第7章有限脉冲响应数字滤波器设计

1、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器 7.4 利用切比雪夫逼近法设计利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器滤波器 7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤

2、波器设 计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅 度特性以及零点、网络结构的特点。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为 (7.1.1) (7.1.2) 1 0 )()( N n njj enheH )( )()( j g j eHeH 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。 注意，这里Hg()不同于|H(ej)|, Hg()为的实函数，可 能取负值，而|H(ej)|总是正值。

3、H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即 ，为常数 (7.1.3) 或 ，0是起始相位 (7.1.4) )( 0 )( 第一类线 性相位 第二类线 性相位 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 第一类线性相位的条件： h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 1 0 2 1 cos)()( N n g N nnhH ) 1( 2 1 )(N 幅度函数Hg()和相位函数分别为： (7.1.8) (7.1.9) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计

4、第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 第二类线性相位的条件： h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6) 1 0 2 1 sin)()( N n g n N nhH 22 ) 1( )( N 幅度函数Hg()和相位函数分别为： (7.1.11) (7.1.12) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 2. 线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点 h(n)的长度N取奇数和偶数对Hg()的特性有影响。 对于两类线性相位，分四种情况讨论。 1) h(n)=

5、h(N-n-1), N=奇数 按照(7.1.8)式，幅度函数H g()为 1 0 1 ( )( )cos() 2 N g n N Hh nn 式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶 对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并， 由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数 表示为 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 令m=(N-1)/2-n, 则有 (7.1.13) 1 (0)() 2 11 ( )2 (),1,2,3, 22 N ah NN a nhn n (7.1.1

6、4) 式中 2 3 0 2 1 cos)(2 2 1 )( N n g N nnh N hH 2 1 1 cos 2 1 2 2 1 )( N m g mm N h N hH 2 1 0 cos)( N n nna 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 按照(7.1.13)式，由于式中cosn项对=0,2皆为 偶对称，因此幅度特性Hg()的特点为： 对对=0,2偶对称偶对称 2) h(n)=h(N-n-1), N=偶数 推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶 数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。 1 0

7、1 2 0 1 ( )( )cos() 2 1 2 ( )cos () 2 N g n N n N Hh nn N h nn 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 令m=N/2-n,则有 /2 1 /2 1 1 ( )2 ()cos () 22 1 ( )( )cos () 2 ( )2 (),1,2,) 22 N g m N g n N Hhmm Hb nn NN b nhn n (7.1.15) (7.1.16) =时，(7.1.15)式中余弦项为0，且关于=奇对称，因 此幅度特性Hg()的特点为： 对对=奇对称，且在奇对

8、称，且在=处有一零点，使处有一零点，使Hg()0 高通和带阻不适合 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 将(7.1.11)式重写如下： 1 0 1 ( )( )sin () 2 N g n N Hh nn 令m=(N-1)/2-n，则有 (1)/2 1 ( )( )sin 11 ( )2 (),1,2, 22 N g n Hc nn NN c nhn n (7.1.17) (7.1.18) 幅度特性Hg()的特点为： 对对=0,2处为处为0，即在，即在z=1处为零点，且处为零点，

9、且Hg()对对 0,2呈奇对称呈奇对称 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 4) h(n)=-h(N-n-1), N=偶数 类似上面3)情况，推导如下： 1 1 2 00 11 ( )( )sin ()2 ( )sin) 22 N N g nn NN Hh nnh nn 令m=N/2-n,则有 /2 1 /2 1 1 ( )2 ()sin () 22 1 ( )( )sin () 2 ( )2 (),1,2,3, 22 N g m N g n N Hhmm Hd nn NN d nhn n (7.1.19) (7.1.20)

10、 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 幅度特性Hg()的特点为： 对对=0, 2处为处为0，即在，即在z=1处为零点，且处为零点，且Hg()对对 =0, 2呈奇对称，对呈奇对称，对= 偶对称偶对称 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 表明：表明：

11、若z=zi是H(z)的零点，其倒数z=zi-1也是其零点； (1) 因为h(n)是实序列， H(z)的零点必共轭对称，因而zi*和 (zi-1)*也为零点 第二类线性相位的系统函数满足 (7.1.10) 3. 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点 第一类线性相位的系统函数满足 (7.1.7) )()( 1)1( zHzzH N (1)1 ( )() N H zzH z (7.1.21) 综合表示为： )()( 1)1( zHzzH N 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.1.1 线性相位FIR滤波

