泰勒级数与幂级数中

1、1/26 微积分十一 ).1 , 1 . ;1 , 1.( ;1 , 1 . );1 , 1.( ) ()1(. 1 1 1 ? ? ? ? ? ? DCBA n x n n n 的收敛区间是级数 ._ 3 . 2 1 12 ? ? ? ? ? R x n n n 的收敛半径级数 3.求幂级数 的收敛区间. ? ? ? ? ? ? 1 1 )13( )1( n n n n x 2/26 微积分十一 ).1 , 1 . ;1 , 1.( ;1 , 1 . );1 , 1.( ) ()1(. 1 1 1 ? ? ? ? ? ? DCBA n x n n n 的收敛区间是级数 C n n a a n

2、 n n n1 1 1 limlim 1? ? ? ? ? ? 1? R ? ? ? ? ? 1 1 1 )1(,1 n n n x级数变为时当收敛 发散。级数变为时当 ? ? ? ? 1 1 ,1 n n x 1 , 1 (? ?：故幂级数的收敛区间为 1 1 lim? ? ? ? n n n 3/26 微积分十一 ._ 3 . 2 1 12 ? ? ? ? ? R x n n n 的收敛半径级数 n n n n n n n n x x u u 3 3 limlim 12 1 32 1 ? ? ? ? ? ? ? 33 lim 22 xx n ? ? ,1 3 2 时当? x ,3?x 原级

3、数绝对收敛。 ,1 3 2 时当? x ,3?x 原级数发散。 收敛半径为： 3?R 3 4/26 微积分十一 3.求幂级数 的收敛区间. ? ? ? ? ? ? 1 1 )13( )1( n n n n x 解: : tx? ? 1 3令 n n n a a 1 lim ? ? ? 1 lim ? ? ? n n n 1? 收敛. ,1时 当 ? t 1? R , 1 )1(*) 1 1 ? ? ? ? ? n n n 化为 发散. ,1时当?t , 1 (*) 1 ? ? ? ? n n 化为 0 3 2 (，原级数的收敛区间为? ? ? ? ? ? 1 1 )1( n n n n t 则

4、级数化为 (*) 对于(*) 1131?x即 11(*)，的收敛区间为? 0 3 2 ?x得 一、函数项级数的概念 微 积 分 电 子 教 案 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的性质 四、泰勒级数 五、函数展开成幂级数 6/26 微积分十一 x? ? 1 1 ? ? ? ? n n n xxxxx 32 0 1 )( )( 0 IxxSxa n n n ? ? ? ? )1 , 1 (? ?x 在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ， 称 为函数项级数的和函数。 x)(xs )(xs 7/26 微积分十一 上式两边积分得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x n

5、 n n x n x n n xdx x n x dxxdxx 0 0 1 0 00 0 )1ln( 1 1 1 )( 于是 )11()1ln( 1 0 1 ? ? ? ? ? ? xx n x n n 幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变， 但是收敛区间可能改变。 )11( 1 1 0 ? ? ? ? ? x x x n n ? ? ?1 n n n x 8/26 微积分十一 解： 1 1 limlim)1 ( 1 ? ? ? ? ? ? n n a a n n n n ? 1? R 例4 ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 . 2 , n n n n n nx 的和数项级数 并求的收

6、敛区间与和函数求幂级数 ? ? ? ? 1 ,1 n nx级数变为时当发散; ? ? ? ? 1 )1(,1 n n nx级数变为时当发散; ; 故幂级数的收敛区间为 ).1 , 1 (? 9/26 微积分十一 解： ? ? ? ? ?n n n nxxxnxxS 2 1 1 321)()2(设 例4 ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 . 2 , n n n n n nx 的和数项级数 并求的收敛区间与和函数求幂级数 上式求导： ) 1 ()(? ? ? x x xS ? ? x n x dtntttdttS 0 2 0 )321()(? x n ttt 0 2 )(? ? n xxx

