第4章 非线性系统线性化

1、非线性系统的线性化非线性系统的线性化 1 1、传统近似线性化、传统近似线性化 2 2、精确线性化、精确线性化 3 3、现代近似线性化、现代近似线性化 第四章第四章 Company Logo l 条件苛刻， 计算复杂 l 基本思想： 一阶近似 l 适用于工作 点范围不大 情况 l 基本思想：通过坐标 变换把强非线性系统 变换成弱非线性系统 或通过状态反馈以保 持线性系统的部分特 点。 传统近似 线性化 精确线性化 非线性系统线性化方法 现代近似 线性化 近似线性化 传统近似线性化 最小二乘法 泰勒展开 傅里叶级数展开 误差最小 忽略高阶项 忽略高次谐波 雅可比矩阵忽略高阶项 传统近似线性化方法传

2、统近似线性化方法 非线性系统反馈线性化非线性系统反馈线性化_ _主要内容 4.0 绪论绪论 4.1 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法基于动平衡状态理论的非线性系统反馈线性化直接方法 4.2 单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计单变量输入输出反馈线性化直接方法及鲁棒设计 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 线性定常系统设计线性定常系统设计闭环极点配置闭环极点配置 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方法一般非线性系统的直接反馈线性化设计：逆系统方

3、法 4.3 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 输入输入状态线性化状态线性化 输入输入输出线性化输出线性化 线性系统的内动态子系统线性系统的内动态子系统 零动态子系统零动态子系统 4.4 数学知识数学知识 微分同胚与状态变换微分同胚与状态变换 弗罗贝尼斯定理弗罗贝尼斯定理 4.5 非线性系统反馈线性化非线性系统反馈线性化 单输入单输出系统的输入单输入单输出系统的输入状态线性化状态线性化 单输入单输出系统的输入单输入单输出系统的输入输出线性化输出线性化 多输入多输入多输出系统的反馈线性化多输出系统的反馈线性化 4.6 近似线性化方法近似线性化方法 非线性系统反馈线性化绪论非线性系统反馈线性化绪

4、论 非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系 统设计方法。这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的统设计方法。这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的 动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制 的方法对系统进行设计与控制。反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来的方法对系统进行设计与控制。反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来 达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种

5、线性化是精确的。达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的。 目前反馈线性化的方法主要有两种：目前反馈线性化的方法主要有两种： 1）精确线性化方法）精确线性化方法(exact linearization method)，如微分几何方法，隐函数方，如微分几何方法，隐函数方 法和逆系统方法等；法和逆系统方法等； 2）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法 等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称为隐含等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称

6、为隐含 模型参考方法（模型参考方法（implicit model reference approach），而后者为实际模型参考），而后者为实际模型参考 方法（方法（real model refernce approach）。）。 精确线性化方法中，微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理论体系并精确线性化方法中，微分几何方法和逆系统方法已形成各自的理论体系并 在许多领域得到成功的应用。相比之下基于隐函数方法的直接线性化方法由于在许多领域得到成功的应用。相比之下基于隐函数方法的直接线性化方法由于 其可应用的范围较窄，理论上又难以深入，被研究得要少得多。其可应用的范围较窄，理论上又难以深入，被研究得

7、要少得多。 在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。反馈线性化的直接方法。 运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动

8、平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。 模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不模型参

9、考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不 仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同仅在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同 样也得到大量的应用。样也得到大量的应用。 非线性系统反馈线性化绪论非线性系统反馈线性化绪论 按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：性化的直接方法： （1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。型参考系

10、统。 （2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。 为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡按预定的方式运

11、动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。计提供了一条新的思路。 非线性系统反馈线性化绪论非线性系统反馈线性化绪论 其中，其中， 为状态向量，为状态向

12、量， 为控制向量，为控制向量， 为向量函数。为向量函数。 其中其中 为状态向量，为状态向量， 为控制向量，为控制向量， , 为常数矩为常数矩 阵，并且阵，并且 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设 计可以实现系统状态计可以实现系统状态 对对 的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性的渐近跟踪，从而实现非线性系统动态特性的线性 化。化。 ),(tuxfx vBxAx dddd n Rx m Ru n d Rx 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法线性化直接方法 按上

13、述方法，基本设计过程如下：按上述方法，基本设计过程如下： 考虑一般的非线性系统考虑一般的非线性系统 （1.1） f 设希望的线性系统动态特性为设希望的线性系统动态特性为 （1.2） m Rv nn d RA mn d RB 令状态偏差为令状态偏差为 ，则有，则有 d xxe d xxe 由式（由式（1.1）和式（）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：）可得系统的状态偏差方程为： （1.3）)(),()(),(vBxAtuxfeAvBxAtuxfxxe ddddddd x d x d A 其中其中 ，且，且 。则有。则有 的导数为：的导数为： （1.5） 其中其中 ， 为标量函数。为标量函数