12、器零点分布 特殊情况：特殊情况： 零点是实数，只有两个零点：zi、zi-1； 零点是纯虚数且在单位圆上，只有两个零点zi和zi*； (1) 零点是在单位圆上且为实数，只有一个零点zi 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 4. 线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有 1 11 2 00 2 11 22 (1) 00 ( )( )( )( ) ( )( )(1) ( )(1) N NN nnn N nm n NN nN m nm H zh n zh n zh n z H zh n zh Nmz h nh Nn 令m=N-

13、n-1,则有 1 2 0 )1( )()( N n nNn zznhzH (7.1.22) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出， (7.1.23) 2 1 - 1 2 1 - 0 )1( 2 1- )()( N N n nNn z N hzznhzH 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.1.2 第一类线性相位网络结构 x(n) y(n) z1z1z1 z1z1z1 z1 h(0)h(1)h(2)h(N

14、/21) x(n) y(n) z1z1 z1z1z1 z1 h(0)h(1)h(2)h(N1)/2) N 偶数 N 奇数 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.1.3 第二类线性相位网络结构 x(n) y(n) z1z1z1 z1z1z1 z1 h(0)h(1)h(2)h(N/21) x(n) y(n) z1z1 z1z1z1 z1 h(0)h(1)h(2)h(N1)/2) N 偶数 N 奇数 1111 1 1111 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计

15、 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej), hd(n)是与 其对应的单位脉冲响应，因此 n nj d j d enheH )()( deeHnh njj dd )( 2 1 )( 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 相应的单位取样响应hd(n)为 , () 0, j a cj d c e He (7.2.1) 1sin() ( ) 2() c c j aj n c d na h need na (7.2.2) 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将 hd(n

16、)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设 截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3) 理想滤波器： 无限长无限长 加窗处理加窗处理 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n), 长 度为N，其系统函数为H(z)， 1 0 ( )( ) N n n H zh n z 以上就是用窗函数法设计以上就

17、是用窗函数法设计FIRFIR滤波器的思路。滤波器的思路。 我们知道，Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以 展为傅氏级数，即 ()( ) jj n dd n Heh n e (7.2.4) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到： ( 1 ()()() 2 jjj dN H eHeRed 式中，Hd(e j)和RN(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即 1 11 (1) 2 00 sin(/2 ()( )( ) sin(/2) NN jN jj nj nja

18、 NNN nn N ReRn eeeRe (7.2.5) sin(/21 ( ), sin(/2)2 N NN R 其中，RN()称为矩形窗的幅度函数 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 将Hd(ej)写成下式： ()( ) jj a dd HeHe 按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为 1, ( ) 0, c d c H 将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到： () 1 ()( )() 2 1 ( )() 2 jj aja dN j a dN H eHeRed eHRd 第第7章章

19、 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 将H(ej)写成下式： ()( ) 1 ( )( )() 2 jj a dN H eHe HHRd (7.2.6) 截断后实际滤波器的幅度特性等于理想低通滤截断后实际滤波器的幅度特性等于理想低通滤 波器的幅度特性与矩形窗幅度特性的卷积波器的幅度特性与矩形窗幅度特性的卷积 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有

20、限脉冲响应数字滤波器设 计 对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd() 差别有以下两点： (1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过 渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。 (2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。 阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。波动情 况与窗函数幅值谱有关， RN()波动愈快（N），通、 阻带内波动愈快， RN()旁瓣的大小直接影响H()波动 的大小。 吉布斯效应吉布斯效应 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似

21、为 sin(/2)sin ( ) /2 N Nx RN x 如何减小吉布斯效应？如何减小吉布斯效应？ （1）x, N主瓣幅度，旁瓣，主、旁瓣相对值不变； x x x sin 只能使过渡带变窄，不能减小吉布斯效应。只能使过渡带变窄，不能减小吉布斯效应。 （2）旁瓣小的窗函数减小通带、阻带波动/加大阻带衰减 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 下面介绍几种常用的窗函数。 设 h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函数。 1. 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析过，按照(

