最新人教部编版八年级数学上册《13.3等腰三角形【全套】》精品PPT优质课件

1、第第1课时课时 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 R八年级上册八年级上册 13.3.1 等腰三角形等腰三角形 在前面学习轴对称图形中，大家知道等在前面学习轴对称图形中，大家知道等 腰三角形是轴对称图形，今天我们就运用轴腰三角形是轴对称图形，今天我们就运用轴 对称图形的性质来探究等腰三角形的性质对称图形的性质来探究等腰三角形的性质. （1）知道等腰三角形的性质知道等腰三角形的性质. 等腰三角形的性质及应用等腰三角形的性质及应用. （2）能运用等腰三角形的性质进行证明和能运用等腰三角形的性质进行证明和 计算计算. 知识点知识点1探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 探究探究 如图所

2、示，把一张如图所示，把一张 长方形的纸按图中虚线长方形的纸按图中虚线 对折，并剪去阴影部分，对折，并剪去阴影部分， 再把它展开，得到的再把它展开，得到的 ABC 有什么特点？有什么特点？ A B C D 探究探究 仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片， 你能发现这个等腰三角形的特征吗？你能发现这个等腰三角形的特征吗？ 同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同， 形状各异，是否都具有上述所概括的特征？形状各异，是否都具有上述所概括的特征？ 在练习本上任意画一个等腰三角形，把在练习本上任意画一个等腰三角形，把 它剪下来，折一折，上面得出的

3、结论仍然成它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成 立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？ 等腰三角形的性质等腰三角形的性质: 性质性质1：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的两个底角相等； 性质性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高相互重合上的中线、底边上的高相互重合 由上面的操作过程获得启发，我们可由上面的操作过程获得启发，我们可 以利用三角形的全等证明这些性质以利用三角形的全等证明这些性质. . A BC D 如图，如图，ABC 中，中，AB =AC，作，作 底边底边BC的中线的中线AD. 证明：证

4、明： AB =AC， BD =CD， AD =AD， BAD CAD（SSS） B =C A C D BAD =CAD， BDA =CDA BDA +CDA =180， ADB =90 ADBC 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程在等腰三角形性质的探索过程和证明过程 中中“折痕折痕”“”“辅助线辅助线”发挥了非常重要的作用，发挥了非常重要的作用， 由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？ 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 （顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它 的对称轴的对称

5、轴 练习练习1填空：填空： （1）如图，）如图，ABC 中，中，AB =AC， A =36, 则则B = ； A BC 72 （2）如图，）如图，ABC 中，中， AB =AC，B = 36， 则则A = ； A BC 108 知识点知识点2等腰三角形性质的运用等腰三角形性质的运用 例例1 如图，在如图，在ABC 中，中，AB =AC， 点点D 在在AC 上，且上，且BD =BC =AD求求ABC 各角的度数各角的度数 解：解： AB =AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC，A= ABD 设设A=x，则，则BDC= A+ABD=2x， 从而从而ABC= C= BDC=2x， 于是在于是

6、在ABC 中，有中，有 A +ABC+ C = x+2x+2x = 180 解得解得x = 36. 所以，在所以，在ABC 中，中，A = 36， ABC =C =72. 练习练习2 在下列等腰三角形中，分在下列等腰三角形中，分 别求出它们的底角的度数别求出它们的底角的度数. 72 30 1.等腰等腰ABC中，中，AB=AC，A=30，则，则B= （ ） A30 B60 C75 D85 C 2.等腰三角形的一个外角是等腰三角形的一个外角是100，它的顶角，它的顶角 的度数是（的度数是（ ） A80B20 C20或或80D50或或80 C 3. 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC，

7、 AD=AC=BD，求，求B的度数的度数. 解：解：AD平分平分BAC，BAD=CAD. AD=AC，ADC=C. AD=BD，BAD=B. 设设B=x，则，则BAC=2BAD=2x， C=ADC=B+BAD=2x， B+BAC+C=x+2x+2x=180， 解得解得x=36，B=36. 4.如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，E在在CA的延的延 长线上，长线上，AEFAFE，求证：，求证：EF BC. 证明：证明：作作ADBC，垂足为，垂足为D. AB=AC，BAC=2CAD. AEF=AFE， BAC=AEF+AFE=2AEF. CAD=AEF，ADEF. ADBC，EFBC. 等腰三

