高考真题分类第24讲空间向量与立体几何【学生试卷

1、第 24 讲空间向量与立体几何1 (2018 全国卷 )如图，四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且PFBF (1) 证明：平面 PEF 平面 ABFD ；(2) 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值PDCEFAB2 (2018 北京 )如图，在三棱柱ABCA1B1C1 中，CC1平面 ABC，D ，E，F ，G分别为 AA1，AC， AC ， BB 的中点，ABBC5，111ACAA12A1FC1B1DGECAB(1) 求证： AC 平面 BEF ；(2) 求二面角 B CD C1 的

2、余弦值；(3) 证明：直线 FG 与平面 BCD 相交3 (2018 全国卷 )如图，在三棱锥PABC 中，ABBC 22， PA PBPCAC4，O为 AC 的中点(1)证明： PO平面 ABC ；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角MPAC为30 ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值PAOCBM4(2018 全国卷 )如图，边长为2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是 CD上异于 C，D的点(1) 证明：平面AMD平面 BMC ；(2) 当三棱锥 M ABC 体积最大时， 求面 MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值MDCAB5 (2018 天津 )如图

3、， AD BC 且 AD2BC ，ADCD ，EG AD 且 EGAD ，CDFG 且CD2FG ， DG平面 ABCD ，DADC DG2 (1) 若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证：MN 平面 CDE ；(2) 求二面角 E BC F 的正弦值；(3) 若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE所成的角为60 ，求线段 DP 的长GFNEMCDBA第1页，共9页6 (2018 江苏 )如图，在正三棱柱ABCA1 B1C1 中，PABAA12，点 P ， Q 分别为 A1B1，BC的中点MEA1C1APB1BDC(1) 证明：直线 CE 平面 PAB ；(

4、2) 点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所AQC成角为 45，求二面角 MAB D 的余弦值B9(2017 新课标 )如图， 四面体 ABCD 中， ABC(1) 求异面直线BP 与 AC1 所成角的余弦值；是正三角形，ACD 是直角三角形，ABDCBD ， ABBD (2) 求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值D7 (2017 新课标 )如图，在四棱锥PABCD 中，CEABCD，且BAPCDP90 PBADC(1) 证明：平面ACD 平面 ABC ；(2) 过 AC 的平面交 BD 于点 E ，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二

5、面角ABDAEC 的余弦值(1) 证明：平面PAB 平面 PAD ；10(2017 天津 )如图，在三棱锥 P ABC 中， PA (2) 若 PA PDABDC ，APD90 ，求二底面 ABC ，BAC90点 D，E，N分别为棱 PA ， PC ， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点，面角 APBC 的余弦值PAAC4，AB2 8 (2017 新课标 )如图，四棱锥P ABCD 中，侧( )求证： MN 平面 BDE ；面 PAD 为等边三角形且垂直于底面三角形ABCD ，( )求二面角 C EMN 的正弦值；ABBC1AD，BADABC90 ，E是(已知点 H 在棱 PA 上，且直

6、线 NH 与直线 BE 所)PD 的中点27 ，求线段 AH 的长成角的余弦值为21第2页，共9页11(2017 北京 )如图，在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为正方形， 平面 PAD 平面ABCD ，点 M在线段 PB 上， PD /平面 MAC ， PA PD6 ，AB4 ( )求证： M 为 PB 的中点；( )求二面角 B PDA 的大小；( )求直线 MC 与平面BDP 所成角的正弦值(3) 在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 BM / / 平面PCD ？若存在， 求 AM 的值；若不存在， 说明理由 .AP13 (2016 年山东 )在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆

7、O 的直径， EF 是上底面圆O 的直径， FB 是圆台的一条母线 .(I )已知 G ， H 分别为 EC ， FB 的中点， 求证： GH平面 ABC ；(II )已知 EF = FB =1AC=2 3， ABBC 求二2面角 FBCA的余弦值 .14(2016 年天津 )如图，正方形 ABCD 的中心为 O ，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF 平面 ABCD ，点G 为 AB的中点， AB BE 2( )求证： EG 平面 ADF ；( )求二面角 OEFC 的正弦值；( )设 H 为线段 AF 上的点，且AH = 2 HF ，求直3线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.EF