22、7.2.5)式，其频率响应为 1( 1) 2 sin(/2) () sin(/2) jN j R N Wee dBNBdB sgn 21/413； 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 2. 三角形窗(Bartlett Window) 21 ,0(1) 12 ( ) 21 2,(1)1 12 Br n nN N n n NnN N (7.2.8) 其频率响应为 (7.2.9) 2 1 2 ) 2 sin( 4 sin 2 )( N j j Br e N N eW dBNBdB sgn 25/825； 第第7章章 有限脉冲响应数

23、字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗 当N1时，N-1N， 2 1 )()()( )( 1 2 cos15 .0)( N j RgN j R NHn eWnRFTeW nR N n nw )()()( HngHnHn WWFTW N W N WWW RgRgRgHng 22 25. 0)(5 . 0)( dBNBdB sgn 44/831； 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.2.3 汉宁窗的幅度特性 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的

24、设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 4. 哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗 2 ( )0.540.46cos()( ) 1 HmN n nRn N (7.2.11) 其频域函数WHm (e j)为 22 ()() 11 ()0.54()0.23()0.23() 22 ( )0.54()0.23()0.23() 11 jj jj NN HmRRR j HmRRR WeWeWeWe WWeWW NN 其幅度函数WHm()为 当N1时，可近似表示为 dBNBdB sgn 53/841； N W N WWW RgRgRgHmg 2 23. 0 2 23. 0)(

25、54. 0)( 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 5. 布莱克曼(Blackman)窗 1 2 1 2 25. 0)(42. 0)( N W N WWW RRRBl 24 ( )0.420.5cos0.08cos( ) 11 BlN nn nRn NN (7.2.13) 其频域函数为 22 ()() 11 R 22 ()() 11 ()0.42()0.25()() 0.04()() jj jj NN BlRR jj NN RR WeWeWeWe WeWe 其幅度函数为 (7.2.14) 1 4 1 4 04. 0 N W

26、N W RR dBNBdB sgn 74/1257； 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.2.4 常用的窗函数 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.2.5 常用窗函数的幅度特性 (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗； (d)哈明窗；(e)布莱克曼窗 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩

27、形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗； (d)哈明窗；(e)布莱克曼窗 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window) 0 0 2 2 0 1 ( ) ( ),01 ( ) 2 1(1) 1 1 ( )1( ) ) ! 2 k k k I nnN I n N x Ix k 式中 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算： 一种参数可调的窗函数一种参数可调的窗函数 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应

28、数字滤波器设 计 一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参 数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅 度减小，典型数据为4，如有，再在该点附近 找出局部极值点，并用该点代替原来的点。 (3)利用和第二步相同的方法，把各频率处使 |E()|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组 新的交错点组。 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 图7.4.2 雷米兹算法流程图 给出M2 个交错点组频率初始值： i , i0,1,2, M1 得用（7.4.7) 式计算偏差 得用（7.4.9) 式计算Hd() 计算误差函数E()，

29、以及局部极 值点频率，在这些点上满足 得到一组新的交错点组频率 极值点是M2 个还是M3 个？ 极值频 率相对上次是 否变化？ 得到最佳一致逼近的 Hd() 结束 舍掉两个端点中使偏 差较小的一个 M3 M2 不变 E() 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 3. 线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式 在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它 们的幅度特性H-g()分别如下式： 0 0 0 (1) ( )(1), 1 ( )( )cos, 2 (2) ( )(1), 1 ( )( )cos(), 22 (3) (

30、)(1), 1 ( )( )sin, 2 (4) ( )(1), 1 ( )( )cos() , 22 M g n M g n i M g n M g n h nh NnN N Ha nn M h nh NnN N Hb nnM h nh NnN N Hc nn M h nh NnN N Hd nnM 奇数 奇数 偶 数 偶 数 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 经过推导可把H-g()统一表示为 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中，P()是系数不同的余弦组合式，Q()是不 同的常数，四种情况的Q()和P()如表7.4.1所示。 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 表7.4.1 线性相位FIR滤波器四种情况 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章有限脉冲响应数字滤波器设 计 表中 、 和 与原