点、直线、圆与圆位置关系—知识讲解(基础)

1、点、直线、圆与圆的位置关系一知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2. 理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌 握 以 上 内 容 解 决 一 些 实 际 问 题；3. 了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位置关系与 d、5、 r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题.【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1 点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；

2、设O O的半径为r ,点 P到圆心的距离为d ,则有（1）点P在圆内od 尸0点P在圆上ud二尸U点P在圆外OdhO2 .三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角 形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系; 知道数量关系也可以确定位置关系；置 关这时直线叫做圆唯一的公共点叫做切（2） 不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系系：的割线.直 线 和圆 的 三 种 位（1）相交：直线与圆有两个公共点时

3、，叫做直线和圆相交.直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线,相切:（2）占八、相离：直线和圆没 线 与 圆 的 位 直直线与圆的位置关系能否像点与圆有公共点时，叫做直线和圆置 关 系 的 判 定 和 性的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ （圆心） 中直线与圆由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点 的位置关系.下面图（1）中直线与圆心的距离小于半径；图 （2）中直线与圆心的距离等于半径；图 心的距如果O O 的半径为 r的距圆心 O 到直线(1) 直銭/和0交 d0相离Odr要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直

4、线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的 位置关系的判定.要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可2 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 3 .切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称切线是直线，而非线段4 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线

5、的夹角要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等5.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆6 .三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形的内心到三边的距离都相等要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即T : (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2三角形的外心与内心的区别:名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交占八、A(1)到三角形三

6、个顶点的距离相等，即 OA=OB=QC(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB OC分别平 分/ BAC / ABC / ACB内心在三角形内部要点四、圆和圆的位置关系1.圆 与 圆 的 五 种 位 置 关 系 的 定 义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两 个 圆 外 切 这 个 唯一 的 公 共 点 叫 做 切 点 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆

7、内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两 个 圆 内 切 . 这 个 唯一 的 公 共 点 叫 做 切 点 . 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.与两圆的半径、圆心距间的数量关系:设O O的半径为,O O半径为2,两圆心 0Q的距离为d ,则:两圆外离dr1+r 2两圆外切0d=r 1+r2两圆相交01-r 2vdvr 计2(r 12)两圆内切0d=r 1-r 2(r 1r2)两圆内含0dvr 1-r 2(r12)要占八、诠释:(1)圆与圆的位置关系,既考虑它们公共点的个数,又注意到位置的不冋,若

8、以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2)内切、外切统称为相切，唯 一的公共点叫作切占八、(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系a1. 已知圆的半径等于 5 cm,根据下列点 P到圆心的距离：(1)4 cm ； (2)5 cm ; (3)6 cm，判定点P与圆的 位置关系，并说明理由.【答案与解读】(1)当 d=4 cm 时，T dv r ,点 P在圆内；(2) 当d=5 cm时，T d=r，点 P在圆上；(3) 当d=6 cm时，t d r，点P在圆外.【总结升华】禾U用点与圆的位

9、置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较 举一反三：【变式】 点A在以0为圆心，3为半径的OO内，则点A到圆心0的距离d的范围是.【答案】Ow dv 3.类型二、直线与圆的位置关系2. 在Rt ABC中，/ C=90, AC=3厘M BC=4厘M以C为圆心，r为半径的圆与 AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2 厘 M;(2)r=2.4 厘 M;(3)r=3 厘 M【答案与解读】过C点作CDL AB于D,在 Rt ABC中，/ C=90, AC=3 BC=4,得 AB=5,(1)(2)(3 ).cd=名阮 3 4AB=2.4 (cm),5r =2cm 时 CDr ,圆 C与 AB相离;r=

10、2.4cm 时，CD=r,.圆 C与 AB相切;r=3cm 时，CDR+r；两圆外切二d= R+r:两圆相交二 R-rvdv R+r;两圆内切二d= R-r;两圆内含二dv R-r.点、直线、圆与圆的位置关系一巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1.已知：如图，PA PB分别与O O相切于A, B点，C为O O上一点，/ ACB=65，则/ APB等于()A. 65B. 50C. 45 D . 402 .如图，AB是O O的直径，直线 EC切O O于B点，若/ DBC=z，贝U ().1A.Z A= a B . Z A=90- a C . Z ABD= a D./ ABD =90 -23.设

