.4 2 x 2516 AB分成8等份，过每个

6、分点作 X轴的垂线交椭圆的上半部 分于R,P2, P3,P4,P5, P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 贝U PF 卅F2F|+RFF4F|+PF l+jRFl+RFU 考查意图：本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用 解答过程：由椭圆 乞+丄=1的方程知a2=25,. a=5. 2516 - 二 PF 卅F2F|+F3F RF|+P5F +|P6F|+P7F = 2 =7 a =7 5 =35. 故填35. 考点3.曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一，其解法为充分利用： （1）椭圆的离心率e= c （0,1） （e越大则椭圆越扁）; a c （1,） （e越大则双曲

7、线开口越大）. a 双曲线的离心率e= 考查意图：本题主要考查双曲线的性质和离心率e= (1, +s)的有关知识的应用能力. a 解答过程：依题意可知3, .a2 b 3 9 =2 3 - 考点4求最大(小)值 求最大(小)值，是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最 大(小)值:特别是，一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答 例6. (2006年山东卷)已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(xi,yi),B(X2,y2)两 点，贝U y12+y22的最小值是 考查意图：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法 解:

8、设过点 P(4,0)的直线为 y =k x .4 ,. k2 x2 .8xT64x, .k2x2 _ 8k2 4 x 16k2 =0, 228k2 41 y； y2 =4 人 x =4 16 2 它-32. 故填32. 考点5圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内 容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心 2 例7 已知P是椭圆 L+y2上的点，f,f2是椭圆的两个焦点，且 NFPF2=60，求也FPF2 4 ， 的面积. 解答过程：依题意得：pf +PF2 =2a =4，在FPF2中由余弦定理得 (2两2 =PF2 +p-2PF

9、 PF,cos604 =(PF1 +PF2)2 2PF PF2 -2PF1 PF2 cos60 *， 解之得：PF=4，则iFPF2的面积为PF PF2sin 60*=迥. 323 小结：(1)圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重； (2) 求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 例8 .已知动点P到两个定点A( -5,0)、B(5,0)的距离之差为|PA | - | PB |=8 , (1) 求点P的轨迹方程； (2) 对于x轴上的点M，若满足|PA | | PB| =|PM f，则称点M为点P对应的比例 点”，求证：对任意一个确定的点P,它总有

10、两个比例点. 解答过程：(1)因为 A( -5,0)、B(5,0)且 |PA|-|PB|=8 , 所以，点P的轨迹是以A,B为两焦点，实轴长为 8的双曲线的右支， 且 a =4,c = 5，贝U b = 3, 2 2 则点p的轨迹方程是：x_y_=1 (2) 焦点弦的长度的计算，一般都分割成两段，用定义或焦半径来求解; (3) 计算复杂是解析几何的通性，要细心. 考点7利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利 用解析几何知识建立等量关系容易 例12.设椭圆E的中心在坐标原点 O,焦点在x轴上，离心率为 3，过点C( -1,0

11、)的直线 3 交椭圆E于A、B两点，且CA =2BC，求当 AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方 程. 解答过程：因为椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为2x2 3yt(t 0)，直线方程为 3 my =x 1, 由 2x2 3y2得： Imy =x 1 则y1刀2=腭3 2m 3 (2m2 - 3)y2 -4my 2 -t =0，设 A(X 1 ,yJ,B(X , 又 CA =2BC , 故(X! 1,%) =2(-1-X2,-y2)，即 -2y2, 由得： y1 8m-4m y 2 : 2m232m23 则 Saob =!|yy26|2 m 3| = _66， 22m2 33_ 2 2|m

12、| +2 |m| 当m2 =3，即m =_!时，MOB面积取最大值， 2 - 2 2 此时 yy = 2t =_ 32m ，即 t =10 , 12 2m2 +3(2m2 +3)2 所以，直线方程为x -y J =0，椭圆方程为2x2 3y2 =10. _ 2 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易 例 13.已知 pa =(x . 5,y)，PB=(x 5,y)，且 |PA| |PB|=6, 求 |2x _3y -12 | 的最大 值和最小值 解答过程：设 P(x, y) , A(,；5,0) , B(.一 5,0)， 因为 |PA| |PB|=6，且 |A

13、B| =2.5 ：:6， 所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为 6的椭圆, 2 2 椭圆方程为 x y .，令 X=3cosny=2si nr, 94 则 |2x -3y -121 = |6、2cos-) -12 |， 4 当 cos( r 二)=_1 时，| 2x -3y -12| 取最大值 12 6. 2 , 4 当 cos(r)=1 时，|2x-3y-12|取最小值 12-62. 4 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算 考点8禾U用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值 域问题.