8、角形的性质等腰三角形的性质: 性质性质1：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的两个底角相等； 性质性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合上的中线、底边上的高互相重合 课后作业课后作业 1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。 课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！ 谢谢观赏！ 再见！ 第第2课时课时 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 R八年级上册八年级上册 我们知道如果一个三角形有两条边相等，我们知道如果一个三角形有两条边相等， 那么它们所对的角相等，反过来如果一个三那么它们所对的

9、角相等，反过来如果一个三 角形有两个角相等，那么它们所对的边是否角形有两个角相等，那么它们所对的边是否 也相等呢？这节课我们带着这个问题研究等也相等呢？这节课我们带着这个问题研究等 腰三角形的判定方法腰三角形的判定方法. （1）会阐述、推证等腰三角形的判定定理会阐述、推证等腰三角形的判定定理 等腰三角形判定定理的灵活运用等腰三角形判定定理的灵活运用. （2）会运用判定定理解决证明线段相等的问题会运用判定定理解决证明线段相等的问题 知识点知识点1 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理 思考思考 我们知道，如果一个三角形有两条边我们知道，如果一个三角形有两条边 相等，那么它们所对的角相

10、等相等，那么它们所对的角相等. 反过来，反过来， 如果一个三角形有两个角相等，那么它们如果一个三角形有两个角相等，那么它们 所对的边有什么关系？所对的边有什么关系？ A BC 证明：证明：过过A 点作点作ADBC，垂足为，垂足为D. 在在BAD 和和CAD 中，中， D B =C， ADB = ADC = 90， AD = AD， ABD ACD AB = AC 追问你还有其他证明方法吗？追问你还有其他证明方法吗？ 已知：如图，在已知：如图，在ABC 中，中，B =C. 求证：求证：AB=AC 思考与等腰三角形性质进思考与等腰三角形性质进 行比较，两者有什么区别？行比较，两者有什么区别？ 等腰

11、三角形的判定方法：等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等（简写成角所对的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”） 符号语言：符号语言： 在在ABC 中，中，B =C， AB =AC A BC A BC D 共有共有3个等腰三角形个等腰三角形 ABC、 DAB、 BCD （证明略）（证明略） 练习练习1如图，如图，A =36， DBC =36，C =72，图中，图中 一共有几个等腰三角形？找出其一共有几个等腰三角形？找出其 中的一个等腰三角形给予证明中的一个等腰三角形给予证明 知识点知识点2等腰三角形判定的应用等腰

12、三角形判定的应用 例例1求证：如果三角形一个外角的平分求证：如果三角形一个外角的平分 线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等 腰三角形腰三角形. 已知：已知：CAE 是是ABC 的的 外角，外角，1 =2，ADBC 求证：求证：AB =AC. A BC D E 1 2 证明：证明：ADBC ， 1 =B （ ），）， 2 =C （ ） 两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 1 =2， B =C AB =AC （ ）等角对等边等角对等边 A BC D E 1 2 D C 例例2已知等腰三角形底边长为已

13、知等腰三角形底边长为a ，底边，底边 上的高的长为上的高的长为h ，求作这个等腰三角形，求作这个等腰三角形. 作法：作法： （1）作线段）作线段AB =a； （2）作线段）作线段AB 的垂直平分线的垂直平分线MN， 与与AB 相交于点相交于点D； （3）在）在MN上取一点上取一点C，使，使DC =h； （4）连接）连接AC，BC，则，则ABC 就是就是 所求作的等腰三角形所求作的等腰三角形. AB M N a h 练习练习2如图，把一张长方形的纸沿着对如图，把一张长方形的纸沿着对 角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？ 为什么？为什么？ A B C D C

14、 E 解：解：是等腰三角形是等腰三角形 ABD CDB， ADB=CBD， EBD是等腰三角形是等腰三角形. 练习练习3 已知：已知：ABC，D为为AC的中点，的中点， BD = AC. 求证：求证：ABC = 90. 1 2 证明：证明：D为为AC的中点的中点， BD = AC. AD = BD = DC， A =ABD，C =DBC. A+ABC +C = 2（ABD +DBC） = 2ABC = 180 . ABC = 90， ABC是直角三角形是直角三角形. 1 2 练习练习4 如图，如图，AC和和BD相交于相交于O点，点， 且且AB DC，OA = OB. 求证求证OC = OD.