14、。 nnT RPP 0P 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法线性化直接方法 取状态偏差的二次型函数取状态偏差的二次型函数 （1.4） )(eV 因为当状态偏差因为当状态偏差 的欧几里德范数的欧几里德范数 时，时， ，平衡状态，平衡状态 是在大范围内渐近稳定的。从而有是在大范围内渐近稳定的。从而有 时，时， 。由上面的分析可直接给出。由上面的分析可直接给出 如下定理：如下定理： 定理定理1.1 给定非线性时变系统（给定非线性时变系统（1.1）及模型参考系统（）及模型参考系统（1.2）。设）。设 稳稳 定，定， 是模型参考自由系统（对应于是模型参考

15、自由系统（对应于 ）在原点平衡状态的李雅普诺）在原点平衡状态的李雅普诺 夫函数。那么，若存在控制夫函数。那么，若存在控制 使使 PeeeV T )( MQeevBxAtuxfPeePAPAeeV T dd T d T d T 2)(),(2)()( nn d T d RPAPAQ )()(),(vBxAtuxfPeM dd T 由于由于 的所有特征值均具有负实部，因此可找到正定矩阵的所有特征值均具有负实部，因此可找到正定矩阵 ，使，使 为一为一 负定矩阵。若能选取控制向量负定矩阵。若能选取控制向量 （ 为可能用到的为可能用到的 的各阶导的各阶导 数），使数），使 ，则，则 为李雅普诺夫函数。为

16、李雅普诺夫函数。 d A P Q ),),(,(tvduxxu d )(duu 0M)(eV ee )(eV0e t d xx d A PeeeV T )( 0v u 若能选择若能选择 使使 在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具 有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。 若选取的若选取的 使使 ，则称非线性系统（，则称非线性系统（1.1）被精确线性化。）被精确线性化。 我们可给出定理我们可给出定理1.1更一般的情况如下：更一般的情况如下： 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈基于动平衡状态理论的非线性系统反馈

17、 线性化直接方法线性化直接方法 （1.6） 则偏差系统（则偏差系统（1.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。 证明：证明： 因为因为 是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数，因此有是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数，因此有 负定。负定。 定理定理1.2 考虑状态偏差系统（考虑状态偏差系统（1.3）。设其对应的自由动态系统）。设其对应的自由动态系统 在在 平衡状态平衡状态 大范围一致渐近稳定，大范围一致渐近稳定， 是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫 函数。如果控制策略函数。如果控制策略 使使 0)(),(vBxA

18、tuxfPeM dd T uM u0M eAe d 0e),( teV ),(tvxu （1.7） 则被控的状态偏差系统（则被控的状态偏差系统（1.3）是大范围一致渐近稳定。）是大范围一致渐近稳定。 0)(),( ),( vBxAtuxf e teV dd T ),( teV eA e V dt dV dt de e V dt dV teV d TT ),( 基于动平衡状态理论的非线性系统反馈基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法线性化直接方法 将将 作为偏差控制系统（作为偏差控制系统（1.3）的可能的李亚普诺夫函数，有）的可能的李亚普诺夫函数，有 由于上式右端第一项负定，显然若式

19、（由于上式右端第一项负定，显然若式（1.7）成立，则）成立，则 负定。式（负定。式（1.3） 的被控状态偏差系统大范围一致渐近稳定。的被控状态偏差系统大范围一致渐近稳定。 ),( teV )(),(),(vBxAtuxfeA e V dt dV dt de e V dt dV teV ddd T )(),(vBxAtuxf e V eA e V dt dV dd T d T ),( teV 非线性系统的反馈线性化，确切地说还可以分为输入非线性系统的反馈线性化，确切地说还可以分为输入-状态线性化和输状态线性化和输 入入-输出线性化。输出线性化。 对调节问题（稳定性问题）采用输入对调节问题（稳定性

20、问题）采用输入-状态线性化通常即可满足要求对状态线性化通常即可满足要求对 系统的调节要求；但对跟踪问题通常必须采用输入系统的调节要求；但对跟踪问题通常必须采用输入-输出线性化设计才能满输出线性化设计才能满 足对系统的性能要求。足对系统的性能要求。 单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计鲁棒设计 设系统由下述微分方程表示设系统由下述微分方程表示 （2.1） 其中为其中为 输入，输入， 为输出。取输出及其前为输出。取输出及其前n-1阶导数为状态变量，方程阶导数为状态变量，方程 （2.1）可表示为如下的状态空间表达形式：）可表示为如下的状态空间表达形式： (