14、 2 例14.( 2006年福建卷)已知椭圆0 y2 =的左焦点为F, 2 O为坐标原点. (I) 求过点0、F，并且与椭圆的左准线 丨相切的圆的方程； (II) 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围 考查意图：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力 解答过程：(I) . a2=2,b2=1,. c=1,F(-1,0), l:x = 2 圆过点O、F, -圆心M在直线x - -1上. 2 设M (,t),则圆半径r =()_(_2) =3. 2 2 2 由

15、OM =r,得/(弓2幵=3 解得t =2. 二所求圆的方程为(X+1)2机y也/2)2 24 (II)设直线AB的方程为y =k(x+1)(k式0), 2 亠 代入 y2 =1,整理得(I 2k2)x2 4k2x 2k2-2=0. 2 直线AB过椭圆的左焦点 F, 方程有两个不等实根 记 A(X!,y),B(X2,y2),AB 中点 N(xo,yo), 2 则为 一工， .AB的垂直平分线 NG 的方程为 y -yo _ _!(x _Xo). k 令y =0,得 xg =Xo kyo 口 2k2 k2k211 4- _ , + 2k 1 2k 1 2k 12 4k 2 1 ；k=o,xg ：

16、o, 2 .点G横坐标的取值范围为 (-扫). 2 2 例15已知双曲线C:笃_%=1(a o,b o)， a b 轴上，且满足 |OA |,|OB|,| OF|成等比数列，过 B是右顶点，F是右焦点，点 A在x轴正半 F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂 线丨，垂足为P, (1)求证：PA OP =PA FP ； )若I与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围 2 解答过程：(1)因|OA |,|OB|,| OF|成等比数列，故|oa|=2b1 a，即A(一,0), |OF| cc 直线 l : yb(xc)， a (x -c) b b x a a2 ab

17、, =P(,) c c 故: PA =(0, a2 则: ab -),OP =( cc 2 - PA OP 二 a abb2 ),FP=( - cc 2 _ 2-二 PA FP，即 c ab )， c PA OP=PA FP; (或 PA (OP -FP) =PA (PF-PO)=PA OF=0，即 PA OP 二 PA FP) a y (x -c)2 a4、2 a4 za4c2 (2)由b= (b2)x2-7 ex -(亍 a 力)=0 , u2 22 2 z 2b2b2b2 b x -aya b 由 x1x2 = b 4 0 得：b4 a4 2 2 2 b c -a 2 a - e22二

18、e 、2. 2 a b2 b2 (或由kDF - kDO a y b222 -:b c -a 2 2 a = e 2= e 2 ) b a 4 2 za c 2以 -( a b ) b 小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地 求出各个点的坐标. 例 16.已知 a = (x,0) , b = (1,y) , (a 、3b) _ (a - .；3b), (1)求点P(x, y)的轨迹C的方程； )若直线y =kx m(m -0)与曲线c交于a、b两点，D(0, -1)，且 |AD|BD|, 试求m的取值范围. 解答过程：(1) a + 丽b = (x,0)

19、 + 73(1, y) = (x + 乘，冋, a -、3b = (x,0) -、3(1,y) =(x -、3,-一3y), 因(a3b) _ (a - Jb),故(a -3b) (a -3b) = 0, 即(x3八 3y) (x - . 3, - 3y) =x2 -3y2 -3 =0, 2 故P点的轨迹方程为x _y2=1. 3 丄y = kx m 由卜看=3 得：(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3 = 0 , 设 A(x 1,yJ,B(x 22), A、B 的中点为 M(x,y) 22222 则.;.-(6km) -4(1-3k )(-3m -3)=12(m1-3k)0, x1 x2

