第7章 刚体的基本运动动画及例题

1、1 运动学篇运动学篇 第 七 章 刚体的基本运动 2 第七章第七章 刚体的基本运动刚体的基本运动 ?动画 ?例题 3 第七章第七章 刚体的基本运动刚体的基本运动 ?动 画 4 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 平移实例平移实例 5 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 刚体的平移 6 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 平移刚体各点的速度相同 7 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 平移刚体各点的加速度相同 8 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 平移实例平移实例 9 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 平移和定轴转动实例 10 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 定轴转动 11

2、 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 定轴转动刚体速度分布 12 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 定轴转动刚体加速度分布 13 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 平动和定轴转动刚体的速度 14 ?例 题 ?动画 第第7章章刚体的基本运动 角速度矢量 15 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 角速度矢量 16 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 用矢积表示点的速度 17 ?动画动画 第第7章章刚体的基本运动 用矢积表示点的加速度 18 第七章第七章 刚体的基本运动刚体的基本运动 ?例 题 19 荡木用两条等长的钢索 平行吊起，如图所示。钢索 长为长 l，度单位为 m。当荡 木摆动

3、时钢索的摆动规律 为，其中 t 为 时间，单位为 s；转角0的单 位为rad，试求当t=0和t=2 s时， 荡木的中点M的速度和加速度。 t 4 sin 0 ? 例 题1 ?刚体的基本运动 ? 例题 O A B O1 O2 l l （+） M 20 由于两条钢索O1A和O2B的长度相 等，并且相互平行，于是荡木 AB在运 动中始终平行于直线 O1O2，故荡木作 平移。 为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速 度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为 l。如以最低点 O为起点，规 定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为 tls 4 sin 0 ? 将上式对时间求导，得A点的

4、速度 tl t s v 4 cos 4 d d 0 ? 解： 例 题1 ?刚体的基本运动 ? 例题 O A B O1 O2 l l （+） M 21 再求一次导，得A点的切向加速度 代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在 这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下： tl t v a 4 sin 16 d d 0 2 t ? A点的法向加速度 tl l v a 4 cos 16 22 0 22 n ? 例 题1 ?刚体的基本运动 ? 例题 O A B O1 O2 l l （+） M 0002 （铅直向上） 0 （水平向右） 00 an(ms2)at(ms 2)

5、 v(ms1)(rad)t (s) 0 4 ? l 0 16 ? l 2 0 2 16 ? 22 滑轮的半径 r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴 O的 转动规律 =0.15t3，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M 点和物体A的速度和加速度。 A O M 例 题2 ?刚体的基本运动 ? 例题 23 首先根据滑轮的转动规律，求得 它的角速度和角加速度 2 45. 0t?t 9 . 0? ? 代入t =2 s， 得 , srad 8 . 1 1 ? 2 srad 8 . 1 ? 轮缘上 M 点上在t =2 s

6、时的速度为 sm 36. 0 1 ?rv M vM A O M 解： 例 题2 ?刚体的基本运动刚体的基本运动 ? 例题 24 A O M 加速度的两个分量 vM 2 t sm 36. 0 ?ra 22 n sm 648. 0 ?ra 总加速度 aM的大小和方向 sm 741. 0 2 2 n 2 t ?aaa M ,556. 0 tan 2 ? ? ? ? ? 29? at an aM 例 题2 ?刚体的基本运动 ? 例题 25 A O M 因为物体 A与轮缘上 M点的运动不同， 前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动， 因此，两者的速度和加速度都不完全相同。 由于细绳不能伸长，物体A与M点

7、的速度大小 相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也 相等，于是有 1 sm 36. 0 ? MA vv vM 2 t sm 36. 0 ? ? a a A at an a 它们的方向铅直向下。 vA aA 例 题2 ?刚体的基本运动 ? 例题 26 已知如图所示的摆绕 固定水平轴 O的转动方程 是，式中 表示摆对铅直线的偏角， 0为最大偏角；T 表示摆的 周期。已知摆的重心C到轴 O的距离为 l，试求在初瞬 时和经过平衡位置 (=0)时 重心的速度和加速度。 t T 2 cos 0 ? 例 题3 ?刚体的基本运动 ? 例题 C C0 l C1 O 0 27 C C0 l C1 O 0 将转动