21、)(1)() ( , , ) nnm yf y yyu uut )(tu)(ty ),( 0 0 0 0000 1000 0100 0010 1 2 1 1 2 1 tuxfx x x x x x x x n n n n T n xxxy 21 001 （2.1a） 简记为简记为 （2.1b） ),(),( 00 tuxftuxfxAx b Cxy 单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计鲁棒设计 其中其中 为状态向量，为状态向量， 表示控制表示控制 及其前及其前m阶阶 导数。导数。 设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示：设上述系统的希望动

22、态特性可用下述线性定常模型系统表示： （2.2） 其中其中 为希望输出，为希望输出， 为模型的输入，为模型的输入， ， 为常数。同样取为常数。同样取 及及 其前其前n-1阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为：阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为： （2.2a） n T n Rxxxx 21 1 m Ruu ( )(1)(2) 121 nnn dndnd yyyyy d y v n , 21d y vbxAx dddd d Cxy 其中其中 为模型的状态向量；为模型的状态向量； ， ， 为常数。为常数。 d x n d A 21 100 010 0 0 d b 0

23、01C 单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计鲁棒设计 根据动平衡状态理论，我们可以将根据动平衡状态理论，我们可以将 作为被控系统的动平衡状态，通过设作为被控系统的动平衡状态，通过设 计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态 对动平衡状态对动平衡状态 在大范围在大范围 内渐近稳定。从而实现内渐近稳定。从而实现 对对 ，亦即，亦即 对对 的渐近逼近，使被控系统具有所希的渐近逼近，使被控系统具有所希 望的动态特性。实现上述目标的一个直接方法便是利用李雅普诺夫第二方法。望的动态特性。实现上述目标的一个直接方法便是

24、利用李雅普诺夫第二方法。 为此，以为此，以 为动平衡状态，定义误差向量为动平衡状态，定义误差向量 （2.3） x y 由式（由式（2.1a）及式（）及式（2.2a）可得）可得 （2.4） d x d x xd x d y d x d xxe vbxAtuxfxAxxe dddbd ),( 0 ),()( 0 vbtuxfxAAeA dbdd 取状态偏差的二次型函数取状态偏差的二次型函数 （2.5） PeeeV T )( 其中其中 ，且，且 。则有。则有 的导数为：的导数为： （2.6） nnT RPP 0P)(eV MQeevbtuxfxAAPeePAPAeeV T dbd T d T d T

25、 2),()(2)()( 0 单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计鲁棒设计 其中：其中： （2.7） （2.8） 为标量函数。为标量函数。 nn d T d RPAPAQ )( ),()( 0 vbtuxfxAAPeM dbd T M 由于系统（由于系统（2.1a）和系统（）和系统（2.2a）均为可控型，）均为可控型， 的确定可以进一步简化。的确定可以进一步简化。 由式（由式（2.8）我们有：）我们有： （2.9） u T nn T vfxxxPeM 2211 00 11 vfxpe n i n i iiini fp me 其中：其中： （2.10）

26、（2.11） n i inip pee 1 vfxm n i iif 1 单变量输入输出反馈线性化直接方法及单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计鲁棒设计 ， 为标量，以后的计算中，只需根据式（为标量，以后的计算中，只需根据式（2.10）和（）和（2.11）便可确）便可确 定控制规律定控制规律 。 u p e f m 因为当状态偏差因为当状态偏差 的欧几里德范数的欧几里德范数 时，时， ，平衡状态，平衡状态 是在大范围内渐近稳定的，即是在大范围内渐近稳定的，即 为控制系统的大范围渐近稳定的动平衡状态。为控制系统的大范围渐近稳定的动平衡状态。 从而有从而有 时，时， 。由上面的分析可直接给

27、出如下定理：。由上面的分析可直接给出如下定理： ee )(eV0e t d xx d x 定理定理2.1 给定非线性时变系统（给定非线性时变系统（2.1）及模型参考系统（）及模型参考系统（2.2）。设）。设 稳稳 定，定， 为模型参考自由系统（为模型参考自由系统（ ）在原点平衡状态的李亚普诺夫函数。那么，）在原点平衡状态的李亚普诺夫函数。那么， 若存在控制若存在控制 使使 则偏差系统（则偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非线性时变系）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非线性时变系 统的输出渐近跟踪参考模型的输出。统的输出渐近跟踪参考模型的输出。 d A V0v u )