15、证明：证明：OA=OB， A=B， 又又ABDC， C=A=D=B， OC=OD. 1. 如图所示，已知如图所示，已知OC平分平分AOB， CDOB. 若若OD = 3，则，则CD等于（等于（ ） A.3cmB.4cm C.1.5cmD.2cm A 2. 如图所示，在如图所示，在ABC中，已知中，已知AB=AC， 要使要使AD = AE，需要添加的一个条件是，需要添加的一个条件是 _. （答案不唯一）（答案不唯一）BE = CD 3. 已知：已知：CE、CF分别平分分别平分ACB和它的外和它的外 角角ACM，EFBC，EF交交AC于点于点D，E是是 CE与与AB的交点的交点. 求证：求证：DE

16、=DF. 证明：证明： CF平分平分ACM， CE平分平分ACB， ACF=MCF.ACE=BCE. EFBC， F=MCF=ACF， FEC=BCE=ACE， DF=DC，DE=DC，DE=DF. 4.（1）如图，在）如图，在ABC中，中，AB=AC，ABC、 ACB的平分线相交于点的平分线相交于点F，过，过F作作DEBC， 交交AB于点于点D，交，交AC于于E问图中哪些三角形是问图中哪些三角形是 等腰三角形？等腰三角形？ （2）上题中，若去掉条件）上题中，若去掉条件AB=AC， 其他条件不变，图中还有等腰三角其他条件不变，图中还有等腰三角 形吗？形吗？解： 解：（1）ABC，ADE， BD

17、F，CEF，BCF都都 是等腰三角形是等腰三角形. （2）BDF和和CEF是等腰三角形是等腰三角形. BF平分平分ABC，CF平分平分ACB， ABF=CBF，ACF=BCF. 又又DEBC，DFB=CBF=ABF， EFC=BCF=ACF， DF=DB，EF=EC. BDF和和CEF是等腰三角形是等腰三角形. 等腰三角形的判定方法：等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这如果一个三角形有两个角相等，那么这 两个角所对的边也相等（简写成两个角所对的边也相等（简写成“等角对等等角对等 边边”） 课后作业课后作业 1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。 课堂感想 1、这

18、节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！ 谢谢观赏！ 再见！ 第第1课时课时 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定 R八年级上册八年级上册 13.3.2 等边三角形等边三角形 在等腰三角形中，如果底边等于腰长，在等腰三角形中，如果底边等于腰长， 那么这个等腰三角形又叫什么三角形呢？那么这个等腰三角形又叫什么三角形呢？ （1）知道等边三角形的定义，等边三角知道等边三角形的定义，等边三角 形与等腰三角形的关系形与等腰三角形的关系. （2）能叙述等边三角形的性质能叙述等边三角形的性质. （3）熟练地运用等边三角形的性质解决熟练地运用等边三角形的性质解决 问题问题

19、. 等边三角形的性质和判定方法等边三角形的性质和判定方法. 知识点知识点1 下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出 此图形的名称吗？此图形的名称吗？ 等边三角形的性质等边三角形的性质 三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形 问题满足什么条件的三角形是等边三角形？问题满足什么条件的三角形是等边三角形？ 等边三角形等边三角形 A BC 联系：联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形； 区别：区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰等边三角形有三条相等的边，而等腰 三角形只有两条三角形只有两条. 请分别画出一个

20、等腰三角形和等边三角请分别画出一个等腰三角形和等边三角 形，结合你画的图形说出它们有什么区别和形，结合你画的图形说出它们有什么区别和 联系？联系？A BC A BC 思考思考 将等腰三角形的性质用于等边三角形，将等腰三角形的性质用于等边三角形， 能得到什么结论？一个三角形的三个内角能得到什么结论？一个三角形的三个内角 满足什么条件才是等边三角形？满足什么条件才是等边三角形？ 图形图形边边角角轴对称图形轴对称图形 等腰等腰 三角形三角形 两边相等两边相等 （定义）（定义） 两底角相等两底角相等 （等边对等角）（等边对等角） 是（三线合一）是（三线合一） 一条对称轴一条对称轴 等边等边 三角形三角

