对数概念及其运算

1、对数概念及其运算知识点1 对数1.对数的定义如果a a0, a1 的 b 次幂等于N，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 log aNb,其中 a叫做对数的底数，N叫做真数。在对数函数log aNb中 ，a的取值范围是a0, 且 a1， N的取值范围是N0 ， b 的取值范围是bR 。【注意】根据对数的定义可知（ 1）零和负数没有对数，真数为正数，即N 0（ 2）在对数中必须强调底数 a 0 且 a 12.常用对数（1）定义：以 10为底的对数叫做常用对数，log 10 N 记做 lg N 。（2）常用对数的性质10 的整数指数幂的对数就是幂的指数，即lg 10 nn n是整数3.自然对

2、数（1）定义：以 e2.71828 为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记为 InN 。（2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数lg Nlg N2.303lg N 。之间的关系： InN，即 InNlg e0.43434.指数式与对数式的互化（1）符号 log a N 既是一个数值， 也是一个算式， 即已知底数和在某一个指数下的幂，求其指数的算式。对数式 log a Nb 的 a 、 N 、 b 在指数式 abN 中分别是底数、指数和幂。（2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则：在 log a Nb 中，必须 N0 ，这是由于在实数范围内

3、，正数任何次幂都是正数，因而abN 中的 N 总是正数，须强调零和负数没有对数。因为 a01，所以 log a 10 。因为 a1a, 所以 log a a1。因为 abN ，所以 log a N b ，所以 al 0g a NN 。【例 1】下列说法错误的是（）(A) 负数和零没有对数（ B）任何一个指数式都可以化为对数式（C）以 10 为底的对数叫做常用对数（ D）以 e 为底的对数叫做自然对数【例 2】（ 1）把下列指数式写成对数式1 ; 1x 1x1 ; 3x64;274216（2）把下列对数式写成指数式： log 3 92; lg 0.0013; log2132知识点 2对数的运算对

4、数的运算性质如果 a 0 且 a1 ， M0 ， N0 ，那么，(1) log a MNlog a Mlog a N ;11 5 255 。（2） log aMloga M logbN;N（3） log aM nn log n MnR ；（4） log aM nn log a Mm, nR, m0。m用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的n 次方的对数，等于这个正数的对数的n 倍。【例 3】下列各式与lg ab 相等的是（）c( A) lg ablg cB lg alg blg cC lg a lg b lg c

5、D lg ab lg c【例 4】计算：1 lg 0.012 ;2 log 4 423 4 ;3 log 2 3log 2 5;4 log 53log55log5 2 .24知识点 3换底公式1.换底公式log b Nlog a Na0, a1, b0, b1, N0log a b2.换底公式的推论1 log a b1a0, a1, b0, b1log b a2 log a blog a m bma0, a1,b03 log am bnn log a b a0, a1,b0,m0m【例 5】计算：1 log 8 32;2 log25 4 log 8 5;3 log 4 3log 8 3 log

6、 3 2 log 9 2 ;4 log 21log31 log51;5log 512log 7 92589log 5log 73 43【例 6】（ 1）已知lg 2 a, lg 3b, 用 a,b 表示 lg 45 的值；（2）已知 log18 9a,18b5,用 a,b 表示 log 36 45 的值。反函数的概念知识点反函数1.定义对函数yf xxD，设它的值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应， 且满足yf x，这样得到的x 关于y 的函数叫做yf x 的反函数，记作xf 1 y，习惯上，自变量常用x 来表示，而函数用y 表示，所以把它改写为:yf1

7、xxA.2.反函数存在的条件函数 yf x 存在反函数的充要条件是函数yf x 是定义域到值域上的一一映射所确定的函数。注意：单调函数必有反函数。3.反函数与原函数的关系（1）反函数和原函数互为反函数：如果函数yf x有反函数yf1x，那么函数yf 1 x的反函数是yf x ，则yf x 与 yf1x互为反函数；（2）反函数和原函数的定义域与值域互换函数 yf x反函数yf1x定义域AC值域CA（3）互为反函数的函数的图像间的关系函数yf x的图像和它的反函数yf1x 的图像关于直线yx 对称。函数yf x的图像与 xf 1 y的图像是同一个函数图像。4.求反函数的步骤（1）求函数yf x 的

8、值域（若值域显然，解题时常略去不写）。（2）反解：由yf x写出x关于y 的关系式；（3）改写：在xf1y中，将x， y 互换得到yf1x；（ 4）标明反函数的定义域，即（ 1）中求出的值域。【例 1】下列函数没有反函数的是： y 3 x 25; y1；x21 y3 2x 1 2; yx23( x 0)3x x0（A）（ B）（ C）（D）【例 2】求下列函数的反函数：（1） y2x1 ( x2)；x2（2） y x24x 1 5 x2 ；（3） yx2x x1 ;（4） yx21 0x1x21x0【例 3】求函数yx21 x1 的反函数 .对数概念及运算与反函数总结1、对数的运算法则（将高一

9、级运算向低级运算转化）（1） log aMNlog a M log a NMlog a M log a N（ 2） log aN（3） log aM nn log a M（ 4） log a n M1log a Mn2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的3、几个常用的对数结论log a 1 0log a a 1log a annalog a bblog am a nnloga m bn n log a b log a b log b a 1mm4、换底公式：log a blog c blg blog c alg a5、常用对数与自然对数6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得9、求