7、2 x x ? ? 1 ) 11( )1 ( 1 2 ? ? ?x x )1 , 1 (? ?x 10/26 微积分十一 解： 代入上式令对号入座 2 1 )(3(?x 例4 ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 . 2 , n n n n n nx 的和数项级数 并求的收敛区间与和函数求幂级数 4 ) 2 1 1( 1 22 1 1 ? ? ? ? ? ? ? n n n ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 22 1 2 n n n n nn 2 22 1 1 1 ? ? ? ? ? n n n 11/26 微积分十一 解解 例 5 求级数 ? ? ? ? ? 1 1 ) 1 ( n

8、n n n x 的和函数 . n n a a n n n n1 )1( 1 limlim 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 )1(,1 n n n x级数变为时当收敛; ? ? ? ? 1 ) 1 (,1 n n x级数变为时当发散; 故幂级数的收敛区间为 .1 , 1 (? 1 1 lim? ? ? ? n n n 1? R 12/26 微积分十一 解解 1 , 1( ,)1()( 1 1 ? ? ? ? ? x n x xs n n n 设 , 0)0(?s显然 两边积分得 )1ln()( 0 xdtts x ? ? ? 2 1)(xxxs, 1 1 x? ?)1

9、1(?x )1ln()0()(xsxs?即 例 5 求级数 ? ? ? ? ? 1 1 ) 1 ( n n n n x 的和函数 . ).1ln()1( 1 1 x n x n n n ? ? ? ? ? )11(?x ),1ln()(xxs? 13/26 微积分十一 解： 1 1 2 1 2)1( 1 limlim)1( ? ? ? ? ? ? ? n n n n n n n n a a ? 例6 . 2 1 1的收敛区间与和函数 求幂级数 ? ? ? ? ? n n n n x ? ? ? ? 1 2 ,2 n n x级数变为时当发散; ? ? ? ? 1 2 )1(,2 n n n x级

10、数变为时当收敛; 故幂级数的收敛区间为 ).2 , 2 ? 2 1 )1(2 lim? ? ? ? n n n 2? R 14/26 微积分十一 解： )2 , 2 , 2 )()2( 1 1 ? ? ? ? ? ? ? x n x xS n n n 设 例6 . 2 1 1的收敛区间与和函数 求幂级数 ? ? ? ? ? n n n n x ) 2 ()( 1 1 ? ? ? ? ? ? ? n n n n x xS ? ? ? ? ? ? 1 1 1 2 n n n x ? ? ? ? ? 1 1 ) 2 ( n n x 2 1 1 x ? ? )22( 2 2 ? ? ?x x ? ?

11、? x dt t xS 0 2 2 )( x t 0 )2ln(2? )2ln(22ln2x? x? ? 2 2 ln2)2 , 2 ?x 15/26 微积分十一 练习.求 的和函数，并求 ? ? ? ? 1 )1( n n xnn? ? ? ? 1 2/ )1( n n nn 解： 11 ) 1()( ? ? ? nn nxnx因为 )() 1( 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?n n n n xxxnn所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x x 1 2 3 )1( 2 x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 )1( )1()1(2 x xxx x

12、 当 x=1/2 时， 8 ) 2 1 1( 2 1 2 2/ )1( 3 1 ? ? ? ? ? ? ?n n nn 16/26 微积分十一 幂级数的和函数 S(x).如 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 )( n n n n n n xaxxa或 使得幂级数在其收敛区间 X内恰好等于 f(x)？即 相反的问题： 2 1 n xxx? 1 ;(11) 1 x x ? ? 1 1x ? ? ? f(x)如果能能展开为幂级数，则称 为f(x)的幂级数展开式 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 )( n n n n n n xaxxa或 对于给定的函数 f(x)能不能找到一 个幂级数 ? n x

