变质量问题研究

1、 变质量问题研究 摘要：早在16世纪，著名的物理学家伽利略就对动力学进行了系统的研究。伽利略开创 科学实验方法，以此来探究力和运动的一般规律，继而总结出可以描述质点的加速运动 的数学理论。再后来，著名的物理学家牛顿分析、总结并推广了伽利略的动力学原理， 他在前人研究的成果基础上建立了著名的牛顿运动定律，为后人的研究提供了简便的方 法。后又于1687年，在他自己的著作自然哲学的数学原理中，总结并阐述了当时 所了解到的力学规律，从而奠定了经典力学理论体系的基础。 在牛顿之后，人们大约历 经半个多世纪的探索与争论，又相继建立了三大守恒定律。当今时代，由于火箭、航 天技术的发展，变质量力学问题研究越来

2、越显得重要。而变质量系统力学所应用的范围， 不再局限用于研究火箭的运动，也应用在自然界和许多工程技术中，也可以举出许多变 都需要运用变质量 本文将结合实例对 质量物体的例子。要研究与解决有关这些变质量物体的动力学问题, 力学的基础理论。所以对于变质量问题的研究和解决显得尤为重要, 变质量问题进行具体问题具体分析和解决，使其在人类的实际生产生活中具有更重要的 意义 关键词:变质量系统；物理模型;动量守恒定律；动能定理 1. 变质量系统的概念 质量是经典物理学中最基本的物理概念，在理论力学的教学中，除了研究运动过程中质量保持 不变的物体外，还需研究一些在运动过程中质量发持续不断变化的物体，即所说的

3、变质量物体。这 类物体在工程技术及自然生活中不乏实例，所以对他们的研究显得尤为重要。经典变质量这类问题 是在理论力学中质点组力学方面的一个重要应用内容。关于变质量问题，一般的教材是这样进行描 述的：“在经典力学的范围内，物体（质点）的质量m通常被视为是常数，但是我们经常会遇到质 量为变数的情况。”如火箭在飞行中质量不断减少，星体在太空运动中俘获物质使质量不断增加。 又如，空间飞船问题、落链问题等等。这些问题的共同特点是物体（质点）在运动中持续的减少 质量或有质量加入其中，而使物体质量持续变化。由于物体的质量遵从一定规律进行变化（增加 或者是减少），所以这类物体称为变质量物体。 2. 关于变质量

4、问题中的两种物理模型 在以往的物理学习中，我们都知道对于变质量运动其方程为： dM d（ Mv） F u（1） dt dt 对于公式中的F的意思，在不同的书籍中有着不同的解释，在一些文献中认为力F是变质量系统主 体上所受的外力，而在有些书上认为力F是作用在变质量主体和变化质量元这一系统的外力的矢量 和。笔者认为，两种说法各有各的道理，不能简单的讨论孰对孰错，之所以造成这两种差异，主要 还是因为这两种说法采用了不同的物理模型：开放系统模型和封闭系统模型。在不同的模型中，速 度u有着不同的意义，如果在处理问题中直接应用公式（1），就会造成混乱，使问题变得更加复杂， 所以有必要对这两种简单的模型进行

5、简单讨论。 2.1变质量问题中的开放系统模型 对于第一种说法，F作为变质量系统主体上所受的外力，而u作为并入（分离）前的质量在并 入（分离）之后的速度。很明显，研究对象是“变质量主体”，这里的研究对象“变质量主体”允 图1图2 对于开放系统，其速度和质量都随时间变化，所引起的动量变化率表示为： d P d M / M dv dt dt V dt 等式右边的两项中，前一项表示质量m变化时引起的动量变化率，后一项表示速度v变化时所引起 的动量变化率。 使系统动量产生变化的原因有两个：一是力F的作用，二是质量 M的分解和并入。对于变质量 问题第二个原因是必然存在的，质元dm以速度u相对于参考系并入（

6、分离）系统时，系统的动量 也随之增加（减少）了 udm，所以u表示单位时间内因为质量的并入（或分离）使系统所产生 dt 的动量增加（或减少）的动量。 若一速度为u的质元dm进入系统时，其速度和系统本身速度 v不同，则质元dm将与主体发 生碰撞，速度由u变成v （忽略无穷小量），对主体产生力F的作用，且质元dm也会受到主体的反 作用力。由动量定理可得，质元 dm所受到的力为： (v-u)dm /、dM v-u (dM dm、 -(2) dt dt dt dt 若一速度为u的质兀dm分离出系统时， 其速度由v变成u （称为逆向碰撞）,质元dm受到的主 体对其的作用力为: f（ v u）dm（ v

