《微分几何》

1、 微分几何微分几何 湖师院微分几何课程组 练习题解答练习题解答典型例题典型例题练习题练习题 内容提要内容提要 重点难点重点难点 习题课结构习题课结构 湖师院微分几何课程组 一、本章的重点、难点、此次 习题课达到的目的 重点：向量的数量积、矢量积，向量垂直、平行的条件；两向量重点：向量的数量积、矢量积，向量垂直、平行的条件；两向量 的的 夹角；直线、平面方程的建立。夹角；直线、平面方程的建立。 难点：空间曲线在坐标面上的投影，用截痕发研难点：空间曲线在坐标面上的投影，用截痕发研 究二次曲面。究二次曲面。 习题课达到的目的：使学生熟练掌握建立直线、平面方程的方法；习题课达到的目的：使学生熟练掌握建

2、立直线、平面方程的方法； 牢记向量平行、垂直的条件。会求空间曲线在坐标平面上的牢记向量平行、垂直的条件。会求空间曲线在坐标平面上的 投影。熟悉常用二次曲面的方程。投影。熟悉常用二次曲面的方程。 湖师院微分几何课程组 1 向量的投影、向量的坐标 二.内容提要 cosA Bu A Bu P rju A BA B 向 量在轴 上 的 投 影 为 向 量与轴 正 向 的 夹 角 1212 111222 212121 , , ,. nn xyz xyz xyz Prj aaaPrjaPrjaPrja xyzBxyz ABaaaaxxyyzz a ia ja k aaaa 结论: 空间中有两点 A 向量

3、叫向量 的坐标 1.向量 湖师院微分几何课程组 222 121212 222 xyz axxyyzz aaa 模 向量的 coscoscos xyz aaaaaa 222 , coscosc coscoscos1 os axyz a 其中 、 、 分别为向量 与 轴轴轴正向的夹角. 、叫向量 的方向余弦，且满足： 0 coscoscos a aa a 向量、是与 同方向的单位向量 , xyzxyz aa a abb b b 设 xxyyzz abababab 按平行四边形法则（三角形法则）相加 、 加法： 2 向量的运算 湖师院微分几何课程组 , , , , 0 0 xyz aaa a a a

4、 aa aa a 仍为向量，当时与 同向， 当时与 反向，且 cos 0 ab xxyyzz ab a ba ba prj bb prj a a ab a bb aab ca cb c aba b ba ba ba b 两个向量的数量积是一个数. 其中 为向量 与向量 的夹角， 满足 数量积： 数 乘 ： 湖师院微分几何课程组 sin a ababab babab abab 两个向量的向量积是一个向量. 的方向垂直于 与 决定的平面，的指向 按右手规则，从 转向 ，大拇指的指向即 向量积： 的方向. xyz xyz yzzyzxxzxyyx ijk abaaa bbb a ba bia ba

5、bja ba bk 湖师院微分几何课程组 ( abcacbc ababab abba 满足： 为数） 0/0 0 aababab abab 结 论 ： 注：零向量方向任意. 2.旋转曲面、柱面 1 旋 转 曲 面 ： 22 22 , , 0 0 0 fxyz f yx yozCf y z yy z 坐标面上曲线 ： 绕 轴旋转得旋转曲面： 绕 轴旋转得，旋转曲面： 湖师院微分几何课程组 2 柱面： ,0 0 ,0 ,0 ,0 F x y z F x yz H x yx G x yy 表示母线平行于 轴的柱面.其准线为 表示母线平行于 轴的柱面. 表示母线平行于 轴的柱面. 1 方 程 , ,0

6、 , ,0 ( F x y z G x y z 一般式： 两个曲面的交线） xx tyy tzz t参数式： 3.空间曲线的方程及在坐标面上的投影 湖师院微分几何课程组 2 空间曲线在坐标面上的投影 , ,0,0 0, ,0 ,0: z F x y zH x y zG x y z HLx y 消去 投影柱面 空间曲线 ,0 0 H x y z Lxoy 就是空间曲线 在上的投影曲线. L同 理 可 得在 其 他 坐 标 平 面 上 的 投 影 曲 线 4.平面、直线方程 平面方程 000 , 0A xxBz A yyz B C C 点法式： 为平面的法向量. 1 xyz abc 截 距式： 0

7、 , ,0 0. nA B CD AxByCzD xABxoy 一般式： 为平面的法向量平面过坐标原点,A=0 平面过 轴,平面平行于面 湖师院微分几何课程组 121212 12 11111222 222222 12 111222 22 00 cos AxB yC zDA xB y AABBCC C zD nn n n ABCABC ： 0000 000 222 ,0MxyzAxBy AxB CzD yCzD d ABC 点到平面的距离 3 点到平面的距离： 2 两平面的夹角 湖师院微分几何课程组 结 论 ： 111 1212 222 12121212121 11111 222 2 22 /

