九级数学下册 第2章 圆小结与复习课件（新版）湘教版

1、第2章 圆 小结与复习 要点梳理考点讲练 课堂小结课后作业 一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧. 要点梳理要点梳理 6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. 注意 (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n3)等分，依 次连接各等分点

2、所得到的多边形叫作这个圆的内接 正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆. 10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 注意 (1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点(2)一个三角形的外接圆是唯一的. 11.三角形的内切圆 内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 注意 (1)三角形的内心是三角形三条角平分线的 交点(2)一个三角形的内切圆是唯一的. 12.正多边形的相关概念 (1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆 心，称其为正多边形的中心. (2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边 形的

3、边心距. (4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到 设O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 点P在圆内；dr 点P在圆上；d=r 点P在圆外.dr 注意点与圆的位置关 系可以转化为点到圆心 的距离与半径之间的关 系；反过来，也可以通 过这种数量关系判断点 与圆的位置关系 2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离 直线与圆的 位置关系 图形 d与r的关系 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 割线 1个 切点

4、切线 0个 相离相切 相交 dr d=r dr 三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条_所在的直 线都是它的对称轴. 直径 2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1)在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等. (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于 这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 三、 有关定理及其推论 1.垂径定理 (1)垂径定理：垂直于弦的

5、直径平分这条弦，并且 平分弦所对的 . 注意 条件中的“弦”可以是直径；结论 中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧 两条弧 2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (3)推论2：90的圆周角所对的弦是直径. 注意 “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦” (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. 3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. (

6、2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条 切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角. 四、 圆中的计算问题 1.弧长公式 半径为R的圆中，n圆心角所对的弧长l=_. 180 n R 2.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n的扇形面积S= _. 2 360 nR1 2 lR 或 3.弓形面积公式 O O 弓形的面积=扇形的面积三角形的面积 4.圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 360 n (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系 222 ( ) . 2 a Rr (3)边长a，边心距r的正n边形的面积

7、为 11 . 22 Snarlr 其中l为正n边形的周长. 考点一 圆的有关概念及性质 例1 如图，在 O中，ABC=50，则CAO 等于（） A30B40C50D60 B 例2 在图中，BC是O的直径，ADBC,若D=36, 则BAD的度数是（ ） A. 72 B.54 C. 45 D.36 A BC D B 例3 O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d 分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位 置关系是（ ） A点A在O内部 B点A在O上 C点A在O外部 D点A不在O上 解析：此题需先计算出一元二次方程x26x80的 两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A 与 O的关系.

8、 D 1.如图所示，在圆O中弦ABCD，若ABC=50， 则BOD等于（） A50B40C100D80 C 针对训练 135 2.如图a，四边形ABCD为O的内接正方形，点P为 劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则BPC的 度数是 . C D B A P O 图a 考点二 垂径定理 例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设 钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm. 8mm A B 8 C D O 解析 设圆心为O，连接AO,作出过 点O的弓形高CD，垂足为D,可知 AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 进

9、行计算，AD=4mm，所以 AB=8mm. 2 A OB C E F 图a 3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2, 连接AC,BC,过点O作OE AC,OF BC，垂足分别为 E,F，连接EF，则EF的长度等于 . （ 针对训练 3 A B C D P O 图b D P 4.如图b,AB是 O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆 上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 和36 ， 动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值 是 . （ （ 例5 如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直 径的O交AC于点D，连接BD. 考点三 切线的判定与性质 解：（1）AB是直

10、径，ADB=90. AD=3，BD=4，AB=5. CDB=ABC， A=A， ADBABC， 即 BC= DDB =, ABBC A 34 =, 5BC 20 . 3 （1）若AD=3，BD=4，求边BC的长. 又OBD+DBC=90，C+DBC=90， C=OBD，BDO=CDE. AB是直径， ADB=90， BDC=90， 即BDE+CDE=90. BDE+BDO=90，即ODE=90. ED与O相切. （2）证明：连接OD，在RtBDC中， E是BC的中点，CE=DE，C=CDE. 又OD=OB，ODB=OBD. （2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切. 例6 （多解题）