7、u）dMdmdM f（ v-u）=（ v-u-（ 一-一 ）（ 3） dtdtdt dt 必须注意的是，以上所说的作用力均指变质量主体所施加，并不是说质元dm受到“外力”。在 开放系统模型中，没有考虑质元dm所受外力，所以质元 dm与主体碰撞前的一段时间或者是质元 dm分离主体后的一段时间，其速度的变化不需要考虑。速度u是质元dm刚碰撞主体或刚从主体 分离后的其他时刻内的任意速度。 2.2变质量问题中的封闭系统模型 对于式（1）也可通过求质点组动量定理的极限得到，据我们所知，质点组动量定理适用于常质 量系统问题，所以在划定系统范围的时候，也要将质元dm包括在内，系统所受的力除了主体所受 的外力

8、之外，还包括质元 dm所受的外力。为了保证在观察时间dt内系统的质量保持不变，在变化 质量dm的系统边界应该随着 dm的变化外延或内缩， 所以这样的系统边界是动态变化的（如图2）, 如果有质量进入主体，则虚线表示时刻t （开始观察的时间）的边界，实线表示时刻t dt （观察结 束的时刻）的边界。如果是质量从主体中流出的情况，则虚线和实线的意义就是相反的，但无论哪 种情况，实线都表示变质量主体的边界。 假定主体M受外力Fm ,质元dm所受外力卩咖，则体系所受的外力的矢量和为： F F m F dm 为了搞清楚在式（1）中速度u表示的意义，我们将研究质元 dm速度变化的情况，假如有质量流 入主体，

9、在时刻t时，质元dm的速度为u。在时刻t dt时，质元dm流入主体，速度变为 v (忽 略无穷小量），由动量定理可知, F dm /、dM /、dm dM dm v-u) (v-u), ( -(4) dt dt dt dt 式中f为M对dm的反作用力；反之，如果有质量流出主体的情况，则有: Fdmf (u-v)dM(u-v)dm, (dm-dM)( 5) dtdtdtdt 比较（2）、（ 3）、（4）、（ 5）四式发现此时质元dm的速度变化已经不仅取决于主体M对dm的作 用力，而且受质元dm所受外力Fdm的影响，所以质元dm的速度变化值 v-u与只受到力f的作用 时不同，u的值也不同，只有当质

10、元dm所受外力Fdm 0时或者说可以忽略不计 （例如只受到重力 作用）时，（2）、（ 3）两式与（4）、（ 5）两式的区别才会不存在，否则，u应该看做是外力 Fdm与f 起作用时dm所具有的初速度或者末速度。 3. 变质量物体的运动方程及其物理意义 在非相对论（v c）的情况下，物体质量随着时间持续的变化而变化，仍然属于经典物理学的 范畴。对经典变质量物体来讲，其质量m W （t）,其中的 W （t）是t的连续函数（可以为 t的 连续显式函数，也可以利用速度或者坐标为t的隐式函数）。 经典变质量问题是理论力学中一个十分重要的内容。对于此类经典变质量问题，我们一般也可 以对主体和微元所组成的变质

11、量系统采用质点组动量守恒定律、动能定理等的变质量系统的动力学 方程多种方法、多种角度去解决。下面我将从三个方向来探究变质量物体运动方程及其所具有的物 理意义。 3.1利用动量定理推导变质量物体的运动方程及其物理意义 我们先假定一个物体的质量在t时刻是m（t），对于一个给定的惯性参考系S,它的速度是 V（V C）,同时一个微小质元 dm以速度u运动，并在tt dt间隔内与m（ t）合并，合并后共 同的速度为V dV ,假设作用在 m（t）和质元dm上的外力矢量和为 Fe,那么由质点组的动量定理 (m dm)(V dV) mV udm Fedt(6) 忽略掉二阶微量dmdV ,然后(6)式的等号两

12、边除以dt,得到变质量物体的动力学方程为 d(mV) dt dm u - dt Fe (7) 令 Wt Vt dm dt ,那么式(7) 变形为： dV dm dm m Fe (U-V) Fe Vt FeWt (8) dt dt dt (8)式是用来研究经典变质量问题的一般方程，就是所说的密歇尔斯基方程.若是u为0,那么(7) 式可以变形为 mV) Fe；若是u=V,那么式(8)变形为m理Fe. dtdt 对于(8)式密歇尔斯基方程中各项所具有的意义，进行以下讨论： dV一一 m表示主体 m(t)在t时刻的动量变化率，Fe为m (t)及质元dm所组成的系统的外力矢量 dt 和；Vt =u-v则