11、OO的半径为d应满足的条件是A.d=3 B. dv 3 C. d w 3 D.d 34.在 Rt ABC中，Z C=9C ,AB=1Q AC=6以C为圆心作OC和AB相切，则OC的半径长为()A.8B.4C.9.6D.4.85.已知OO 1和OO2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是 ()A.相交 B.内切 C.外切 D. 内含6 .已知：A, B, C, D, E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出 ().A. 5个圆B. 8个圆C. 10个圆D. 12个圆二、填空题7 锐角三角形的外心在三角形的 部，钝角三角形的外心在三角形的 部,直角三角

12、形的外心在 8.若 ABC中，/ C=90, AC=10cm BC=24cm则它的外接圆的直径为 9 .若 ABC内接于O 0, BC=12cm 0点到BC的距离为8cm,则O O的周长为10. 如图所示，以 0为圆心的两个同心圆中, 5cm,则AB的长为.11. 如图所示，已知直线大圆的弦是小圆的切线,C为切点，若两圆的半径分别为3cm和cm.AB是O 0的切线,A为切点,0B交O 0于点C,点D在O 0上，且/ 0BA= 40,则/第10题图12. 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是 三、解答题13.如图所示，四边形 AB

13、CD是平行四边形，以 AB为直径的O 0经过点D, E是O 0上一点，且/ AED= 45，试 判断CD与O0的关系，并说明理由.P为AB延长线上任意CD交14. AB是O0的直径，BC切O0于B, AC交O0于D点，过 D作O 0的切线DE交BC于E.求证：CE=BE.15.如图所示，AB是O 0的直径,AB于点E,求证：PD= PE【答案与解读】1.【答案】B；2.3.4.5.6.、7.8.9.10.11.12.【解读】【答案】【解读】【答案】连结 OA OB 则/ AOB=130，/ PAOM PBO=90，所以/ P=50 .A；/ AB是O O 的直径，/ ADB=90，/ A+M

14、ABD=90 ,又：直线 EC切O O于 B 点， a +M ABD=90，/ A=a，故选 A.C；【答案】【解读】作 CDLAB于 D,则 CD为OC 的半径，BC= AB2 _ AC2 = . 1。2 _ 62 =8,由面积相等，得 AB- CD=AC BC. CD= =4.8.10【答案】内切、外切分别对应d=R+ r, d=R r，它们起着分界作用.在OO 1和OO 2相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距逐渐变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先计算d+ r和d r，因为圆心距d=3 v R r，所以“内含”【答案】C.【解读】过其中的三点作圆，最多能

15、作出BDE CDE的圆.10 个，即分别过点 ABG ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE填空题【答案】内，外，它的斜边中点处.【答案】26cm.【答案】20 n cm【答案】8.【解读】因为 AB切小O O于C,连OA OC如图，由切线的性质知 OCLAB,又由垂径定理得 AC= BC, 在 Rt AOC中, AO= 5, OC= 3.AB = 2AC= 8(cm).【答案】25 .【解读】 OALAB,M OBA= 40, M BOA= 50,1 M ADC= M BOA= 25 .2JJ3【答案】(1+m.2【解读】由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆

16、心为顶点的三角形是边长为1 m的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径.等边三角形的高是,故最高点到地面的距离是(1 +3) m.2三、解答题直线I可能和圆相交或相切.13. 【答案与解读】CD与O O相切.理由：如图，连0D则/AOD= 2/ AED= 2X 45= 90四边形ABCD是平行四边形， AB / DC/ CDO=Z AOD= 90, OD 丄 CD, CD与OO相切.14.【答案与解读】证法1:连结DBAB是直径BDC=90 . / BC、/ EBD+ /DE / ADB=90 ./ EDC=90 ,证法2:连结 OD、OE. J DE切O O于C=是切线， BE=ED. EBD= / EDB. J/ EDB+ / EDC. / C = /D , OD 丄 DE. ODE=90 . 同B=90 .J OB