28、sgn()sgn( pf em 若能选择若能选择 使使 在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具 有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。 在这一方法中，若令在这一方法中，若令 ，即可实现系统的精确线性化。若非线性系统，即可实现系统的精确线性化。若非线性系统 是仿射非线性的，则其结果同微分几何方法。是仿射非线性的，则其结果同微分几何方法。 uM 0M 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 考虑仿射非线性系统考虑仿射非线性系统 （2.12） 选取选取 及其前及其前n-1阶导

29、数为状态变量，可将其转换为式（阶导数为状态变量，可将其转换为式（2.1）形式的状）形式的状 态空间表达式，且其中态空间表达式，且其中 （2.13） （2.14） y 由定理由定理2.1，令，令 ，可实现仿射非线性系统的精确线性化。由式，可实现仿射非线性系统的精确线性化。由式 （2.14）得精确线性化得控制策略为）得精确线性化得控制策略为 （2.15） uyyygyyyfy n a n a n ),(),( )1()1()( uxgxftuxf aa )()(),( vuxgxfxm aa n i iif )()( 1 1.精确线性化精确线性化 0 f m )( )( 1 1 xfxv xg u

30、 a n i ii a 2.鲁棒线性化设计鲁棒线性化设计 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 （1）设仿射非线性系统具有不确定性）设仿射非线性系统具有不确定性 （2.16） 其中其中 ，则控制策略，则控制策略 （2.17） 将使系统鲁棒线性化。将使系统鲁棒线性化。 证明：证明： 将将 代入代入 整理后有整理后有 由式（由式（2.9）有：）有： 由定理由定理2.1，偏差系统（，偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非 线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出。线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的

31、输出。 f m uxgxfxftuxf aaa )()()(),( max | )(|xfa )sgn()( )( 1 1 pa n i ii a exfxv xg u u)sgn( paf efm 0|)sgn( pappapfp efeefemeM （2）设仿射非线性系统具有不确定性）设仿射非线性系统具有不确定性 （2.18） uxgxgxfxftuxf aaaa )()()()(),( 仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 其中其中 ， 。不失一般性，设。不失一般性，设 则控制策略则控制策略 （2.19） 将使系统鲁棒线性化。将使系统鲁棒线性化。

32、证明：证明： 将将 代入代入 整理后有整理后有 由式（由式（2.9）有：）有： 由定理由定理2.1，偏差系统（，偏差系统（2.3）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非）的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非 线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出。线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出。 f m max | )(|xfa u max | )()(|xgxg aa )()(xgxg aa )sgn(| )(| 1 1 pa n i ii exfxvu )sgn(| )(|)( 11 pa n i ii aa aa n i iif exfxv gg vffxm )sgn(| )(|)(

33、11 pa n i ii aa aa n i iipfp exfxv gg vffxemeM 0| )(|)( 11 pappa n i ii aa a n i iip efeexfxv gg vfxe 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 考虑变系数线性系统考虑变系数线性系统 （2.20） utbutbutbytaytaytay m m n n n )()()()()()( 01 )( 12 )1()( 对照式（对照式（2.1b）有）有 （2.21） m j j j n i ii ubxatuxf 1 )( 1 ),( 根据式（根据式（2.9）-（

34、2.11），在保证），在保证 非正（即非正（即 非正）的前提下，至少有非正）的前提下，至少有 如下几种选择方式。如下几种选择方式。 f mM 1.精确抵消法精确抵消法 选择选择 使使 ，即，即 。这时可取。这时可取 （2.22） 0 f mu0M )()( )( 1 1 1 )( 11 )( vutbxtax tb u m j j j n i ii n i ii m m )( )( 1 1 )( 1 vubxta tb m j j j n i iii m 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 此时李雅普诺夫函数此时李雅普诺夫函数 ， ，其中，其中 ，

35、 。系统。系统 的动态方程直接由式（的动态方程直接由式（2.2）所示。）所示。 2.非精确抵消法非精确抵消法 由式（由式（2.9）-（2.11），我们有），我们有 （2.23） 设设 不变号，取不变号，取 （2.24） PeeeV T )(QeeeV T )( 0P0Q 由于要使由于要使 为李亚普诺夫函数，只需为李亚普诺夫函数，只需 非正，这就为本方法中非正，这就为本方法中 的选的选 择带来了极大的便利，最简单直接的方法就是取绝对值加符号函数方法。择带来了极大的便利，最简单直接的方法就是取绝对值加符号函数方法。 )(eVM u fp meM 11 vfxpe n i n i iiini )()

