非齐次方程的通解

1、若 y ( x ) 满足 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 _)( 4) 0(, 2) 0( 044 dxxy yy yyy 解：由 2044044 2 , 1 2 ? ? ? ? ? ? rrryyy 故通解： x exCCxy 2 21 )()( ? ? )2()()( 2 21 2 2 ? ?xx exCCeCxy 将初始条件代入可求得 C12，C2=0 x exy 2 2)( ? ? ? ? ? ? ? 00 2 2)(dxedxxy x 1 0 2 ? ?x e 二、二阶常系数非齐次线性方程通解 1、解的结构定理: )1(0? ?qyypy )2()(xfqyypy?

2、? 定理1：非齐次的两个特解之差是齐次方程的解 非齐次通解齐次通解非齐次特解 定理2： 2、非齐次方程特解的求法 试解函数检验法 根据非齐次项，假设其解函数，检验后，求出 待定系数，得其特解。 试解函数Q (x) f(x) xcxc axaxa e C n nn ax ? ? ? sincos 21 1 10 ? xBxA bxbxb ke k n nn ax ? ? ? sincos 1 10 ? 说明:1、不论f(x)是几项多项式,Q (x)必须是“同 次完全多项式”。 2、不论f(x)是否只含正弦、余弦， Q (x )都要设为 其线性组合。 3、f (x)是两类函数乘积,Q (x)也是对

3、应两类函数乘积 若有，则将试解函数乘以 x, 再检验，直到没有 同类项为止。 最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。最后，将试解函数代入原方程，求各个待定系数。 例例1.求通解 2482? ?yyy 解：解： 特征方程 , 082 2 ?rr 特征根 , 2, 4 21 ?rr 对应的齐次方程的通解为 . 2 2 4 1 xx eCeCY ? ? 设原方程的特解为 , * ky ? 检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？检验：试解函数中是否与齐次通解有同类项？ 代入原方程得：代入原方程得：008 k =24 k=- 3 原方程的一个特解为 3 * ?y 故原方程的通解为 . 3 2 2

4、 4 1 ? ? x x eCeCy 例2.求通解 xyyy? ?82 解： 特征方程 , 082 2 ?rr特征根 , 2, 4 21 ?rr 对应的齐次方程的通解为 . 2 2 4 1 xx eCeCY ? ? 设原方程的特解为 , * axy ? 对吗？ 正确的原方程的特解为 , * baxy? 代入原方程得：代入原方程得：02a8(ax+b)=x a=-1/8, b=1/32 原方程的一个特解为 32 1 8 1 * ?xy 故原方程的通解为 . 32 1 8 1 2 2 4 1 ? ? xeCeCy xx 例3.求通解 x eyyy 4 82? ? 解： 特征方程 , 082 2 ?

5、rr 特征根 , 2, 4 21 ?rr 对应的齐次方程的通解为 42 12 . xx YC eC e ? ? 设原方程的特解为 , 4*x key ?可以吗？ 重新设原方程的特解为 , 4*x exky ? 原方程的一个特解为 , 6 1 4*x exy? 故原方程的通解为 xxx exeCeCy 42 2 4 1 6 1 ? ? 代入原方程比较系数得将)( ,)( , * ? ? yyy 6 1 ?k 求非齐次方程通解的步骤 : 1、求出对应齐次方程的通解 Y 2、假设试解函数（非常关键、包括检验） 3、求出待定系数，得非齐次方程的一个特解 4、利用定理得非齐次方程通解 例4.方程 有形如

6、_的特解 x eyyy? ?2 x exk 2 例5.求 x exyyy122? ? 解： 特征方程 , 012 2 ?rr 特征根 , 1 21 ? ? r r 对应的齐次方程的通解为 .)( 21 x exCCY? 设原方程的特解为 ,)( 23*x exbxay? 关键的一步 原方程的一个特解为 ,2 3*x exy? 故原方程的通解为 xx exexCCy 3 21 2)(? 代入原方程得将)(,)(, * ? ?yyy xx exebxa12)26(? 0 2 02 126 ? ? ? ? ? ? b a b a 例6.求 xyycos? ? 解： 特征方程 , 01 2 ?r 特征

7、根 , ir? 对应的齐次方程的通解为 .sincos 21 xCxCY? 设原方程的特解为 ,)sincos( * xxbxay? 要 注 意 代入原方程得将)(, * ? ?yy xxaxbcossin2cos2? 2 1 0 02 12 ? ? ? ? ? ? b a a b 原方程的一个特解为 x x ysin 2 * ? 故原方程的通解为 x x xCxCysin 2 sincos 21 ? 定理定理3 设非齐次方程设非齐次方程 (2)的右端)(xf是几个函是几个函 数之和 , 如如 )()( 21 xfxfqyypy? ? 而而 * 1 y与与 * 2 y分别是方程分别是方程 ,

8、)( 1 xfqyypy? ? )( 2 xfqyypy? ? 的特解 , 那么那么 * 2 * 1 y y ? 就是原方程的特解就是原方程的特解 . 解的叠加原理 ).2cos( 2 1 4xxyy? ?求解方程 例例7 7 解解 特征方程 , 04 2 ?r 特征根 ,2 2, 1 ir? 对应的齐方的通解为 .2sin2cos 21 xCxCY? 设原方程的特解为 . * 2 * 1 * yyy? ,)1( * 1 baxy?设,)( * 1 ay?则 , 0 )( * 1 ? ?y ，得代入xyy 2 1 4? ?，xbax 2 1 44? 由 ，04 ?b ， 2 1 4?a 解得 ，0?b ， 8 1 ?a ; 8 1 * 1 x y ? ? ),2sin2cos()2( * 2 xdxcxy?设 ,2sin)2(2cos)2()( * 2 xcxdxdxcy?则 ,2sin)44(2cos)44()( * 2 xdxcxcxdy? ? ，得代入xyy2cos 2 1 4? ? ，xbax 2 1 44? 原方程的特解为 .2sin 8 1 8 1 * 2 * 1 * xxxyyy? ,2cos 2 1 2