21、形 三边相等三边相等 （定义）（定义） 三角都相等三角都相等 每个角都等于每个角都等于60 是（三线合一）是（三线合一） 三条对称轴三条对称轴 由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到： 等边三角形的三个内角都相等，并且每等边三角形的三个内角都相等，并且每 一个角都等于一个角都等于60. 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角为有一个角为60的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三 角形角形 请你自己证请你自己证 明这些结论明这些结论. 证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形， BC =AC，BC =AB A =

22、B，A =C A =B =C A +B +C =180， A =60 A =B =C =60 已知：已知：ABC 是等边三角形，求证：是等边三角形，求证：A =B =C=60 A BC 等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理2： 有一个角为有一个角为60的等腰三角形的等腰三角形 判定等边三角形的方法：判定等边三角形的方法： 从边的角度：从边的角度：等边三角形的定义；等边三角形的定义； 从角的角度：从角的角度：等边三角形的两条判定定理等边三角形的两条判定定理 知识点知识点2等边三角形

23、的判定等边三角形的判定 等边三角形等边三角形 等腰三角形等腰三角形 一般三角形一般三角形 证明：证明： ABC 是等边三角形，是等边三角形， A =B =C =60 DEBC， B =ADE，C =AED A=ADE =AED ADE 是等边三角形是等边三角形 例例 如图，如图，ABC 是等边三角形，是等边三角形， DEBC，分别交，分别交AB，AC 于点于点D，E求证：求证： ADE 是等边三角形是等边三角形. 证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC， ABC =ADE， ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等边三角形是

24、等边三角形. 变式变式1若点若点D、E 在边在边AB、AC 的延长的延长 线上，且线上，且DEBC，结论还成立吗？，结论还成立吗？ A DE BC 变式变式2若点若点D、E 在边在边AB、AC 的反向的反向 延长线上，且延长线上，且DEBC，结论依然成立吗？，结论依然成立吗？ 证明：证明： ABC 是等边三角形，是等边三角形， BAC =B =C =60 DEBC， B =D，C =E EAD =D =E ADE 是等边三角形是等边三角形 A DE B C 练习练习1 如图，等边三角形如图，等边三角形ABC中，中，AD是是 BC上的高，上的高，BDE =CDF = 60 ，图中有，图中有 哪些

25、与哪些与BD相等的线段？相等的线段？ BD = DC = DE = DF = AE = BE = AF = CF 1.等边三角形是等边三角形是_的等的等 腰三角形腰三角形. 2.等边等边ABC的两条角平分线的两条角平分线BD和和CE交于点交于点 I，则，则BIC等于（等于（ ） A.60B.90 C.120 D.150 三边都相等的特殊三边都相等的特殊 C 3.下列三角形：有两个角等于下列三角形：有两个角等于60；有；有 一个角等于一个角等于60的等腰三角形；三个外角的等腰三角形；三个外角 （每个顶点处各取一个外角）都相等的三角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角 形；一腰上的中线也是这条腰

26、上的高的等形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等 腰三角形，其中是等边三角形的有（腰三角形，其中是等边三角形的有（ ） A.B. C. D. 4.如果一个等腰三角形顶角的补角等于如果一个等腰三角形顶角的补角等于120， 那么这个等腰三角形一定是那么这个等腰三角形一定是_三角形三角形. D 等边等边 5.已知：如图，已知：如图，P、Q是是ABC的边的边BC上的两上的两 点，并且点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求求BAC 的大小的大小 解：解：PB = PQ = QC = AP = AQ， APQ是等边三角形是等边三角形. B =BAP，C =CAQ. B = APQ = 30

27、， C = AQP = 30. BAC=180-B -C=120 . 1 2 1 2 6.如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，BO，CO分别平分别平 分分ABC和和ACB，OEAB，OFAC，试证，试证 明明BE = EF = FC. 证明：证明：在等边三角形在等边三角形ABC中，中， ABC =ACB = 60. BO，CO分别平分分别平分ABC， ACB， ABO =OBC = 30， ACO =OCE = 30， 又又OEAB，OFAC， BOE =ABO =OBC = 30， COF =ACO =OCB = 30. BE = OE，CF = OF， OEF = 2OBE

