机器人在工业中的技术

1、现代微分几何在机器人领域中的应用陆云帆 摘要:近年来,基于现代微分几何的机器人研究已逐渐成为一个新的研究热点。从蛇形机器人运动形态学、大型空间机械臂、黎曼度量等方面对现代微分几何理论的应用现状进行了详细介绍,分析了用现代微分几何理论进行机器人研究的优点,并结合现有尚未解决的问题指出了有待深入开展研究的方向。关键词：机器人;现代微分几何;Abstract: Recently, using modern differential geometry to study robotics is becoming a new hot field. Therefore, the detailed overv

2、iew on robotics research based on modern differential geometry was presented herein including snake like robot morphology, large space manipulator, Riemann metric etc. The advantages of this method were then presented. And some ways of further studies were predicted according to the existing problem

3、s.Key words: robot; modern differential geometry;一、引言机器人已被成功地应用在工业、航天和医疗等诸多领域，且随着计算机与控制技术的发展，其应用还将进一步扩大。然而，不同于传统的单自由度机械系统，机器人均为多自由度的复杂系统，其设计的难度和复杂程度要大许多。机器人的许多问题至今尚未得到妥善解决，如精度、刚度、动力学控制等1。微分几何，就是将数学分析的方法应用到了几何学的研究中，故其研究对象和其他的几何学并没有什么不同。其实一直以来，关于几何图形的研究都主要集中在平面上的曲线，同时还有我们通常的三维欧式空间中的曲线以及曲面2。到了19世纪的后期，几

4、何学的研究对象开始向高维转化，这样便有了黎曼流形的诞生。古典的微分几何和黎曼几何一起，构成了现代意义下的微分几何学的主体3。实际上，微分几何的历史一般来说，主要还是指古典的关于曲线和曲面的微分几何，这是伴随着微积分的出现而出现的。而微积分起初又称为是无穷小演算4，故微分几何通常又被称为无穷小几何学。从某种意义上来说，微分几何又称为分析几何或解析几何5，但是这个名字已被笛卡尔的坐标几何所运用，到了20世纪50年代，又被用到了复解析族几何中，这样，微分几何的名字就留了下来。这个名称最早是比安奇在微分几何教材6中首先运用的。但后来仍有人用无穷小演算等老名称。 近 20 多年来，为深入地剖析这些问题的

5、本质及其内在联系，国内外一些学者将以李群李代数为代表的现代微分几何理论用于机器人相关问题的分析与研究,并取得了卓有成效的成果7。现代微分几何理论作为机器人研究工具的优势已初露端倪,基于现代微分几何理论的机器人研究正逐渐成为新的热点之一8。二、理论发展阶段性成果微分几何在机器人中的重要作用具体表现在：1)基于蛇形机器人运动形态学9，利用扩展Frenet-Serret分析了一种蛇形机器人运动的几何模型，并根据这种几何模型研究了一种确定蛇形机器人的运动步态规律的算法，称之为EFSA(extended frenet-serret algorithm)算法。用这种算法规划了无轮蛇形机器人的基木运动步态，

6、而且重要的是实现了蛇形机器人三维螺旋运动规划，并成功实现了蛇形机器人的仿真运动。这种方法简单、可实现性强，在运动步态规律研究上具有通用性的特点。2)针对地而机器人的操作能力评价方法不能直接用于空间机器人的研究10，采用微分几何中的活动标架方法，并引入体积元素的概念，将空间机械臂处于自由漂浮状态时系统动量守恒的特点融入体积元素建模中，建立了采用体积元素评价两自由度空间机械臂操作能力的数学模型.利用所建立的体积元素模型，对空间两自由度机械臂的操作能力以及在运动过程中对安装基座的扰动性进行分析，并将分析结果与采用虚拟机械臂的方法得到的分析结果进行对照，证明了该方法的有效性。3）大型空间机械臂11负责

7、空间站大型负载的运输、装配，而关节柔性会在一些工况下造成振动因此设计了一种大型空间机械臂柔性关节控制器针对谐波减速器的引入而带来的柔性，建立了柔性关节的动力学模型;采用基于微分几何反馈线性化方法对柔性关节模型做了精确线性化解祸处理对于线性化后的系统，为了克服不确定性及提高鲁棒性，采用具有较高鲁棒性和抗干扰性的滑模变结构控制规律来实现轨迹的合理跟踪在Matlab / Simulink中实现了线性化过程和滑模控制过程，对给定输入信号进行跟踪仿真，改变滑模控制的控制参数，得到控制参数对系统影响，验证了滑模控制的高鲁棒性，并能很好地跟踪输入信号仿真结果表明，反馈线性化与和滑模控制的结合可以很好地应用于

