数学高中学业水平测试课件专题四第17讲曲线与方程

1、专题 四 平面解析几何初步 第 17 讲 曲线与方程 1曲线与方程曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点那 么， 这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做方程的曲线 2求动点的轨迹方程的一般步骤求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系建立适当的坐标系 (2)设点设轨迹上的任一点 P(x，y) (3)列式列出动点 P 所满足的关系式 (4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率 公式等将其转化为

2、x，y 的方程式，并化简 (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹 方程 3两曲线的交点两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应 该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方 程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就 有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成 的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求 由它们的方程所组成的方程组的实数解问题 1定义法求轨迹方程 【例1】 已知两个定圆已知两个定圆O1和和O2，它们的半径分别，它们的半径分别 是是1和和2，且|O1O2|4.动圆M与圆O1内切，又与圆内切

3、，又与圆O2外外 切，建立适当的坐标系，求动圆圆心切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并的轨迹方程，并 说明轨迹是何种曲线说明轨迹是何种曲线 解：解：如图所示，以O1O2的中点 O 为原点，O1O2所在 直线为 x 轴建立平面直角坐标系 由|O1O2|4，得 O1(2，0)， O2(2，0)设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1内 切，有|MO1|r1； 由动圆 M 与圆 O2外切，有|MO2|r2. 所以点所以点 M 的轨迹是以的轨迹是以 O1、O2为焦点，为焦点，实轴长为实轴长为 3 的的 双曲线的左支双曲线的左支 所以所以 a3 2， ，c2，所以，所以 b2c2a

4、 2 7 4. 所以点所以点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为 4x2 9 4y 2 7 1 ? ? ? ? ? ? x3 2 . 剖析：剖析： 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件 推出关于动点的等量关系式，推出关于动点的等量关系式， 由等量关系结合曲线定义判由等量关系结合曲线定义判 断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 2直接法求轨迹方程 【例 2】 (1)已知 A，B 为平面内两定点，过该平面为平面内两定点，过该平面 内动点M作直线AB的垂线，的垂线， 垂足为垂足为N.若若MN 2 AN NB

5、 ， 其中 为常数，则动点为常数，则动点 M 的轨迹不可能是( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线 (2)如图所示，A(m， 3m)和 B(n， 3n)两点分别 在射线 OS，OT(点 S、T 分别在第一、四象限)上移动， 且OA OB 1 2，O 为坐标原点，动点 P 满足OP OA OB . 求 mn 的值； 求动点 P 的轨迹方程，并说明 它表示什么曲线？ (1)解析：解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立坐标系，设 M(x，y)，A(a，0)，B(a，0)，则 N(x，0) 因为MN 2AN NB ， 所以 y 2(xa)(ax)，即 x2y2a2， 当

6、1 时，轨迹是圆； 当当 0 且且 1 时，轨迹是椭圆；时，轨迹是椭圆； 当当 0)，由OP OA OB ， 得(x， y)(m， 3m)(n， 3n)(mn， 3m 3 n) 所以 ? ? ? ? ?xmn， y 3m 3n， 整理得 x2y 2 3 4mn， 又 mn1 4，所以 P 点的轨迹方程为 x 2y 2 3 1 (x0) 它表示以原点为中心，焦点在 x 轴上，实轴长为 2， 焦距为 4 的双曲线 x2y 2 3 1 的右支 剖析：直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略： (1)题目给出等量关系，求轨迹方程直接代入即可 得出方程 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用 已知条

7、件寻找等量关系，得出方程 3相关点法求轨迹方程 【例 3】 设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴 上，且MN 2MP ，PM PF ，当点 P 在 y 轴上运动时， 求点 N 的轨迹方程 解：设 M(x 0， 0)，P(0，y0)，N(x，y)， 因为PM PF ，PM (x0，y0)，PF (1，y0)， 所以(x0，y0)(1，y0)0，所以 x0y 2 00. 由MN 2MP 得(xx0，y)2(x0，y0)， 所以 ? ? ? ? ?xx02x0， y2y0， 即 ? ? ? ? ?x0 x， y01 2y. 所以xy 2 4 0，即 y 24x. 故所求的点 N 的

8、轨迹方程是 y 24x. 剖析：剖析：“相关点法相关点法”的基本步骤：的基本步骤： (1)设点：设被动点坐标为设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为，主动点坐标为(x1， y1)； (2)求求关关系系式式：求求出出两两个个动动点点坐坐标标之之间间的的关关系系式式 ? ? ? ? ?x1 f（x，y），）， y1g（x，y）；）； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得 到所求动点的轨迹方程 1方程 x2(y2)20 表示的图形是( ) A圆 B两条直线 C一个点 D两个点 解析：由已知得 ? ? ? ? ?x20， y20， 即 ? ? ? ? ?x2， y2. 所以方程表示

9、点(2，2) 答案：C 2 已知坐标满足方程 f(x， y)0 的点都在曲线 C 上， 那么( ) A曲线 C 上的点的坐标都适合方程 f(x，y)0 B凡坐标不适合 f(x，y)0 的点都不在 C 上 C不在 C 上的点的坐标必不适合 f(x，y)0 D不在 C 上的点的坐标有些适合 f(x，y)0，有些 不适合 f(x，y)0 解析：根据题意可以举例方程 f(x，y)0 为 x2y 2 1(x0)，曲线 C 为单位圆，可知方程表示的曲线为曲 线 C 的一部分，结合选项知 A，B，D 都不正确，只有 C 正确 答案：C 3方程 y|x| x2 表示的曲线为图中的( ) 解析：y|x| x2