13、是将并入(或者分出)的微元dm相对于主体 m(t)的速度；而是变质量主体 m(t)的 dt 质量变化率，记作口 =迥，则当mo时，表示有并入的质量；当 m0，此时 屮t与Vt方向相同，所以 屮t表示质元dm在并入时沿 相对速度Vt的同一个方向给变质量物体带来的附加推力；当有质量分离出主体时， 有m 0,此时屮t Vt的相反方向给变质量物体带来的附加推力。 与Vt方向相反，所以 些表示dm在分离时沿相对速度 3.2利用动量守恒定律推导出变质量物体的运动方程及其物理意义 在有些教材中，推导变质量物体的运动方程时，常常忽略掉外力的作用，运用动量守恒定律， 得出的方程用起来很方便，但是由于采用的模型不

14、同，导致建立的方程也有所不同。我们先假设一 物体的质量在t时刻m(t)，给定一个惯性参考系 S,它的速度是V(V C),同时一个微小质元 dm 以速度u运动，并在t t dt间隔内与m(t)合并,合并后的共同速度为 V dV ,假设作用在m(t) 和质元dm上的外力矢量和为 Fe,那么由质点组动量守恒定理得： (m dm)( V dV)-(mV udm) 0 - ( 9) 忽略二阶微量 dmdV，可以将式(9)变形，得： 变质量物体运动方程为： mdV (V -u) dm 0 (10) 对于式(10) 可变形为： md V -Vtdm 0 (11) 对于（11）中各项的物理意义作如下讨论: m

15、dV表示主体 m （t ）的动量改变量；Vt=u-V表示并 入（或者分离）的质元相对于变质量主体的速度; Vt dm表示质元dm相对于主体 m（t）的相对动量; 从推导的过程和形式可以看出，对于方程式（ 8），当Fe=0的时候可以变形为（11 ）式。 3.3变质量系统的动能定理及其物理意义 据我们所知，动量定理从来就不是经典力学中的一个新独立的定律，它的应用通常局限于单质点 或者是封闭的质点系，如果将其应用在非封闭系统中，即有质量进入或者是流出的系统，由密歇尔 斯基方程式，它的表达式如下： 先用V点乘（7）式得： d （mV） dm V - u-V - u - dt VFe dt mV-业 V

16、2屯-V dt dt u舸( 12) dt d ( *mV2) dt mV-竺 dt -V 2 2 dm dt， （12）式可写为: V-Fe 分2) dt -V 将（13）式变形为下面的形式： d （- mV2） 2 dt dm （V 2u dt 以变化率也并入系统的质量流，不但能使动量的变化率为u也，还能够使能量的变化率为 dtdt 也。事实上，u=V的时候，并入系统的能量恰好能够补偿自身损失，在这种情形下，外力 dt2 V-Fe-1V 2 (14) 所做的功等于系统动能的变化。当我们把 -u2舸 从（14）式中分离出来的时候，结果变为: 2 dt d (1 mV2) 2 dt V-Fe

17、2也(v u) 2削 dt 2dt (15) 两边同时积分，得 1 2 1 2 m2V2 - mW (16) Q来表示，则 (17) 2 1 2 u dm- （V u） dm 2 这个式子是非封闭系统的动能定理表达式，它所要表达的是： （系统动能的改变量）（渐增的质量流的动能）（渐增质量流的动能）（碰撞过程能量损失） 其中损失的能量一般情况下转化为热能的形式，我们可以用 1 2 Q （V u） dm 2 对于式（16）,其物理意义为：外力所做的外力功与由质量的变化所引起的动能变化之和，等于 系统所损失的能量与动能变化之和。 4. 几个经典的变质量实例 通过前面几章的介绍，关于变质量问题的研究解

18、决我们已经有所了解，下面将就变质量问题的 研究举出几个实例，然后进行具体问题具体分析。 4.1空间飞船问题 假设有一艘空间飞船以速度 乂相对于空间船自身向后喷射燃料，这艘空间飞船的质量的变化率 为m=也=-B是一个常量，忽略掉重力所产生的影响，试建立空间飞船的运动方程后并做出求解。 dt 分析：先令在t时刻空间飞船的速度为 V,质量为m( t) =mo- 3 t,则如果从一个惯性参考系来 看，喷射燃料所具有的速度为 Vt+V,质量为dm。我们先假设认为 Vt与V方向相反，那么问题将化 为一维问题。对于dm和m( t)所构成的系统我们可以考虑不同的角度对其加以分析求解。 解： (a)禾U用动量定