20、3 km, x-2 , y =kx m = 21 -3k21 -3k 3km m ) - 2，-)， 6 km x1 x2二口7， 即A、B的中点为(1-3k23k 则线段AB的垂直平分线为：八僚 十1)(x 一券), 将D(0, -1)的坐标代入，化简得：4m =3k2 -1 , 则由川-亍2 0 得: 4m =3k -1 2 m -4m 0，解之得 m ： 0 或 m 4 , 又 4m =3k2 -1-1，所以 m -1 , 4 故m的取值范围是(,0)(4, ：). 4 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象考点9利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题，其一

21、般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的 坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立 例17.已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点 A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的 中心 0,且 AC BC =0 , |BC|=2|AC| , (1) 求椭圆的方程； (2) 如果椭圆上的两点 P,Q使N PCQ的平分线垂直于 OA，是否总存在实数 儿使得 PQ二AAB ?请说明理由； B P 解答过程：(1)以O为原点，OA所在直线为x轴建立 平面直角坐标系，则 A(2,0), 2 2 设椭圆方程为-=1，不妨设C在x轴上 4 b2 方， 由椭圆的对称

22、性， |BC| =2| AC| =2| OC|= | AC| =| OC| , 又AC BC =0= AC _ OC，即AOCA为等腰直角三角形， 24 由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：b2 ： 3 2 2 即,椭圆方程为乩=1; 44_一 一 (2)假设总存在实数 入，使得PQ = AAB，即AB / PQ , 由 C(1,1)得 B( -1,-1)，则 kAB, 2-(-1)3 若设 CP： y = k(x -1) 1，则 CQ： y k(x -1)1 , 2 2 X-也=12 22 由 44= (1 3k2)x2-6k(k -1)x 3k2-6k-1 =0 , y =k(

23、x -1) 1 由 C(1,1)得 x =1 是方程(1 3k2)x2 -6k(k -1)x 3k2 -6k-1 =0 的一个根, 由韦达定理得: Xp 二 X p 2 3k -6k-1 1 3k2 以-k代k得-q 2 3k 6k-1 1 3k2 故 kpXyQ=k(Xp -Q)-2k J，故 ab/PQ , Xp _XqXp _Xq3 即总存在实数 入，使得PQ二AAB . 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线 及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直

24、线的方程和曲线的方程组成方程组, 进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18.设G、M分别是 ABC的重心和外心，A(0, a) , B(O,a)(a .0)，且 GM AB , (1) 求点C的轨迹方程； (2) 是否存在直线 m，使m过点(a,0)并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且 OP OQ =0?若存在，求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：(1)设C(x, y)，则G(X,-), 3 3 x 因为 GM 二 AB，所以 GM /AB，贝y M( ,0), 3 由M为- ABC的外心，则| MA |=| MC |，即 (学+孑=眉x)

25、2+y2 , 2 2 x y 整理得：22=1(x=0)； 3a a (2)假设直线m存在，设方程为y = k(xa), y =k(x -a) 由 x2 v2得：(1 3k2)x2 6k2ax 3a2(k2-1) = 0, 气=1(x =0) 3a a 设 P(x1,y1),Q(X2,y2)，则 X! X2 2 2 2 6k 2a xx3a2(k -1) 2 , X1X 2 2， 1 3k21 3k2 yiy2=k (x- a)2芦 a k 2x x 七(x*才 由 OP OQ =0得：x|X2%y2 =0， 即 3a (k 丁 _2k a2 =0，解之得 k 爲3 , 1 3k 1 3k 又

26、点(a,0)在椭圆的内部，直线 m过点(a,0), 故存在直线m,其方程为y=/3(x-a). 小结：(1 )解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的 结果，然后做出正确的判断； (2)直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组 成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 1.如果双曲线经过点 (6.3)，且它的两条渐近线方程是 2 2 A. x _y =1 369 2 2.已知椭圆壬 3m2 2 2 b . x_y_ .1 819 C. 2 詁1和双曲线爲 2 X 2彳 y 1 9 2 _ y 3n2 y，那么双曲线方程是() 3