8、柔性机械臂的控制。4）将二自由度机器人的轨迹弧长指标视为黎曼度量12，在黎曼空间内进行机器人的最佳轨迹规划基于微分几何的方法，求出了具有此种黎曼度量的黎曼曲面上的测地线作为机器人的最佳轨迹，并进行了计算机轨迹仿真，验证了轨迹规划结果的正确性。5) 现代微分几何在机器人研究中的应用可以追溯到1978年。Herv13首先运用李群李代数理论描述了刚体的运动,并基于位移群的代数结构(微分结构)对运动链进行了分类,用数学证明6种低副所生成的运动都是位移子群。此处,在物理意义上,位移群或位移子群对应的传统定义为机构的位形空间;位移群或位移子群的代数结构对应着速度空间或力空间。这些代数结构决定着机构的自由度

9、数目及形式。在此基础上,Herv等针对少自由度并联机构的拓扑结构综合问题,提出位移群综合法,并利用该方法先后系统地研究了全对称三自由度平动机构、全对称三自由度转动机构以及非全对称三自由度转动机构的拓扑结构综合,得出多种新颖的机构。因为位移群描述的是刚体的连续运动,因此用位移群综合法综合出的机构都是非瞬时机构,无需进行瞬时性判别。Angeles在Herv的工作基础上,用李群李代数理论描述了5种复合支链(如平行四边形结构)的位移群及其微分结构。6) 早在1981年,Brockett就基于李群李代数理论首先建立了机器人运动学的指数积公式。众所周知,运动螺旋只是刚体运动的瞬时描述,而利用指数积公式,就

10、可以用运动螺旋的指数积来表示机构的连续运动,且当位移空间为李群或李子群时,运动螺旋为李代数,因此,与矢量法、D- H法等其他方法相比,指数积公式具有明显的物理意义和数学意义。以此为基础,Richard等运用指数积公式系统地研究了串联机器人和并联机器人的运动学建模、微分运动分析。他们将复杂的串联机器人位置逆解划分为简单的Paden-Kahan子问题来解决14。此外,利用指数积建模时,不用对运动方程求微分,仅通过观察就可以直接获得机器人的雅可比矩阵,因为空间雅可比矩阵的第i列就是变换到机器人当前位形的第i个关节的运动螺旋。同时,Park等通过研究发现,与D- H法相比,利用指数积公式来构造控制算法

11、,可以大大提高计算效率。这些特点使得指数积公式被认为是D- H法的最佳替代。文献根据机器人位移子群上速度空间(微分结构)的分布,给出串联、并联机构产生位移子群的条件,并建立了串联、并联机构运动分析的统一几何框架。7) 1999年,Park15等首次利用黎曼几何和微分流形理论给出了针对一般并联机构奇异性分析的几何框架,并采用Morse函数理论首次提出退化奇异的概念。这种几何分析法能够揭示出并联机器人机构奇异性坐标不变的拓扑和几何本质。在此基础上,Liu16等和沈辉等利用微分流形理论和外微分等数学工具给出了并联机构的奇异性分析的一般几何判定方法,并首次提出高阶奇异的概念,从而揭示了位姿空间中奇异点

12、的高阶拓扑和几何特性。由于一次外微分式物理上对应于并联机器人机构的广义力,因此,该方法具有较为直观的物理含义。Jon17利用泰勒公式对机构奇异流形的拓扑结构进行了深入分析。Yang18等基于运动学指数积公式推导了三支链并联机构的被动关节雅可比矩阵,并根据此矩阵的满秩情况对机构进行了参数化奇异分析。值得指出的是,后两种分析方法的应用有局限性。文献主要分析了并联机构奇异位形的分叉情况,研究证明,通过调整机构参数可以将非持久性奇异分叉转换为持久性奇异分叉。吴宇列等19基于微分拓扑和微分流形的理论揭示了位形空间奇异点与机构拓扑结构之间的联系。王玉新等重点研究了并联机构的运动在通过奇异点时的构型分岔问题