8、方程对时间求导，得摆的角速度 和角加速度 t TTt 2 sin 2 d d 0 ? ? ? t TTt 2 cos 4 d d 0 2 2 2 2 ? ? ? 以t = 0代入上式，得摆在初瞬时的角速 度和角加速度 , 0 0 ? 0 2 2 0 4 ? T ? 此时重心C0的速度和加速度分别为 , 0 00 ?lv , 4 2 0 2 00t T l la ? ?0 2 0n0 ?la 此瞬时C0点的总加速度a0等于切向加速度，方向指向角减小的一边。 a0 解： 例 题3 ?刚体的基本运动 ? 例题 28 C C0 l C1 O 0 此时重心C1的速度和加速度分别为 , 2 0 11 T

9、l lv ? ? , 0 11t ?la 2 2 0 2 2 1n1 4 T l la ? ? 此瞬时C0点的总加速度a1等于法向加速度方向指向转轴O。 得摆在初瞬时的角速度和角加速度 , 2 0 1 T ? ? 0 1 ? 每次经过平衡位置=0的瞬时， 。0)2cos(?Tt 22?Tt即或23 av1 a1=a1n ; 1)2sin(?Tt因而 t TTt 2 cos 4 d d 0 2 2 2 2 ? ? ? t TTt 2 sin 2 d d 0 ? ? ?代入 例 题3 ?刚体的基本运动 ? 例题 29 s B A O M v R 半径R=20 cm的滑轮可绕水平 轴O转动，轮缘上绕

10、有不能伸长的 细绳，绳的另一端与滑轮固连，另 一端则系有重物A，设物体A从位置 B出发，以匀加速度a =4.9 ms2向 下降落，初速v0=4 ms1，求当物体 落下距离s =2 m时轮缘上一点 M 的 速度和加速度。 例 题4 ?刚体的基本运动 ? 例题 30 根据 v 2 v 02 = 2as，得M点的速度 M点的法向加速度 M点的切向加速度 M点的总加速度点的总加速度 12 0 sm 96. 52 ?vasv . d d t a t v a? R vasv a 2 0 2 n 2? ? ? 22 n 2 t sm 178 ?aaa 解: s B A O M v R 例 题4 ?刚体的基本

11、运动 ? 例题 31 图示为一对外啮合的圆柱齿轮， 分别绕固定轴O1和O2转动，两齿轮的 节圆半径分别为r1和r2，已知某瞬时主 动轮的角速度为1，角加速度为1， 试求该瞬时从动轮 的角速度2和角 加速度2，为简便起见，本例的 1 ， 2， 1， 2都代表绝对值。 例 题5 ?刚体的基本运动 ? 例题 O1 O2 M1 M2 1 2 1 2 r2 r1 32 O1 O2 M1 M2 1 2 1 2 r2 r1 , 21 v v ? 2t1t aa? , 2211 ?rr? 2211 ?rr? , 1 2 1 2 ? r r ? 1 2 1 2 ? r r ? 1 2 1 2 2 1 2 1 1

12、2 z z r r i? ? ? ? ? 齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点 处无相对滑动，因而两轮的啮合点M1与M2恒具有 相同的速度与切向加速度。即 v1 v2 a2t a1t 或 因而从动轮的角速度和角加速度分别为 显然， 2 ，2的转向分别与的转向分别与 1 , 1相反。 传动比为 解： 例 题5 ?刚体的基本运动 ? 例题 33 n1 减速箱由四个齿轮构 成，如图所示。齿轮和 安装在同一轴上，与轴一起 转动。各齿轮的齿数分别为 z1=36 ， z2=112 ， z3=32 和 z4=128 ，如主动轴的转速 n1=1 450 rmin1，试求从 动轮的转速n4。 例 题6 ?刚体

13、的基本运动 ? 例题 34 解：用n1， n2， n3和n4分别表示各齿 轮的转速，且有 32 nn ? 应用齿轮的传动比公式，得 , 1 2 2 1 12 z z n n i? 3 4 4 3 34 z z n n i? 将两式相乘，得 31 42 42 31 zz zz nn nn ? 因为n2= n3， ，于是从动轮到齿轮的传动比为 4 .12 31 42 4 1 14 ? zz zz n n i 由图可见，从动轮和主动轮的转向相同。 最后，求得从动轮的转速为 minr 117 1 14 1 4 ? i n n 例 题6 ?刚体的基本运动 ? 例题 n1 35 物体A和B以不可伸长的绳子