19、理的角度求解上述问题，由前面所讲的密歇尔斯基方程，我们可以得到: (m- 3)ty=Vt也 dt dt 上式可以变为: dV _ 3V = dt (m - 3) d (mV2) dt (V Vt)2m -Vtm , 又因为口=如=-3而且m=m- 3 t，带入化简上式后可得: dt dV _3 V = dt (m- 3) 由前述可知V t 0 V0，故对上式进行积分可得: Vo Vt In m o m - 3t 由前述可知V t 0 Vo，故可以对上式进行积分得：V Vo Vt In m o m0 - 3t (b)利用动能定理的角度来分析解答，根据前面的式( 15)可得： (c)利用动量守恒定

20、律的角度来求解，根据前面的(11)式直接可得: . 3Vt dt (mo- 3t 同样的，由前述可知 Vto V0，故可以对上式进行积分,得：V Vo Vt I n巴 o m0 - 3t 上述实例说明，在解决变质量问题的时候， 我们可以采取不同的方法， 虽然解答过程有所差异, 但是物理意义都是十分明确的。 4.2火箭升空问题 假设一火箭在初速度为 0时的质量为m0，如果火箭在均匀分布的重力场中垂直升空，此火箭的 质量满足函数式 m=moe-t卩，其中B为正常数，如果介质所具有的阻力为 2 2 f =- k mV，试求在 0t t末时间间隔内任意时刻的此火箭的速度。 解析：首先我们取向上的方向为

21、正方向，则系统所受的合外力为 2 2 -mg- k mV，由前面的（17） 式，可知在u=0的时候，可得： 12、 d( mv ) 、2231/、2 dm 1 2 dm =-mg-kmv+( v v末)-一 v末 2dt 2 dt dt dv 化简上式可得：Bv- dt k2v2， 然后对上式积分，当t=o时，令 Vo =0,可以得到: v-th (k Bv-gt)， k 对上式再进行积分，当t=o时, S=o,可以得到: 4.3落链问题 t S vdt 0 t . Bv g - th(k. Bv gt)dt 0 k 1 訓 ch ( k. Bv gt)。 k 假设将一条质量均匀分布的链条放置

22、在一个桌面的一小孔附近，已知链条的质量的线密度为 现将链条的一端从静止开始沿桌面小孔滑下。试求下落端的速度的变化情况和能量的损失状况。 解析：我们首先取坐标轴向下的方向为正方向，且规定原点在桌面上，随着链条的下滑，运动的 链条那部分的质量不断增加。假设此部分的链条长度为 前面的分析及（15）式，可得： x，由前所述可知其初始动能为o,再经由 对上式进行求导，经过整理得到: 2 即有=;(gx 2 v ），若令 经过积分，可以得到: yx2 a t=o时，有v o，可得: 丄 Ixv2 2 2 gx 3 1 2o x lv2dx x lg xdx， 0 dv2 + dx 2 V =gx 可以将其

23、化简为: dy dx 2 x （a为待定系数） ，即有（|gx v2) a=o, 2 gx, 121 2 可得损失的能量为：Slgxdx= lx g。 0 36 结论：经由前面的分析，对于变质量问题的研究解决方法是多种多样的，如前面介绍的动能定理， 动量守恒定律等等；在碰到这类问题时，我们需要弄清物理情境，然后进行具体问题具体分析解决， 抓住这种物理问题的本质，这样可以利用多个角度来解决变质量问题。 The Research of Variable quality problem Abstract: As early as sixteenth Century, Galileo ,the fam

24、ous physicist ,on the dynamics of the system.Galileo pioneered the scientific experimental method, in order to explore the uni versal law of force and moveme nt, and the n summed up eno ugh to describe the particle acceleratio n moveme nt of the mathematical theory. Later, the famous physicist Isaac

25、 Newt on analysis, summarize and popularize the dynamics of the Galileo,on the results of previous studies on the basis of established known as Newt ons laws of moti on, he provides a simple method for the later research.Later in 1687, in his own work, mathematical principles of n atural philosophy,

26、 summed up and expla ined the mecha nics of the law, thus lay ing the foun dati on of the classical mecha nics theory.After Newt on, about half a cen tury of explorati on and debate, and have established three con servati on laws. Nowadays, due to the developme nt of rocket and space tech no logy, the research on the problem of variable mass mecha nics becomes more and more importa nt.Nowadays, due to the developme nt of r