36、( 0 )( 111 vutbxtaxpe m j j j n i ii n i ii n i ini m b )sgn(|)(|)(| )( 1 1 1 0 )( 11 )( n i ini m j j j n i ii n i ii m m pevutbxtax tb u 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 代入式（代入式（2.23），并考虑到对任意函数），并考虑到对任意函数 有有 ，我们有，我们有 可见按式（可见按式（2.24）确定的）确定的 保证了保证了 为李雅普诺夫函数。为李雅普诺夫函数。 )sgn( ffff 0 )()(|)(|( )

37、(|)(|()|( )()( |)(|)(| 1 0 )( 1 0 )( 1111 1 0 )( 11 1 0 )( 11 veveutbeutbe xtaextaexexe vutbxtaxe vutbxtaxeM pp m j j jp m j j jp n i iip n i iip n i iip n i iip m j j j n i ii n i iip m j j j n i ii n i iip u )(eV 3.鲁棒控制系统的实现鲁棒控制系统的实现 线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计线性时变系统反馈线性化直接方法及鲁棒设计 在上述非精确抵消方法中，如果可预先确定系统各参

38、数取值的绝对值的在上述非精确抵消方法中，如果可预先确定系统各参数取值的绝对值的 最大值，则下述按参数绝对值最大值选取的控制律，不仅能保证最大值，则下述按参数绝对值最大值选取的控制律，不仅能保证 为李雅为李雅 普诺夫函数，同时还将使系统对区间内变化的参数具有鲁棒性。普诺夫函数，同时还将使系统对区间内变化的参数具有鲁棒性。 在式（在式（2.24）中，除）中，除 外，取各参数绝对值的最大值，有外，取各参数绝对值的最大值，有 （2.25） )(tbm )(eV )sgn(| )(| )(| )( 1 1 0 )( max 1 max 1 )( p m j j j n i ii n i ii m m e

39、vutbxtax tb u 其中其中 ， 。 )(max(| )(| max tata ii )(max(| )(| max tbtb jj 显然，如果我们选择显然，如果我们选择 ， 。则将。则将 使使 系统的鲁棒性进一步增加，同时还可使系统的鲁棒性进一步增加，同时还可使 的收敛速度加快。的收敛速度加快。 )(max(| )(| max tata ii )(max(| )(| max tbtb jj d xx 线性定常系统设计线性定常系统设计闭环极点配置闭环极点配置 考虑线性定常系统考虑线性定常系统 （2.26） 对照式（对照式（2.1b）有）有 （2.27） buxatuxf n i ii

40、1 ),( 设系统的希望动态特性如式（设系统的希望动态特性如式（2.2）所示。则由式（）所示。则由式（2.11）有）有 （2.28） buyayayay n n n 12 )1()( 111 11 vbuxaxpe vfxpe meM n i ii n i ii n i ini n i n i iiini fp 其中其中 （2.29） vbuxaxm n i ii n i iif 11 线性定常系统设计线性定常系统设计闭环极点配置闭环极点配置 令令 ，即，即 。则有。则有 ， 为李亚普诺为李亚普诺 夫函数，其中夫函数，其中 ， 。当。当 ，将有，将有 。0P 这时由式（这时由式（3.29）可解

41、出）可解出 （2.30） 0 f m )( 1 1 n i iii xav b u 其中其中 ， 。 0M0)(QeeeV T PeeeV T )( 0Qt d xx 1 Kxv b 21n kkkK iii ak), 1(ni 这一结果同状态反馈极点配置方法的结果是一致的。相当于利用线性状这一结果同状态反馈极点配置方法的结果是一致的。相当于利用线性状 态反馈将原系统的极点配置到了希望系统的极点位置。其具体实现形式为：态反馈将原系统的极点配置到了希望系统的极点位置。其具体实现形式为： 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：一般非线性系统的直接反馈线性化设计： 逆系统方法逆系统方法 考虑非线性系统

42、考虑非线性系统 （2.31） 将上式作为代数方程来看，如果从中可解出将上式作为代数方程来看，如果从中可解出 的显式表示的显式表示 （2.33） 则式（则式（2.33）即为系统（）即为系统（2.31）的逆系统）的逆系统。 u ),( )()1()( tuuuyyyfy mnn 选取选取 及其前及其前n-1阶导数为状态变量，用阶导数为状态变量，用 表示表示 及其前及其前m阶导数，则阶导数，则 上式可记为上式可记为 （2.32） y m u ),( )( tuxfy m n )(m u ),( 1 )()( tuxyhu m nm 在方程（在方程（2.33）中，记）中，记 ，则得到系统（，则得到系统

