现代控制理论课后习题答案

1、前言本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材现代控制理论相配套而编写的习题解答。本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多， 难易程度不同， 虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。书中第 5、6、8 章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、 7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、 2 章由郑艳副教授组织编选和解答。由于时间比较仓促， 可能存在错误， 请读者批评、 指正。 另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。编者2005年 5 月第 2 章 “控制系统的状态空间描

2、述”习题解答2.1 有电路如图 P2.1 所示，设输入为 u1 ，输出为 u2 ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。R1u1u C1R 2u2uC2图 P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。 也可以先由电路图求得系统传递函数， 再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。设 C1 两端电压为 uc1 ， C 2 两端的电压为 uc 2 ，则uc1C 2duc2R2uc2u1(1)dtC1duc1uc1C2duc 2(2)dtR1dt选择状态变量为x1uc1 ， x2uc2 ，由式 (1) 和 (2)得：d

3、u c1R1R2C1 uc11uc21u1dtR1 R2 C1R2 C1R2C1duc 211uc21dtuc1u1R2C2R2C2R2C 2状态空间表达式为：x1R1R2C1 x11x21u1R1 R2 C1R2C1R2C1x21x111R2C2x2u1R2C2R2 C2yu2u1x1R1R2 C111x1R1 R2C1R2C1x1R2C1即:11x2u1x21R2C2R2C2R2C2y1x1u10x22.2 建立图 P22 所示系统的状态空间表达式。KM 1B2B1M 2f (t )图 P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令f (t ) 为输入量，即 u

4、f ， M 1 ， M 2 的位移量 y1 ， y2 为输出量，选择状态变量 x1y1 ， x2 =y2 ， x3= dy1 ， x4dy2 。dtdt根据牛顿定律对M 1 有：M 1x3Kx1B1d (x2 x1 )dt对 M 2 有：M 2 x4f (t)B1d (x2x1 )B2dx2dtdt经整理得：x1x3x2x4状态方程为：x3Kx1B1 x3B1x4M 1M 1M 1x4B1 x3( B1B2 )x41uM 2M 2M 2M 2y1x1输出方程为：y2x2写成矩阵形式为：00100x10001x10x2KB1B1x200 ux3M 1M 1M 1x31x4B1( B1B2 )x4

5、00M 2M 2M 2M 2x1y11000x2y20100x3x42.5 系统的结构如图P2.5 所示。以图中所标记的x1 、 x2 、 x3 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、 y 分别为系统的输入、输出，1 、2 、3 均为标量。du321+y1/s1/s1/sx3+x2x2+x1x1+x3a3a2a1图 P2.5 系统结构图解 图 P2.5 给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量， 这种图形称为系统状态变量图。 状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。 由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。

6、着眼于求和点、，则有： x11 x1x2： x22 x2x3： x33 x3u输出 y 为 y x1 du ，得x1a110x10x20a21x20 ux300a3x31x1y10 0 x2dux32.7 试求图 P2.8 中所示的电网络中，以电感L1 、 L2上的支电流x1 、 x2 作为状态变量的状态空间表达式。这里u 是恒流源的电流值，输出y 是 R3 上的支路电压。x1x2L1L2uR1R3yR2图 P2.8 RL 电网络解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程x1x2 R3R2 x2 L2 x2u x1L1 x1x1 x2 R3 / R1y x1x2 R3整理

7、得状态空间表达式为R1R3R3R1x1L1L1x1L1ux2R3R2R3x20L2L2y R3R3x1x22.8 已知系统的微分方程(1)yy 4y5 y3u ；(2)2 y3yuu ；(3)y2 y3y5y 5u 7u 。试列写出它们的状态空间表达式。(1) 解 选择状态变量yx1 ， yx2 ， yx3 ，则有：x1x2x2x3x35x14x2x33uyx1状态空间表达式为：x1010x10x2001x20ux3541x33x1y 10 0x2x3(2) 解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件下取拉氏变换得：2s3Y( s)3sY(s)s2U (s) U ( s)

8、Y (s)s211s2122U (s)2s33ss33s2由公式 (2.14)、 (2.15) 可直接求得系统状态空间表达式为x1010x10x2001x20ux3030x31211x1y0x222x3(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。 对微分方程 (3)在零初试条件下取拉氏变换得：s3Y( s) 2s2Y (s) 3sY( s)5Y( s)5s3U (s) 7U ( s)Y (s)5s37U ( s) s32s23s5在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即 m 是否小于 n ，若 m n 需作如下处理Y( s)5s37510s215s 1

9、8U (s) s32s23s 5s32s23s 5再由公式 (2.14) 、 (2.15) 可直接求得系统状态空间表达式为x1010x10x2001x20ux3532x31x1y 1 0 0 x25ux32.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。(1) g( s)s3s 1(2) g (s)s22s36s211s 62s23s 1s3s3(1) 解首先将传函 (1)化为严格真有理式即：g(s)Y(s)6s210s51s36s211s1 g ( s)U (s)6令 g (s)Y (s) ，则有U (s)Y (s)U (s)6s 110s 25s 36s 11