8、12 (2016 年北京 ) 如图，在四棱锥P ABCD 中，H平面 PAD平面 ABCD ， PAPD ，PAPD，ABAD，AB1， AD2 ，BAGOACCD5 .CD15 (2015 新课标 )如图，四边形ABCD 为菱形，ABC120 ，E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 平面 ABCD ， DF 平面 ABCD ，BE=2DF ，AEEC( )证明：平面AEC 平面 AFC ；( )求直线AE 与直线 CF 所成角的余弦值(1) 求证： PD平面 PAB ；(2) 求直线 PB 与平面PCD 所成角的正弦值；第3页，共9页16(2015 福建 )如图，在几何体ABCDE

9、 中，四边形ABCD 是矩形，AB 平面 BEG ，BE EC， ABBEEC2，G ，F 分别是线段 BE ， DC 的中点( )求证： GF 平面ADE ；( )求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值17 (2015 山东 )如图，在三棱台 DEFABC 中，AB 2DE ， G,H 分别为 AC, BC的中点( )证明： CD平面 AOC ；1( )若平面A1BE平面 BCDE ，求平面 A1BC 与平面 ACD 夹角的余弦值119(2014 新课标2) 如图，四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD ， E 为 PD 的中点( )证明：PB 平

10、面 AEC ；( )设二面角 D AEC 为 60， AP =1，AD = 3 ，求三棱锥 EACD 的体积20 (2014 山东 )如图，在四棱柱ABCDA1B1C1 D1中，底面ABCD 是等腰梯形，DAB60, AB2CD2，M 是线段 AB的中点( )求证： BC /平面 FGH ；()若CF 平面 ABC ， AB BC，CF =DE ， BAC = 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角 (锐角 )的大小18 (2015 陕西 )如图 1，在直角梯形CD 中，D /C ，D， C1 ，D2 ，2是 D 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点将沿 BE 折起到A1BE

11、的位置，如图2 D1C1A1B1DCAMB( )求证： C1 M / /平面A1 ADD1 ；( )若 CD1 垂直于平面ABCD 且 CD1=3 ，求平 面C1 D1M 和平面 ABCD 所成的角 (锐角 )的余弦值第4页，共9页21 (2014 辽宁 )如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC1200 ， E、 F 分别为 AC、DC 的中点( )求证： EFBC ；( )求二面角EBFC 的正弦值AEBCFD22 (2014新课标1) 如图三棱锥 ABCA1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， ABB1C ( ) 证明： ACAB1 ；( )若 AC

12、AB1 ， CBB160o ， ABBC ，求二面角 AA1B1C1 的余弦值23 (2014 福建 )在平行四边形ABCD 中，ABBDCD1，ABBD,CDBD ，将 ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD 平面 BCD ，如图AMBCD( )求证： ABCD ；( )若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值24(2014 浙江 )如图， 在四棱锥 ABCDE 中，平面ABC平面 BCDE ，CDEBED90， ABCD 2，DEBE1， AC2 ( )证明： DE平面 ACD ；( )求二面角 BADE 的大小ADCEB25 (2014 广东 )如图 4，四

13、边形ABCD 为正方形，PD平面 ABCD ，DPC300 ，AFPC于点F，FE/CD ，交PD于点E( )证明： CF平面 ADF( )求二面角DAFE 的余弦值26 (2014 湖南 )如图，四棱柱ABCDA1BC D的1 1 1第5页，共9页所有棱长都相等，ACBDO，AC1B DO ，四边形1111ACC1 A1和四边形 BDD1B1 均为矩形(1) 证明： O1O 底面 ABCD;(2) 若CBA60 ,求二面角 C1OB1D的余弦值A1D1O1B1C1ADOBC27(2014 陕西 )四面体ABCD 及其三视图如图所示，过被 AB 的中点 E 作平行于 AD ， BC的平面分别交