43、（2.33）的）的n阶积分逆阶积分逆 系统系统 ，由下式表示：，由下式表示： （2.34） )(n y u n : ),( 1 )( tuxhu m m 一般非线性系统的直接反馈线性化设计：一般非线性系统的直接反馈线性化设计： 逆系统方法逆系统方法 将将 代入代入 可得：可得： （2.35） 令令 ，可得精确线性化控制策略为，可得精确线性化控制策略为 （2.33） f m )(n yf vxm i n i if 1 0 f m 1 n ii i x 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 最简单形式的反馈线性化是将非线性系统中的非线性抵消掉，使闭环动最简单形式的反馈线性化是将非线性系统中的非线性

44、抵消掉，使闭环动 态特性变成线性形式。态特性变成线性形式。 例例3.1 控制水箱液面高度控制水箱液面高度 考虑将水箱中液面的高度考虑将水箱中液面的高度h，控制在指定的高，控制在指定的高 度度 ，控制输入是进入水箱的液体流量，控制输入是进入水箱的液体流量u，初，初 始高度为始高度为 。 其中其中 是水箱的横截面积，是水箱的横截面积，a是出水管的横截面积。如果初始高度是出水管的横截面积。如果初始高度 与期望高度与期望高度 相差悬殊，相差悬殊，h的控制就是一个非线性调节问题。的控制就是一个非线性调节问题。 动态方程式（动态方程式（3.1）可重写为）可重写为: d h 0 h 水箱的动态模型为水箱的动

45、态模型为 （3.1） ghatudhhA dt d h 2)()( 0 )(hA 0 h d h ghauhhA2)( 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 若选若选 为为 （3.2） 式中式中 为待求的为待求的“等效输入等效输入”，则得到线性的动态方程，则得到线性的动态方程 选取选取 为为 （3.3） 其中其中 为液面高度误差，为液面高度误差，a为一严格正常数，则得到闭环动态方程为：为一严格正常数，则得到闭环动态方程为： （3.4） 这说明当时这说明当时 ， 。根据式（。根据式（3.2）和式（）和式（3.3），实际的输入流），实际的输入流 量由下列非线性控制律确定：量由下列非线性控制律确定：

46、 （3.5） 式（式（3.5）中，右端第一项用来提供输出流量）中，右端第一项用来提供输出流量 ，第二项则是用来根据期，第二项则是用来根据期 望的线性动态特性式（望的线性动态特性式（3.4）去改变液面高度。）去改变液面高度。 v )(tu vhAghatu)(2)( vh hav v d hthh)( 0 hah t0)( th hahAghatu )(2)( gha 2 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 类似地，如果期望高度是一个已知的时变函数类似地，如果期望高度是一个已知的时变函数 ，则等效输入，则等效输入 可选为：可选为： 从而仍得到从而仍得到 时时 的结果。的结果。 v t0)( t

47、h )(thd hathv d )( 反馈线性化的想法，即抵消非线性并施加一个期望的线性动态特性，可以反馈线性化的想法，即抵消非线性并施加一个期望的线性动态特性，可以 直接应用于一类由所谓伴随型或能控标准形所描述的非线性系统。直接应用于一类由所谓伴随型或能控标准形所描述的非线性系统。 所谓一个系统是伴随型的，是指其动态方程可以表示为所谓一个系统是伴随型的，是指其动态方程可以表示为 （3.6） 其中其中u是标量控制输入，是标量控制输入，x是所关注的标量输出，而是所关注的标量输出，而 是状态矢是状态矢 量，量， 与与 是状态的非线性函数。这种形式的特点是尽管方程中出现是状态的非线性函数。这种形式的

48、特点是尽管方程中出现x的各的各 阶导数，但是不出现输入阶导数，但是不出现输入u的导数。若用状态空间表示，式（的导数。若用状态空间表示，式（3.6）可写为：）可写为： ubfx n )x()x( )( Tn xxxx, )1( )(xf)(xb 可以表示为这种能控标准形的系统，若使用控制输入（假定可以表示为这种能控标准形的系统，若使用控制输入（假定 不为零）不为零） （3.7） 就能抵消掉非线性特性而获得一个简单的输入就能抵消掉非线性特性而获得一个简单的输入输出关系（多重积分形式）输出关系（多重积分形式） 因此控制可选为因此控制可选为 其中其中 选择使得多项式选择使得多项式 的所有根均严格位于左

