周期数列详解

1、。周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列 an ，如果存在一个常数T (TN ) ，使得对任意的正整数nn0 恒有 an Tan 成立，则称数列 an 是从第 n0项起的周期为T 的周期数列。若n01，则称数列 an 为纯周期数列，若n02 ，则称数列 an 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。设 An 是整数 ,m 是某个取定的大于 1 的正整数 ,若 Bn 是 An 除以 m 后的余数 ,即 Bn=An(mod m), 且 Bn 在0,1,2,.,m-1, 则称数列 Bn 是 An 关于 m 的模数列 ,记作An(mod m)。若模数列 An(

2、mod m)是周期的 ,则称 An 是关于模m 的周期数列。二、周期数列的性质1 、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果 T 是数列 an 的周期，则对于任意的kN， kT 也是数列 an 的周期。3、若数列 an 满足 anan1 an 2 （ nN，且 n2 ），则 6 是数列的一个周期。4、已知数列 an 满足 antan （ n, t N，且 t 为常数）， Sn 分别为 an 的前 n 项的和，若 n qtr （ 0rt ， rN），则 anar ， SnqSt Sr。特别地：数列 an 的周期为 6 ，（即： an 6an ）则 S2012335S6S25、若数列 an 满

3、足 ananks (nk, nN) ，则数列 an 是周期数列；若数列 an 满足 anan 1an ks (nk, nN) ，则数列 an 是周期数列。若数列 an 满足 anan 1anks ( nk, nN, s0) ，则数列 an 是周期数列。特别地：数列 an 满足 anan 1s (nk, nN ) ，则数列 an 周期 T=2 ；-可编辑修改 -。数列 an 满足 anan1an 2s (nk, n N ) ，则数列 an 周期 T=3数列 an 满足 an an 1s ( n k, n N) ，则数列 an 周期 T=2 ；数列 an 满足 an an 1 an2 s (nk,

4、 nN ) ，则数列 an 周期 T=3aan1b, a+d=0,则数列 an 是周期 T=2 ；6、若数列 an 满足 andcan1例：数列 an 满足 an3an 17an, 则数列 an 是周期 T=2 ；13三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式（ 1 ）数列 1 ，2，1 ，2，1 ，2， 的通项公式解析：原数列可构造成：31 ， 31 ， 31 ， 31 ， 31 ，31 ， ，222222222222它的通项公式可以写成： an3( 1) n 1(n N) ，22或者写成： an31 sin(2n )( n N) ，2231(n N) ，又或者写成： ancosn22总

5、结：一般的 数列 a ， b ， a， b ， a ， b ，它的通项公式可以写成：an1 (a b) 1 (b a) cos n( n N)22（ 2 ） 1， 0 ， 1 ， 1， 0 ，1， 的通项公式解析：该 数列周期为3 ，我们把它与周期为 的函数 ytan x 进行改造，使它们能发生2联系。事实上，当x 分别为， 0，333， ， 4 ， 时， tan x 的值分别为33 ， 0 ，3 ，3 ， 0 ，3 ，-可编辑修改 -。这样 1， 0 ， 1 ， 1 ， 0 ， 1 ， 的通项公式可以写成：1tan(n 2)31(n N)所以，原数列的通项公式为bn 2tan(n 2)3（

6、3 ）数列 cn ： 1 ，2 ，3 ， 4 ， 1 ， 2， 3 ， 4 ， 的通项公式解析：将原数列扩大2 倍： 2， 4 ， 6 ， 8 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 再减去平均数5 得到：3 ，1， 1， 3 ，3 ，1， 1 ， 3 ， 分解成两个数列： (1)1， 1 ，1 ， 1 ，1， 1 ，1 ， 1 ， (2)2 ，2， 2 ， 2 ，2 ，2 ， 2 ， 2 ， (1) 的通项公式为 ( 1) n 易得， (2) 的通项只要求出1 ，1 ，1，1 ，1 ，1，1 ，1 ， 的通项便可以了，它与 (2) 相差一个系数2 。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一

7、致，它通项：c1n2 sin( 1 n1)(n N) ，2 4 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 的通项为：11c2n2 2 sin( n) (n N) ，2 4 3 ， 1 ， 1 ， 3 ， 3 ， 1 ， 1 ， 3 ， 的通项为：c3 n ( 1) n2 2 sin( 1 n1) (n N) ，24则原数列 cn 的通项为：cn1 5 ( 1) n2 2 sin( 1 n1) (n N) 。224-可编辑修改 -。（ 4 ） cn ： 1， 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3， 3， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 的

8、通项公式乘以 ( 4) 得：4 ，4 ，4 ，4 ，8 ，8 ，8 ，8 ，12 ，12 ，12，12 ， ，加上 (n+4) 得： 1 ，2 ，3 ，4 ，1 ，2 ，3 ，4 ，1， 2 ，3 ，4 ， ，它的通项公式为：cn 1 5 ( 1) n2 2 sin(1n1)224又 cn 4cn( n4)化简整理得：cn1 2n3 (1) n22 sin(1n1 (n N) 。8242、求数列中的项例 3 （由第十四届希望杯改编）、已知数列 an 中， a13, a25 且对于大于 2的正整数，总有 anan 1an2 ，则 a2009 等于（）A -5B -2C 2D 3解析：由性质（2）

9、知，数列 an 是以 6为周期的周期数列，而2009 63345 ，再由性质（ 3 ）可得 a2009a5a4a3( a3a2 ) a35 ，故选 A 例 4 （上海中学数学杂志 2000年的第 1期）、已知实数列 an 满足 a1a （ a 为实数）， an3an 11( nN)，求 a2000 3an 13an 133an1 1an 1解： an( nN )可变形为 an3我们发现 an333an 113an 1an 1133tanxtan与三角式 tan(x)6十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系61tan x tan6-可编辑修改 -。的原型通过运算，发现本题中可取an = ta

10、nn(n1)， an1tan显然此数列的66周期是 6 而 200033362，再由性质（3 ），得 a2000a23a1 3a3 、求周期数列的前n 项和例 5 、设数列 an 中， a1a21， a32 ，且对 nN ，有 an an1 an 2 an 3 =anan 1an2an3 （ an an1an 21）成立，试求该数列前100项和 S100 解：由已知条件，对任何自然数N，有 an an 1 an2 an3 =anan1an2 an 3 ，把式中的 n 换成 n1，得 an 1an 2 an 3 an4 = an1an 2an3an 4 两式相减得，an 1an 2 an 3 (

11、anan4 )anan 4 因为 an1an 2an 31，所以an 4an(nN ) 所以 an 是以 4为周期的周期数列，而1004 25 ，再由性质（3 ），得 S10025S4 25(1124)200 例 6 （上海 08质检题）、若数列 an 满足 an 2an 1an ( n N) ， Sn 为 an 的前n 项和，且 S22008 ， S32010，求 S2008 解析：由 an 2an 1an 及性质（ 2），可知所以数列 an 是以 6为周期的周期数列由 S22008 ， S32010 ，知 a1a22008 ， a1a2a32010，再结合a3a2a1 ，可求得 a11003， a21005 ， a32；由递推关系式可进一步求得a41003， a51005 ， a62 因为 200863344，由性质（ 3），得S2008334S6S4334010071007 4 、求周期数列的极限例 7 、（ 06北京）在数列 an 中， a1 ， a2是正整数，且anan 1n 2 ，an3,4,5，则称 an 为“绝对差数列”若“绝对差数列” an 中， a203 ，a210 ，数列 bn 满足 bn an an 1an2 ， n 1,2,3，分别判断当 n时，数列 an 和 bn 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值解析：因为在绝对差数列