13、。奇异位形和构型的分岔研究有助于通过控制使机构克服在奇异点邻域内的运动不确定性。由以上分析不难发现,有关奇异性分析的研究已经比较成熟,但关于并联机构奇异点规避问题的研究还不完善,有待于进行更为深入的研究。三、总结与展望由上述可知,现代微分几何理论作为机器人研究的数学工具有如下优点20:坐标不变。许多研究成果揭示的是机器人的整体特性,不会随着局部坐标的选择不同而发生变化,因此,具有广泛的应用性和普遍意义。高度概括。不同设计建模方法常常可以借助现代微分几何理论表示成统一的简洁形式,从而便于发现不同模型之间的本质联系。几何洞察力。在利用现代微分几何理论对机器人的设计问题进行建模时,物理意义和数学意义

14、的良好统一性使得复杂问题变得容易理解。然而,基于现代微分几何的机器人研究虽然已经取得了一些卓有成效的成果,但这些研究理论还不够成熟,尚未形成完善的理论体系。例如,许多研究成果只适用于简单的开链机器人,如何将其应用到复杂的含闭链的空间并联机器人、冗余驱动机器人以及非完整约束机器人等还需深入研究。另外,各个设计问题的研究相互独立,未能在统一数学框架下统筹考虑,这样对于不同的设计性能指标选择,有时会导致顾此失彼,因此,在现代微分几何理论的统一框架下构建统一的机器人设计理论体系也是一项极具挑战性的开拓性工作。因此,现代微分几何理论的优点以及现有机器人设计研究的不足势必将吸引国内外专家学者进行更为深入的

15、探索与研究。参考文献1 李永刚, 宋轶民, 张策. 基于现代微分几何的机器人研究现状. 中国机械工程. 2007 Apr 9;18(2):238-43.2 张连东, 葛研军. 基于微分几何法的机器人最优轨迹规划. 大连铁道学院学报. 2003 Mar;24(1):20-3.3 陈丽, 王越超, 马书根, 李斌. 蛇形机器人行波运动的研究. 机械工程学报. 2004;40(12):38-43.4 沈辉, 吴学忠, 刘冠峰, 李泽湘. 并联机构中奇异位形的分类与判定. 机械工程学报. 2004;40(4):26-31.5 Huang X, Wang D. Riemannian metric app

16、lication in the optimal control of the manipulator performance. Unintelligent Transportation Systems, 2003. Proceedings. 2003 IEEE 2003 Oct 12 (Vol. 2, pp. 1610-1615). IEEE.6 孙敬颋, 史士财, 王学飞, 王达, 刘宏. 大型空间机械臂柔性关节的微分几何算法控制器设计. 哈尔滨工程大学学报. 2013 Jan 28;33(11):1371-6.7 张连东, 葛研军. 基于微分几何法的机器人最优轨迹规划. 大连铁道学院学报.

17、 2003 Mar;24(1):20-3.8 金茂菁, 曲忠萍, 张桂华. 国外工业机器人发展态势分析. 机器人技术与应用. 2001(2):6-8.9 毕盛, 闵华清, 陈强. 仿人机器人步态规划反馈控制研究综述. Computer Engineering and Applications. 2011;47(7).10 黄晓华, 王德伦. 机械手操作性能最优控制理论的线性化方法. 机械工程学报. 2002;38(增刊):215-8.11 胡兰子, 陈进军. 传感器技术在机器人上的应用研究. 软件. 2012;33(7):164-7.12 Park FC, Kim JW. Singularit

18、y analysis of closed kinematic chains. Journal of mechanical design. 1999 Mar 1;121(1):32-8.13 范国梁, 王云宽. 基于几何方法的多智能体群体刚性运动的路径规划. 机器人. 2005;27(4):362-6.14 Liu GF, Meng J, Xu JJ, Li ZX. Kinematic synthesis of parallel manipulators: a Lie theoretic approach. Unintelligent Robots and Systems, 2003.(IROS 2003). Proceedings. 2003 IEEE/RSJ International Conference on 2003 Oct 27 (Vol. 3, pp. 2096-2100). IEEE.15 Buss M, Faybusovich L, Moore JB. Rec