49、半平面从的所有根均严格位于左半平面从 而导致指数稳定的动态特性而导致指数稳定的动态特性 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 ubf x x x x x n n n )x()x( 2 1 1 )x(b )( 1 fv b u vx n )( )1( 110 n n xkxkxkv i k o n n n kpkp )1( 1 0 0 )1( 1 )( xkxkx n n n 即即 。对于跟踪期望轨迹。对于跟踪期望轨迹 的任务，控制律可选为：的任务，控制律可选为： （3.8） 其中其中 为跟踪误差，该控制律导致指数收敛跟踪。若标量为跟踪误差，该控制律导致指数收敛跟踪。若标量x换成矢换成矢 量，标

50、量量，标量b换成可逆方阵，亦可获得类似的结果。换成可逆方阵，亦可获得类似的结果。 在式（在式（3.6）中曾假定动态方程对于控制输入是线性的（但对状态是非线）中曾假定动态方程对于控制输入是线性的（但对状态是非线 性的），然而这一方法不能推广到把性的），然而这一方法不能推广到把u换成一个可逆函数换成一个可逆函数 的情形。例如，的情形。例如， 通过阀门控制流量的系统，其动态特性可能是依赖于通过阀门控制流量的系统，其动态特性可能是依赖于 而不是直接依赖于而不是直接依赖于u， 这里这里u是阀门开启的直径。这时只要定义是阀门开启的直径。这时只要定义 ，即可以容易地根据上述步骤，即可以容易地根据上述步骤 首

51、先设计出首先设计出 ，然后利用，然后利用 来计算输入来计算输入u。这种方法实际上避免了在控。这种方法实际上避免了在控 制计算中出现非线性。制计算中出现非线性。 当非线性动态方程当非线性动态方程不是能控标准形时不是能控标准形时，可以首先利用代数变换将方程化为，可以首先利用代数变换将方程化为 能控标准形，然后再使用上述的反馈线性化设计，或者借助于原动态系统的部能控标准形，然后再使用上述的反馈线性化设计，或者借助于原动态系统的部 分线性化，而不要求总体的线性化。分线性化，而不要求总体的线性化。 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 )(ug 0)(tx)(txd )1( 110 )( n n n d

52、 ekekekxv )()(txtxe d 4 u 4 u 4 1 u 考虑单输入非线性系统考虑单输入非线性系统 中控制输入中控制输入 的设计问题。输入的设计问题。输入-状态线状态线 性化方法通过两步来解决这个问题。性化方法通过两步来解决这个问题。 首先找出一个状态变换首先找出一个状态变换 与一个输入变换与一个输入变换 使非线性系统动使非线性系统动 态方程化成一个等效的线性定常系统动态方程，并表示成熟知的形式态方程化成一个等效的线性定常系统动态方程，并表示成熟知的形式 。 其次，再利用标准的线性控制方法（例如极点配置）来设计其次，再利用标准的线性控制方法（例如极点配置）来设计 。 以一个简单的

53、二阶系统为例来说明这个方法。考虑系统以一个简单的二阶系统为例来说明这个方法。考虑系统 （3.9） 虽然线性控制设计也能使这个系统在平衡点虽然线性控制设计也能使这个系统在平衡点（0,0）附近的一个小范围内稳附近的一个小范围内稳 定，然而采用什么控制器能使它在更大的范围内稳定却不是一目了然的。尤其是定，然而采用什么控制器能使它在更大的范围内稳定却不是一目了然的。尤其是 方程中的非线性更增加了控制上的困难，因为它不能直接用控制输入来抵消。方程中的非线性更增加了控制上的困难，因为它不能直接用控制输入来抵消。 输入输入状态线性化状态线性化 ), x(ufx u )x(zz (x, )uu bvAzz v

54、 )2cos(cos sin2 1122 1211 xuxxx xaxxx 如果考虑一组新的状态变量如果考虑一组新的状态变量 （3.10） 则新的状态方程为则新的状态方程为 （3.11） 可以看到，新的状态方程平衡点依然为可以看到，新的状态方程平衡点依然为（0,0）。同时可以看出，下列控制律。同时可以看出，下列控制律 （3.12） 可用来抵消上式中的非线性。其中可用来抵消上式中的非线性。其中 是待设计的等效输入，于是可得到线性的是待设计的等效输入，于是可得到线性的 输入输入状态关系为状态关系为 （3.13） 输入输入状态线性化状态线性化 122 11 sin xaxz xz )2cos(sin