27、 2 2 D. -y 1 183 =有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方 一、选择题 A15bJl5c丄 Z3d A. xy B. yx C. xy D. yx 2244 2 2 3. 已知F，F2为椭圆 冷+占耳但汕。)的焦点，M为椭圆上一点，MR垂直于x轴, a b 且NFMF2 =60 ，则椭圆的离心率为() A. 1 B.C.D._I 2232 2 2 4.二次曲线 4 AC 2 2 _1时，该曲线的离心率e的取值范围是() C 八5 0)上一点，右 PFi PF2 =0 a b tan Zpf1F，则椭圆的离心率为 . 2 2 2 8. 已知椭圆x +2y =12 , A是x轴正方向

28、上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆 截得的弦长为40),则直线l的方程为y=x-xo,设直线l与椭圆相交于 (Xi, yi), Q (X2、y2),由 y=x-Xo可得 3x2-4xox+2xo2-12=o, 1 又 tan ZPF1F2 2 解得：(-)2 a 5 9, Xi X2 壬 3 PFi PF1 圧| y=x-x o 2 2 彳 x +2y =i2 2 Xi X2，则 i3 i6xo2 |Xi (XiX2)2_4XiX2= i6Xo仆 36_2Xo2 -4wi4丄 2 ,即亦石 _ :三 2 2 i x I Xi X2 |，即236 2Xo 333 2 xo =4,又 xo

29、o，二 Xo=2, A (2, o). 9. i ； k =| PF | * PE|=(a+ex)(a _ex) =a2 _e2x2 . io. 三.ii .解(i)设动点P的坐标为(x, y)，则点Q(o, y) , pq=(x,o), PA =0-2 -x, -y), PB =(-、2-x,-y) , PAPB=x2-2 y2, 因为 PA PB =2PQ2，所以 x2 -2 y2 =2x2, 即动点P的轨迹方程为：y2 -x2 =2 ； (2)设直线 m： y =k(x -2)(o : k : i), 依题意，点C在与直线m平行，且与m之间的距离为2的直线上, 设此直线为m“ ：y二kx

30、 b，由丨型 b| = . ，即b22 2k2，” Jk2 +1 把 y =kx b代入 y2 x2 =2，整理得：(k2 -1)x2 2kbx (b2 -2)=0 , 则，;.=4k2b2 -4(k2-1)(b2-2) =0,即 b2 2k2=2，” 由得：kh5 , b二辺, 55 此时，由方程组 y =xC(2 .2, .10). 2 2 y -x =2 a242 12解：(1)依题意得：c=3 ,，所以a=2 , b=5 , c 3 2 2 所求双曲线C的方程为x =1 ； 45 (2)设 P(x,y) , M(X1,yJ , Ngy)，则 Ag,。) , A2(2,0), 10 _2

31、 A尸=(x02,y0),A2P =(x0-2,y)，AN =(,yj，A2N=($2)， 33 因为 A1P与 A1M 共线，故(x0 - 2)yy0, y1y0，同理： 33(x。+2) 2y 0 y2 ： 3d。-2) -13-5 则 RM -,71), F2N =( ,y2)， 2 20空勺 654 Y-4=10 33 所以 FM F2N =y$2 = 一65 _ 20y0 9(x0 - 4) 999(x2 -4) 13解：(1)因为 |OF| = 2,则 F(2,0) , OF = (2,0),设 Q(x,y),则 FQ =(x -2,y)， 5 OF FQ =2(X0 _2) =1

32、,解得 x =2， 1 n115 1 由S|OF|y0F|y0| ，得 y ,故 Q(；,), 2 222 2 所以，PQ所在直线方程为y=x-2或y=x，2 ； (2)设 Q(X0,y),因为 |0F| =c(c -2),则 FQ = (x -c,y), 1 由 OF FQ =c(x -c) =1 得：x =c c 133 又S =2 y c,则 y:, 13- 21 29 q(c 二2)，y 4， 易知，当c = 2时， -5 3 |OQ I最小，此时 Q(?，-？), 2 设椭圆方程为笃 a 2 b2 a2 _b2 =4 = 1,(a b 0)，则 259 l4a2 4b2 2 曰 a =10 ，解得 2, 1b2 =6 所以，椭圆方程为 2 x + 10 2 y ,1. 6 14.解： (1)设 M(x, y)，由 PM 尹0 得：P(0,-舟),Q(X,0),