10、，x0，为偶函数，图象关于 y轴对称， 故排除 A，B. 又因为当又因为当 x0 时，时，y 2 1 x 0；当；当 x0 时，时，y1 x 0，所以排除，所以排除 D.故选故选 C. 答案：答案：C 4已知 M(2，0)，N(2，0)，则以 MN 为斜边的直 角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( ) Ax2y 20 Bx2y24 Cx2y 22(x 2) Dx2y24(x 2) 解析：设 P(x，y)，因为MPN 为直角三角形，所以 MP 2NP2MN2， 所以所以(x2)2y 2 (x2)2y 2 16，整理得，整理得 x2y 2 4. 因为因为 M，N，P 不共线，所以不共线，所以 x

11、 2，所以轨迹方程，所以轨迹方程 为为 x2y 2 4(x 2) 答案：答案：D 5一条线段的长等于 10，两端点 A，B 分别在 x 轴 和 y轴上滑动，M 在线段 AB 上且AM 4MB ，则点 M 的 轨迹方程是( ) Ax216y 264 B16x2y264 Cx216y 28 D16x2y28 解析：设 M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)， 则 a 2b2100.因为AM 4MB ， 所以(xa， y)4( x，by)， 所以所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xa 5， ， y4b 5 ， 即即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a 5x， b5 4y， ， 代

12、入代入 a2b 2 100，得，得 25x2 25 16y 2 100，即，即 16x2y 2 64，故选，故选 B. 答案：答案：B 6已知两定点已知两定点 A(2，0)，B(1，0)，如果动点，如果动点 P 满满 足足|PA|2|PB|，则点，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为的轨迹所包围的图形的面积为 _ 解析：设 P(x，y)，由|PA|2|PB|， 得（x2）2y 22 （x1）2y 2， 所以 3x23y 212x0，即 x2y24x0. 所以 P 的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为 2 的圆 即轨迹所包围的图形的面积等于 4. 答案：4 7一动点到y 轴距离比到点(2，0)的距

13、离小 2，则此 动点的轨迹方程为_ 解析： 设动点为 P(x， y)， 则由条件得 （x2）2y 2 |x|2，平方得 y 24x4|x|，当 x0 时，y28x；当x 0 时， y0， 所以动点的轨迹方程 y 28x(x0)或 y0(x 0) 答案：y 28x(x0)或 y0(x0) 8 点 M 是曲线 y1 2x 21 上的一个动点， 且点 M 为 线段 OP 的中点，则动点 P 的轨迹方程为_ 解析： 设轨迹方程上任意一点 P(x， y)， 则 M? ? ? ? ? ? x 2， y 2 在 曲线 y1 2x 21 上， 把 M 代入得： y 2 1 2? ? ? ? ? ? x 2 2

14、1，则 y1 4x 22， 所以 P 点的轨迹方程为 y1 4x 22. 答案：y1 4x 22 9.如图所示，已知圆A：(x3)2y 2100， 圆A内一定点B(3，0)，动点P过B点且与 圆A内切，设动圆P的半径为r，求圆心P的 轨迹方程 解：由题意知|PB|r，因为圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10， 所以两圆的圆心距|PA|10r， 即即|PA|PB|10|AB|6， 所以点所以点 P 的轨迹是以的轨迹是以 A、B 两点为焦点的椭圆两点为焦点的椭圆 所以所以 2a10，2c|AB|6. 所以所以 a5，c3. 所以所以 b2a 2 c225916， 即点即点 P 的轨迹方程

15、为的轨迹方程为 x2 25 y 2 16 1. 10已知ABC 的内切圆与三边 AB，BC，CA 的切 点分别为 D，E，F，已知 B( 2，0)，C( 2，0)，内切 圆圆心为 I(1，t) (t0)，设点 A的轨迹为 L. (1)求 L 的方程； (2)设直线 y2xm 交曲线 L 于不同的两点 M，N， 当|MN|2 5时，求 m 的值 解：解： (1)设点 A(x， y)， 由题意得|AB|AC|BD|CF| |BE|CE|(1 2)( 21)2. 根据双曲线定义知点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点，实 轴长为 2 的双曲线的右支(除去点 E)， 所以 L 的方程为 x2y 21，x1

16、. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 ? ? ? ? ?x2y 21， y2xm， 得 3x24mxm210. 因为直线 y2xm 交 x2y 21 (x1)于不同的两点 M，N， 所以方程所以方程 3x24mxm210 的两根均在的两根均在(1， ) 内，内， 所以所以 ? ? ? ? ? ? ? 16m234（m21）0， 4m 231， ， 3124m1m210， 所以所以 m 3，且，且 m2. 又又 x1x24m 3 ，x1x2 m21 3 ， 所以所以|MN| 122（x1x2）24x1x25 4m212 9 2 5 3 m23， 因为因为|MN|2 5， 所以所以

17、2 5 3 m232 5， 所以所以 m212，因为，因为 m 3，且，且 m2，所以，所以 m 2 3. 2019/7/9 最新中小学教学课件 43 编后语 ? 听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议： ? 一、听要点。 ? 一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物 理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。 ? 二、听思路。 ? 思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行 解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。 ? 三、听问题。 ? 对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。 ? 四、听方法。 ? 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”