55、coscos2 2 111112 211 zauzzzzz zzz )cos2sincos( )2cos( 1 1111 1 zzzzv za u v vz zzz 2 211 2 因此，通过状态变换式（因此，通过状态变换式（3.10）和输入变换式（）和输入变换式（3.12），就将用原来的），就将用原来的 输入输入 去稳定原来的非线性动态系统式（去稳定原来的非线性动态系统式（3.9）这样一个问题转变成了用新的）这样一个问题转变成了用新的 输入输入 去稳定新的动态系统式（去稳定新的动态系统式（3.13）的问题。）的问题。 由于新的动态系统是线性和能控的，采用熟知的线性状态反馈控制律由于新的动态系

56、统是线性和能控的，采用熟知的线性状态反馈控制律 并适当选择反馈增益，就能对极点任意地进行配置。例如可以选择并适当选择反馈增益，就能对极点任意地进行配置。例如可以选择 （3.14） 而得到稳定的闭环动态系统而得到稳定的闭环动态系统 它的两个极点都在它的两个极点都在-2处。处。 输入输入状态线性化状态线性化 v 2211 zkzkv 2 2zv 22 211 2 2 zz zzz u 用原来的状态用原来的状态 和和 表示，与此控制律相应的原控制输入为表示，与此控制律相应的原控制输入为 （3.15） 原来的状态原来的状态 由由 给出为给出为 （3.16） 由于由于 和和 两者均收敛于零，故原来的状态

57、两者均收敛于零，故原来的状态 亦收敛于零。亦收敛于零。 输入输入状态线性化状态线性化 2 x 1 x )cos2sincossin22( )2cos( 1 111112 1 xxxxxax x u xz azzx zx / )sin( 122 11 1 z 2 zx 采用上述控制后的采用上述控制后的 闭环系统如右图所示。闭环系统如右图所示。 这个控制系统中存在两这个控制系统中存在两 个环：内环实现输入个环：内环实现输入- 状态关系的线性化，外状态关系的线性化，外 环实现闭环动态特性的环实现闭环动态特性的 稳定性。稳定性。 关于上述控制律，有以下几点进一步的说明：关于上述控制律，有以下几点进一步

58、的说明： 1.虽然在状态空间中一个相当大的区域内上面的结论均成立，但它不是全局性虽然在状态空间中一个相当大的区域内上面的结论均成立，但它不是全局性 的。控制律在的。控制律在 时没有定义。显然，当初始状态位于这些奇时没有定义。显然，当初始状态位于这些奇 点处时，控制器不能使系统达到平衡点。点处时，控制器不能使系统达到平衡点。 2.输入输入状态线性化是通过状态变换与输入变换相结合而实现的，而在两种变状态线性化是通过状态变换与输入变换相结合而实现的，而在两种变 换中都用到了状态反馈。因此它是通过反馈来进行线性化，简称为反馈线性化。换中都用到了状态反馈。因此它是通过反馈来进行线性化，简称为反馈线性化。

59、 这一点与基于线性控制的小范围雅可比线性化有着本质的区别。这一点与基于线性控制的小范围雅可比线性化有着本质的区别。 3.为了实现这个控制律，需要用到新的状态变量（为了实现这个控制律，需要用到新的状态变量（ , ）。若它们在物理上）。若它们在物理上 没有意义，或不能直接测量，则必须测量原来的状态没有意义，或不能直接测量，则必须测量原来的状态 并用式（并用式（3.10）来计）来计 算新的状态变量。算新的状态变量。 输入输入状态线性化状态线性化 , 2 , 1) 24 ( 1 k k x 1 z 2 z x 4.一般说来，控制器设计和一般说来，控制器设计和 的计算都须用到系统模型。如果模型存在不确定

60、的计算都须用到系统模型。如果模型存在不确定 性，即参数性，即参数 有不确定性，则从式（有不确定性，则从式（3.10）和式（）和式（3.12）可见，这种不确定）可见，这种不确定 性对于计算新状态变量性对于计算新状态变量 和计算控制输入和计算控制输入 都会引起误差。都会引起误差。 5.利用这种方法也能考虑跟踪控制的问题，但是这时应将期望的运动用新的状利用这种方法也能考虑跟踪控制的问题，但是这时应将期望的运动用新的状 态矢量来表示，还可能需要进行复杂的计算，将期望运动的特性指标由原来的态矢量来表示，还可能需要进行复杂的计算，将期望运动的特性指标由原来的 物理上有意义的输出变量表示变换成现在的新的状态