28、= 60，OFE = 2OCF = 60. OEF是等边三角形是等边三角形. OE = EF = OF. BE = EF = FC. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于个角都等于60. 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角为有一个角为60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形 课后作业课后作业 1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。 课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！ 谢谢观赏！ 再见！ 第第2课时课时 含含30角的直角三角形的性质角的

29、直角三角形的性质 R八年级上册八年级上册 将两个大小相同的含将两个大小相同的含30角的三角尺摆放角的三角尺摆放 在一起在一起（较长直角边靠在一起且直角顶点重较长直角边靠在一起且直角顶点重 合合），可拼成一个什么样的三角形？你能借助，可拼成一个什么样的三角形？你能借助 拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数 量关系吗？量关系吗？ 本节课我们再次学习与直角三角形相关的本节课我们再次学习与直角三角形相关的 一个性质一个性质. （1）运用等边三角形能推导出运用等边三角形能推导出30角的角的 直角三角形的性质直角三角形的性质. （2）能运用能运用30角的直角三角

30、形的性质角的直角三角形的性质 解决相关问题解决相关问题. 含含30角的直角三角形的性质及应用角的直角三角形的性质及应用. 知识点知识点1直角三角形的性质直角三角形的性质 探究探究 将两个全等的含将两个全等的含30角的直角的直 角三角尺摆放在一起角三角尺摆放在一起.你能借助这你能借助这 个图形，找到个图形，找到Rt ABC 的直角边的直角边 BC 与斜边与斜边AB 之间的数量关系吗？之间的数量关系吗？ 思考这个命题是真命题吗？请进行证明思考这个命题是真命题吗？请进行证明 问题请说一说你猜想的命题中，条件和问题请说一说你猜想的命题中，条件和 结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表结论分别是什么？

31、并结合图形，用符号语言表 述出来述出来. 猜想在直角三角形中，如果一个锐角等猜想在直角三角形中，如果一个锐角等 于于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A BCD 证明：证明：在在ABC 中，中， C =90，A =30， B =60 延长延长BC 到到D，使，使BD =AB，连，连 接接AD， 则则ABD 是等边三角形是等边三角形 已知：如图，在已知：如图，在RtABC 中，中，C =90， A =30. 求证：求证：BC = AB 1 2 A BCD 1 2 1 2 BC = BD = AB 由等边三角形的性质可知，由等边三角形的性质可知， AC 也

32、是也是BD 边上的中线，边上的中线， 你还能用其他你还能用其他 方法证明吗？方法证明吗？ 另证：另证：作作BCE =60，交，交AB于于E，连接，连接CE， 则则ACE =90-60=30 在在ABC 中，中， ACB=90，A =30， B =60 在在BCE 中，中， BCE=60，B =60， BCE 是等边三角形是等边三角形 BC =BE =CE E A BC 在在ACE 中，中， A=30，ACE =30， AEC是等腰三角形是等腰三角形 CE =AE BC =BE =CE =AE E A BC BC =BE =AE = AB 1 2 符号语言：符号语言： 在在RtABC 中，中，

33、C =90，A =30， 在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. A BC BC = AB 1 2 练习练习1如图，在如图，在ABC 中，中，C =90， A = 30，AB =10，则，则BC 的长为的长为 A B C 5 练习练习2如图，在如图，在ABC 中，中，ACB =90， CD 是高，是高，A =30，AB =4则则BD = . 1 A B C D 知识点知识点2直角三角形性质的运用直角三角形性质的运用 例例如图是屋架设计图的一部分，点如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜是斜 梁梁AB 的中点，立柱的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁垂直于横梁AC， AB =7.4 cm，A =30，立柱，立柱BC、DE 要多长要多长. A B C D E A B C D E 解：解：DEAC，BCAC，A =30， 1 2 1 2 BC = AB，DE = AD 1 2 又又AD = AB， 1 2 DE = AD =1.85（m） BC =3.7（m） 答：答：立柱立柱BC 的长是的长是3.7 m，D