14、四面体的棱BD ，DC ，CA 于点 F ，G，H A1H2E左视图主视图DCGF2B俯视图( )证明：四边形EFGH 是矩形；( )求直线 AB 与平面 EFGH 夹角的正弦值29 (2013 新课标 )如图，直三棱柱ABCA1B1C1中， D , E 分别是 AB, BB1 的中点，AA1 AC CB2AB2A1C1B 1EACDB( )证明： BC1 /平面 ACD ；1 求二面角D1E的正弦值( )AC30 (2013 广东 )如图 1，在等腰直角三角形ABC 中，A90 ，BC6， D, E 分别是AC , AB 上的点， CDBE 2， O为 BC 的中点 .将 ADE 沿 DE

15、折起，得到如图 2所示的四棱锥ABCDE ，其中 AO3.28(2013 新课标 )如图，三棱柱 ABCA1 B1C1 中，CA CB ， AB AA1，BAA1 =60() 证明:AO平面 BCDE ；( ) 求二面角ACDB 的平面角的余弦值.31(2013 陕西 )如图，四棱柱 ABCDA1 BC11D1 的( )证明 ABAC ；底面 ABCD 是正方形，O 为底1面中心，AO 平面 ABCD ， ABAA12.( )若平面 ABC 平面 AA1B1B ， ABCB ，求直1线 AC 与平面 BBC C 所成角的正弦值111第6页，共9页D1C1A1B1DCAOB( )证明：AC平面B

16、BDD；111( )求平面 OCB1 与平面 BB1D1 D 的夹角的大小32(2013 湖北 )如图， AB 是圆 O 的直径，点C 是圆O 上异于 A, B 的点，直线 PC平面 ABC ，E ，F分别是 PA ， PC 的中点( )记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明；( )设 (I )中的直线l 与圆 O 的另一个交点为D ，且点Q 满足 DQ1 CP 记直线 PQ 与平面 ABC 所成2的角为，异面直线PQ 与 EF 所成的角为，二面角 ElC 的大小为，求证：sinsinsin33 (2013 天津 ) 如图，四棱柱

17、 ABCDA BC D1111中，侧棱 A1 A 底面 ABCD ， AB DC ，ABAD ，ADCD1，AA1AB2，E 为棱 AA1 的中点BB1CC1AA1DED1( )证明 B1C1CE ；( )求二面角 B1CE C1 的正弦值；( )设点 M 在线段 C1 E 上；且直线 AM 与平面ADD1 A1 所成角的正弦值为2 ， 求线段 AM 的长634(2012 新课标 )如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC1BCAA1 ， D 是棱 AA1 的中点，2DC1BD C1B1A1DCBA( )证明： DC1BC ；( )求二面角A1BDC1的大小35(2012 福建 )如图，在

18、长方体 ABCDA1 BC11D1 中AA1 AD 1， E为CD中点.第7页，共9页( )求证： B1EAD1 ；( )在棱 AA1 上是否存在一点P ，使得 DP 平面B1 AE ？若存在， 求 AP 的行； 若存在， 求 AP 的长；若不存在，说明理由( )若二面角AB1EA1 的大小为 30，求 AB 的长36(2012 浙江 )如图，在四棱锥PABCD 中，底面是边长为 2 3 的菱形，BAD120 ，且 PA平面 ABCD ，PA2 6 ，M ，N 分别为 PB ，PD的中点( )证明： MN / / 平面 ABCD ；( )过点 A 作 AQPC ，垂足为点Q ，求二面角( )证明：PABD ；( )若 PDAD ，求二面角APBC 的余弦值38 (2011 安徽 )如图， ABCDEFG 为多面体，平面 ABED 与平面 AGFD 垂直，点 O 在线段 AD 上，OA1,OD2,OAB ，OAC ，ODE ，ODF 都是正三角形( )证明直线BC EF ；( )求棱锥 FOBED 的体积39(2011 江苏 )如图， 在四棱锥PABCD 中，平面PAD平面