13、xx 2 1)11(?x 17/26 微积分十一 含义不同: (1)表示幂级数的和函数 (2)表示函数变为幂级数即展开为幂级数 . )11( ; 1 1 1 2 ? ? ?x x xxx n ?(1) (2) )11( ;1 1 1 2 ? ? xxxx x n ? f(x)如果能展开为幂级数 (分为两种): )( )()()1( 0 0 00 的幂级数处展开：在xxxxaxfx n n n ? ? ? ? )( )(0)2( 0 0 的幂级数处展开：在xxaxfx n n n? ? ? ? 18/26 微积分十一 问题: 2.如果能展开, 是什么? n a 3.展开式是否唯一? 1.在什么条

14、件下才能展开成幂级数 ? 定理 1 如果函数)(xf具有任意阶导数,且能够展开 成)( 0 x x ? 的幂级数, 即 n n n xxaxf)()( 0 0 ? ? ? ? 则其系数 ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )( ?nxf n a n n 且展开式是唯一的. （其中 )()(, 1!0 00 )0( xfxf? ） 1.泰勒级数与麦克劳林级数 19/26 微积分十一 定理不仅给出求函数幂级数展开式的系数的方法 ， 而且说明函数的幂级数展开式是唯一的。 如果)(xf在点 0 x处任意阶可导,则幂级数 n n n xx n xf )( ! )( 0 0 0 )( ? ? ?

15、? 称为)(xf在点 0 x的泰勒级数. n n n x n f ? ? ? 0 )( ! )0( 为)(xf的麦克劳林级数. . 定义定义 特别地当 x0=0时，则称 20/26 微积分十一 泰勒级数和定理1的微妙区别: 如果函数f(x)在点x0处能展开为幂级数, 则其幂级数 展开式一定是泰勒级数 . ? ? ? ? 0 0 0 )( )( ! )( n n n xx n xf )(xf ? ? 如果按这种方法构造一个级数 ? ? ? ? 0 0 0 )( )( ! )( )( n n n xx n xf xf 该级数的收敛区间 ? 泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定. 21/

16、26 微积分十一 定理 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有直到 n+1阶 的导数，则对该邻域内任意的 x，有： 拉格朗日余项 （泰勒中值定理） )()( )!1( )( )( 0 1 0 )1( 之间与在其中xxxx n f xR n n n ? ? ? ? ? ? ? )()( ! 1 )( ! 2 1 )()()( 00 )( 2 00000 xRxxxf n xxxfxxxfxfxf n nn ? ? ? ? f(x)在点x0处的n阶泰勒公式 2、 泰勒公式 22/26 微积分十一 拉格朗日中值定理 )()( ! 1 )( ! 2 1 )()()( 00 )( 2 00000 xRxx

17、xf n xxxfxxxfxfxf n nn ? ? ? ? )( )( ! 3 )( )( ! 2 )( )()()( 0 3 0 2 0 0 000 之间与在xxxx f xx xf xxxfxfxf ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2阶： )( )( ! 2 )( )()()( 0 2 0000 之间与在xx xx f xxxfxfxf ? ? ? ? ? ?1阶： 0阶： )( )()()( 000 之间与在xxxxfxfxf? 23/26 微积分十一 特别地,若x0= 0,则有: ,称为麦克劳林公式 )( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( )( 2 xRx n

18、f x f xffxf n n n ? ? ? ? )0( )!1( )( )( 1 )1( 之间与在xx n f xR n n n ? ? ? ? ? ? 比较泰勒级数和泰勒公式: )()()( 1 xRxSxf nn ? ? )()(lim 1 xfxSn n 存在 如果? ? ? 即泰勒级数收敛于 f(x). 此时必须 0)(?xRn 泰勒级数的前n+1项 24/26 微积分十一 函数展开成幂级数的充分必要条件 定理 )()( )!1( )( )( 0 1 0 )1( 之间与在其中xxxx n f xR n n n ? ? ? ? ? ? ? 0)(lim : )( ! )( )( )( 0 0 0 )( 0 ? ?