8、0 0 0 ABC nn ABC nnn n AxB yC zD A xB yC zD A AB BC C 平面 ： ： 湖师院微分几何课程组 0 0 0 ( xxmt yynt zzp t t 在点向式中令等式 参数式： 为 可得参数式） 直线方程 1111 2222 A x+B y+CZ +D =0 A x+B 一般式： 两平面 y+C Z+ 不平行 D =0 、不重合 0 0 00 0 0 0 , ,mxy xxyyzz m p n m p zsn 点向式： 为直线上的点,为直 线的方向向量 111 21 111122 212 2 1 2 , xxyyzz xxyy mx y zmx z

9、 y z z 两点式： 点，为直线上两点 湖师院微分几何课程组 两直线的夹角 000000 12 111222 : xxyyzzxxyyzz LL mnpmnp 12 LL与的 夹 角 为 12121212 222222 12 111222 cos ssm mn np p s s mnpmnp 111 1212 222 121212121212 / 0 mnp LLss mnp LLsss smmnnp p 结论： 湖师院微分几何课程组 L直线 与平面 的夹角 000 : xxyyzz L mnp :0AxByCzD 222222 sin AmBnCpn s n s ABCmnp 5.常 用

10、二 次 曲 面 222 222 1 xyz abc 椭 球 面： 22 22 2 xy z ab 椭圆抛物面： x y z o x y z o 湖师院微分几何课程组 22 22 2 xy z ab 双曲抛物面：- 222 222 1 xyz abc 单叶双曲面： 222 222 1 xyz abc 双叶双曲面： 222 222 0 xyz abc 二 次 锥面： x y z o x y z o z x y o x y z o 湖师院微分几何课程组 2 3 50:40 :481 0 xyzxz xyz 1 1.一平面过平面 ：和平面的 交线且与平面垂直，求该平面的方程。 15480 3 4521

11、20 xyz 3 因为所求平面与垂直， 所以 1+1- 得代入平面方程得所求的平面为 三、典型例题 2 540 540 xyzxz xyz 1 过平面与的交线的平面方程为: 即 1+1- 解一: 湖师院微分几何课程组 3 , 5250 480 5 24,5, 2 2 nA B C ln sABC n sABC ACBCn 设所求平面 的法向量为 因为 经过 有 有得 取 50 4 0,4 405 4 :45240442120 5 xyz xz xyzxyz 取方程组的一组解 得 即 1 12 1 51525 1 01 l ijk sssijk 2 解二. 与 的交线 的方向向量为 湖师院微分几

12、何课程组 52 314 xyz l 2.经过直线 ：作平面 ，使 150 xyz 1 （ 1） 平 行 于 平 面： 1 150 xyz（ 2） 垂 直 于 平 面： 0 1 3,1,45,2,0 1,1,1, lsM ln n 1 已知直线 方向向量 ，点 在直线 上,平面 的法向量 设所求平面的法向量为 解： 10 /1,1, 1, 512100 30 nM xyz xyz (1) 因为 取 在平面 上 所以平面 的方程为 1 即 湖师院微分几何课程组 1 1 (2) 1,1, 1 3,1,45, 7, 2 l nns 解一：因为平面 经过直线 ，且 所以， 0 572200 572390

13、 M xyz xyz 又因为在平面上 所以平面 的方程为 5 即 1 1 1,43,1,1, 1 1430 572390 nn n n xyz 1 2 解得 = 5 代入得所求平面 的方程为: 52 31 2 14 xy yz l x-3y+11=0 解二： 将直线 的方程化为一般式 即 4y-z-8=0 311480 431180 lxyyz xyz 过直线 的平面为 即 湖师院微分几何课程组 1 1 , 0 340 5 7 2 . nnnsnA B C n nABC n sABC n 5 2 7 2 解三：由题有设 有 A=-C 解得 取 ， B=C 其余同解一 0 0 0 0 . 10

14、31 2 240 ML s M Ms MLd s xyz ML xyz 3. 设是直线 外一点，M是直线上任一点，且直 线的方向向量为 试证：点到直线 的距离 ,并求点 ， ， 到直线 的距离. 湖师院微分几何课程组 M 0 M s l 证明：如图. 1,1, 1 2, 1,10, 3, 3ls 直线 的方向向量 0 0 0 sin sin dM M M Ms s M M ss 1,2,0 lM M x+y-z=0 任取直线 上一点，即求方程组 2x-y+z-4=0 的一个解 0 2, 1, 2 0, 3, 333 2 0, 3, 322 M Ms d s 湖师院微分几何课程组 0 4.1,0