14、分别 绕在半径RA=50 cm和RB=30 cm的滑轮上。 已知重物A具有匀加速度aA=100 cms2， 且初速度vA0=150 cms 1，两者都向上。 试求：（1）滑轮在t=3 s内转过的转数， （2）当t=3 s时重物B的速度和走过的路 程，（3）当t=0时滑轮边缘上 C点的加 速度。 O RA RB A B C 例 题7 ?刚体的基本运动 ? 例题例题 36 滑轮边缘上C点沿圆周的位移恒等于重物A 的位移；C点的速度和切向加速度分别等于A点 的速度和加速度的大小。故有 1 00 scm 150 ? AC vv 2 t scm 100 ? AC aa 可见滑轮的初角速度 srad 3

15、1 0 0 ? A C R v ? 滑轮的角加速度?等于常量，等于 srad 2 50 100 2 t ? A C R a ? 1. 求滑轮在3 s内转过的转数。解： 例 题7 ?刚体的基本运动 ? 例题 O RA RB C A B D vC0 vA0 aCt aA 37 根据匀加速转动的角速度和转角公式，直接可 得此时滑轮的转角 ?rad 1832 2 1 33 2 1 0 2 0 2 00 ? ? ? ?tt 其中0是滑轮的初转角，决定于参考平面的 选择；为了方便，可令0=0。滑轮在3 s内 转过的转数是 86 . 2 2 0 ? ? ? ? N（转） 例 题7 ?刚体的基本运动 ? 例题

16、 O RA RB C A B D vC0 vA0 aCt aA 38 2. 求当t = 3 s时滑轮的角速度和走过的路程。 srad 9 1 0 ?t? 重物B 在 3 s内所走过的路程 从而求出这时B点的速度 scm 270 1 ? BB Rv ?cm 540 0 ? BB Rs 例 题7 ?刚体的基本运动 ? 例题 O RA RB C A B D vC0 vA0 aCt aA 39 O RA RB 当t = 0时滑轮边缘上C点的切向加速度和法向 加速度分别为 C A B D vC0 vA0 aCt aA 2 t scm 100 ? AC aa 且 aC 偏到CO的右侧，如图所示。 故C点在

17、 t = 0时的全加速度的大小，以及它和半 径的夹角分别等于 scm 450 22 0n ? AC Ra 22 n 2 t scm 460 ? CC aaa ? 5 .12arctan 2 ? ? ? ? aCn a 3. 求当t = 0时滑轮边缘上C点的加速度。 例 题7 ?刚体的基本运动 ? 例题 40 如图a，b分别表示一对外 啮合和内啮合的圆柱齿轮。已 知齿轮的角速度是 1，角 加速度是1，试求齿轮的角 速度 2和角加速度2 ，齿轮 和的节圆半径分别是 R1和R2， 齿数分别是z1和z2。 O1 O2 O1 O2 （a） （b） 例 题8 ?刚体的基本运动 ? 例题 41 （b） 设A

18、，B是齿轮，节圆上相啮合的点。 tt , BABA aavv? 但 2211 2211 , , ? ? RaRa RvRv BAt BA ? ? O1 O2 （a） vAvB AB vA vB A B 1 2 2 1 1 2 故得 1 2 1 21 2 1 2 , ? R R R R ? 在这两啮合点间无相对滑动，因而它 们具有相等的速度大小，同样也具有相等 的切向加速度。于是有 解： 例 题8 ?刚体的基本运动刚体的基本运动 ? 例题 转向分别如图所示。 O1 O2 42 D n1 图中是带式输送机，已知主动轮 的转速n1 1是1200 rmin1， 齿数z 1=24，齿轮与用链条联动，齿数

19、分别是 z3=15和z4=45。带轮 和齿轮相固连，直径 D 等于46 cm，如要求输送带的速度v大约等 于2.4 ms1，求轮应有的齿数z 2。 例 题9 ?刚体的基本运动 ? 例题 43 对于直接啮合的齿轮或用齿条联动的一对齿轮，转速与齿数成 反比。以 n 表示转速，则： , , 5432 nnnn? 4 3 3 4 2 1 1 2 , z z n n z z n n ? 4 3 2 1 1 4 z z z z n n ? 1 4 minr 100 60 ? D v n 96 44 311 2 ? zn zzn z 因而 故 解: 轮的转速为 例 题9 ?刚体的基本运动刚体的基本运动 ? 例题 D n1 44 120 2 5 5 . 22 82 d)5( 22 5 0 2 5 0 0 转? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ttt r N ? 解: : ? ? ttt ttf r t r x t 00 0 0 0 d)(dd ? ? 因为两轮的接触点具有公共切向 加速度，v = 0 x = r。 其中为轮B角速度的大小，则 t d d? ? 轮B向左移动的速度为（105）/5=1 cms1， 故 x = f(t) = 5+t 则转数为 A B r x