11、如图，直线AB,CD相交于点O， AOD=30 ,半径为1cm的P的圆心在射线OA上，且 与点O的距离为6cm,如果P以1cm/s的速度沿由A向B的 方向移动，那么 秒钟后P与直线CD相切. 4或8 解析： 根本题应分为两种情况：(1)P在直线CD下面与 直线CD相切；(2)P在直线CD上面与直线CD相切. AB D C PP2 P1 E 解析 连接BD，则在RtBCD 中，BEDE，利用角的互余 证明CEDC. 例7 如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为 直径的O交AC于点D，过点D的切线交BC于E. （1）求证：BC=2DE. 解：（1）证明：连接BD， AB为直径，ABC=90，

12、 BE切O于点B. 又DE切O于点D，DE=BE， EBD=EDB. ADB=90， EBD+C=90， BDE+CDE=90. C=CDE，DE=CE. BC=BE+CE=2DE. （2）DE=2，BC=2DE=4. 在RtABC中，tan, AB C BC AB=BC = 5 2 2 5 在RtABC中， 2222 (2 5)46.ACABBC 又ABDACB， DAB =, ABAC A 即 D2 5 =, 62 5 A 10 AD=. 3 （2）若tanC= ,DE=2，求AD的长. 5 2 B 北 60 30 A C 例8 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁， 一艘渔轮在B处

13、测得灯塔A在北偏东60的方向，向东 航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30的 方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有 触礁的危险？请通过计算说明理由. （参考数据 =1.732）3 解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆 心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁， 关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系. B 北 60 30 A C B 北 60 30 A C D 解：如图，作AD垂直于BC于D， 根据题意，得BC=8.设AD为x. ABC=30，AB=2x. BD= x. ACD=90-30=60， AD=CDtan60， CD= . BC=BD-CD=

14、 =8. 解得 x= 3 3 3 x 2 3 3 x 4 34 1.7326.9287. 即渔船继续往东行驶，有触礁的危险. 5.如图b，线段AB是直径，点D是O上一点， CDB=20 ,过点C作O的切线交AB的延长线于点 E,则E等于 . O C A B E D 图b 50 针对训练 6. 如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心， OA长为半径的O与BC相切于点M. (1)求证：CD与O相切； A BC D O M (1)证明：过点O作ONCD于N.连接OM BC与O相切于点M, OMC=90 , 四边形ABCD是正方形，点O在AC上. AC是BCD的角平分线， ON=OM， CD与

15、O相切. N A BC D O M (2)解: 正方形ABCD的边长为1,AC= . 设O的半径为r,则OC= . 又易知OMC是等腰直角三角形， OC= 因此有 ，解得 . 2 2r 2r 22rr22r （2）若正方形ABCD的边长为1，求O的半径. 7. 已知：如图，PA，PB是 O的切线，A、B为切点， 过 上的一点C作 O的切线，交PA于D，交PB于E. (1)若P70，求DOE的度数； AB 解：(1)连接OA、OB、OC， O分别切PA、PB、DE于点A、B、C， OAPA，OBPB，OCDE,ADCD,BECE， OD平分AOC，OE平分BOC. DOE AOB. PAOB18

16、0，P70， DOE55. 1 2 (2) O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ADCD，BECE. PDE的周长PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm) (2)若PA4 cm，求PDE的周长 例9 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆 心的圆上, OA=1,AOC=120，1=2，求扇形 OEF的面积？ 解：四边形OABC为菱形 OC=OA=1 AOC=120，1=2 FOE=120 又点C在以点O为圆心的圆上 2 1201 = 3603 S 扇形OEF 考点四 弧长与扇形面积 8. 一条弧所对的圆心角为135 ，弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为

17、 . 40cm 针对训练 9. 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中 AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求 图中阴影部分的面积. 解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C的位置.连接AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形EFCC是矩形. AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8. 在RtACC中，得 2222 AC= AC +CC = 16 +8 =8 5 正方形ABCD外接圆的半径为4 5 正方形ABCD的边长为 AC AB=4 10 2 22 =4 54 10=80160S 阴影 （） （） 24 3 例10 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形 的面积为_. 考点五 圆内接正多边形的有关计算 10. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的 O， 四边形EFGH是正方形 求正方形EFGH的面积； 解：正六边形的边长与其半径相等， EF=OF=5. 四边形EFGH是正方形， FG=EF=5， 正方形EFGH的面积是25. 针对训练 正六边形的边长与其半径相等， OFE=600. 正方形的内角是900， OFG=OFE +EFG=600+900=1500. 由得OF=FG， OGF= （1800-OFG） = （1800-1500）=150. 1 2 1 2 连接OF、OG，