15、,4 ,34100, 13 : 12 Mxz xyz L 求过点 且平行于平面 又与直线 相交的直线方程。 1 0 0 1 1 . M ML LL MML ML 11 11 1 1 分析：先作辅助平面 使 / ,且过点，则所求直线必在 平面 上，且过点.这时若直线 在平面 上, 则所求直线不唯一（与题不符） 若 /,则所求直线不存在（与题不符）所以直线 必与平面 有唯一交点 ，且在所求直线 上. 只要求出点便可写出所求直线 的方程 湖师院微分几何课程组 1 1 314040 3410 xyz xyz 则平面的方程为 即： 1 1 0 1,3,2 31432101615,19,32 16,19,

16、28 14 161928 LL xtytzt ttttM sM M xyz 求直线 与平面 的交点：将直线 的方程参数化为 代入平面 的方程得 解出得 所求直线的方向向量为 方程为 0 M 11 过点作平面，使解：/一 湖师院微分几何课程组 340.(2)mnp所求直线与平面 平行 有 1,3,2 . LL xtytzt 所求直线与直线 相交.将直线 的方程参数化得 324 , , 324 ttt m n pttt mnp 代入（1）式得 取为 ， 16 , , 16,19,28tm n p代入（2）式得 14 161928 xyz 所求直线的方程为 0 1,0,4. 14 . 1 M xyz

17、 mnp 因为所求直线过点设其方程为 解二： 湖师院微分几何课程组 5.632210 xyz 1: 一平面 与已知平面 平行且与球心 在原点半径为1的球面相切，求平面 的方程。 1 222 6,3,2, 6320 1 603020 17 7 632 n xyzD d DD dD 11 因为 / ,所以平面的法向量就是 平面 的法向量。 设平面 的方程为 又因为平面 与球心在原点半径为1的球面相切 解： 所以点 0，0，0 到平面 的距离 得 平面 的方程为 6x+3y+6z-7=0; 6x+3y+6z+7=0 湖师院微分几何课程组 3,1,6 ,1,5, 2AByozP APBPPoyoz 6

18、. 给定 两点，试在面上求一点 使 且点 到轴和轴的距离相等。 0, ,PyozPy z Poyozyz 因为 在面上，所以设点 的坐标为 又因为 点到轴和轴的距离相等，所以有 解： 22222 (1)(6)( 1)(5)(2) 816160 APBP yzyz yz yz z 2 由 有 3 化简的 y 12 0 2 2 .0,yzPyzP 2 2 当时，点 ， ， 当时,得点 ， 3 3 湖师院微分几何课程组 .3, 5,8 1,1, , . a ba babz z 7.已知 求 22 22 22 22 0 abababab abababab aa bbaa bb a b 因为所以有 即

19、得 解： 3, 5,8 1,1, 3580 1 a bzz z 而 得 湖师院微分几何课程组 8.8. 解解 共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量 ，已已知知 bancnn kjickjbia , ,22,2 000 , 0 kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得 1 0 n cn 0 ban 0 02 022 1 222 zy zyx zyx 解得解得). 3 2 3 1 3 2 ( 0 kjin 湖师院微分几何课程组 2 L 1 L 2 P 1 s 1 P 12 215 : 313 xy LL x+3y-1=0 9.证明直线与直线 3y+z-2=0 平行并求过此两平行线的

20、平面 的方程。 112 2 12 11 3, 1,3 1,3,0 0,3,13, 1,3 / 2, 1,0 LsL ss LL Lp 直线的方向向量直线的方向向量 所以 直线上点在所求的 明： 平面 证 上 31 0 2232 0 1 23 112 00, ,1 4 3, 1,3 2,1 5, 9,2 3 529120 59210 xy yz Lp xp nsp p xyz xyz 在直线上找一点，即求方程组的一个解。 令得,平面 的法向量为 平面 的方程为 即 湖师院微分几何课程组 四、练四、练 习习 题题 面面面面 面面面面； xozQDxozQC yozQBxoyQA )(;)( ;)()( 湖师院微分几何课程组 5 5、 2 )( （ ） （A A） 22 ； （B B） 22 2 ； （C C） 22 ； （D D） 22 2 . . Q , 1cos 4、设向量、设向量 与三轴正向夹角依次为与三轴正向夹角依次为 当当 时有（时有（ ） 面面面面 面面面面； xoyQDxozQC yozQBxoyQA )(;)( ;)()( 湖师院微分几何课程组 7 7、设直线方程为、设直线方程为 0 0 22 1111 DyB DzCyBxA 且且 0, 221111 DBDCBA, ,则直线则直线（ ）. . （A A） 过原点；过原点； （B B）轴轴平行于平行于 z； （C C