10、1s 26s 31E (s)U (s)16s 111s 26s 31即：，E ( s)U (s)6s 1 E(s)11s 2 E (s)6s 3 E( s)Y (s)6s 1 E(s)10s 2 E(s)5s 3 E( s)由上式可得状态变量图如下：uex3x2x+ +y1+ +-6- 11-6由状态变量图或公式(2.14)、 (2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式x1010x10x2001x20ux36116x31x1y= -6 -11 -6 x2ux3(2) 解 由已知得：Y( s)s 12s 23s3U (s)2s 13s 2，1s 3令：E( s)U (s)1，2s 13s 21

11、s 3得：E( s)U (s)2s 1 E(s)3s 2 E(s) s 3E( s)Y (s)s 1E( s)2s 2E(s)3s 3 E( s)状态变量图如下：ex3x2x12u+ + y+3+ +-2-3-1状态表达式如下：x1010x10x2001x20ux3132x31x1y32 1x2x32.13 列写图 P2.10 所示系统的状态空间表达式。u1c-s ay1u2-解 设dsb图 P2.10y2x1( s)y1( s)x2 (s)y2 (s)则由系统方框图P2.10 可得x1 ( s)u1( s) x2 ( s)casx2 ( s)u2(s) x1(s)dbs对式 710 进行拉氏

12、反变换得(7)(8)(9)(10)x1 (t )ax1 (t )cx2 (t )cu1 (t)x2(t )dx1(t)bx2 (t)du2 (t)y1(t )x1 (t )y2 (t)x2 (t )则系统状态空间表达式为x1acx1c0u1x2dbx20du2y110x1y201x22.14 试将下列状态方程化为对角标准形。(1)x101x10ux256x21x1010x123(2)x2302x21u15x31276x37u21(1) 解 求特征值I A16)5( 5)( 1) 0(56解得11,25 求特征向量a 、对于有解得b 、对于有解得121 ：1 I A v111v11055v120

13、v1v111v1215 ：2 I A v251v21051v220v2v211v225 构造 P ，求 P 1Pv1 v2111551P1441144 求 A ， B 。AP 1 AP100,55101BP1B4441111444101则得对角标准型xx4u0514(2) 解 求特征值：10I A32(1)(2)(3) 0127611,22,33 求特征向量a 、对于11有：110v110v111312v120v1211275v130v131b 、对于22 有：210v110v112322v120v1241274v130v131c 、对于 23有：310v110v111332v120v1231

14、273v130v133 构造 P ，求 P 1。12195122P 1P143 ,32111353122 求 A ， B 。100AP 1 AP020 ,00395372721232B P 1B23 2 1 1 515 20537127162122则得对角标准型10037272x020x1520 u003271622.15 试将下列状态方程化为约当标准形。x1412x131x2102x22u17x3113x35u23解 求特征值：412I A12(1)(3)2011311,233 求特征向量a 、对于1 有(i IA)vi0312v110v110即112v120v122112v130v131b

15、 、对于3有(i IA)vi0112v210v211即132v220v221110v230v231(i IA)vivi112v211v211即132v221v220110v231v230 构造 P ，求 P 1 。011011P210,P 1012110112 求 A ， B 。100A P 1 AP 031,0030113134B P 1B 01 2 27811125352则得约当标准型10034x031x81 u003522.16 已知系统的状态空间表达式为51x2x1u35y 12 x4u求其对应的传递函数。解512， C12 ， d 4A， B531g (s)C( sIA) 1 Bds

16、Is51A3s1( sIA) 11s111)33s5(s5)(sg( s) C ( sI A) 1 B d11s112( s2)(s4)23s5454s236s91s26s82.19 设离散系统的差分方程为y(k 2) 5y(k1)3y(k )u(k1)2u k求系统的状态空间表达式。解 对差分方程取Z 变换，得：Z2 y(z)5Zy( z)3 y( z)Zu(z)2u(z)g( z)y( z)z2u( z)z25z3离散系统状态方程式为x1 (k1)01x1(k)0x2 (k 1)35 x2 ( k)u( k)1y 21x1(k)x2 ( k)第 3 章“状态方程的解 ”习题解答3.1 计算

17、下列矩阵的矩阵指数eAt。200200(1) A020; (2) A031002003（ 1）解（ 2）解（ 3）解00;(4)01(3) A0A014e 2t00eAt0e 2t000e 2te 2t00eAt0e 3tte 3t00e 3tsIAs01s1011s0ssIAs21s11s2seAtL 1sIA11 t0t1 t（4）解：sIAs14ssI11s1As24 4ss12s242s2422s24s24ss12eAtL1s242 s242s2s24s24cos2t1 sin 2t22sin 2tcos2t3.2 已知系统状态方程和初始条件为1001x010x,x 000121(1)

18、 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；(2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵；(3) 试用化 eAt 为有限项法求其状态转移矩阵；(4) 根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。100O（1）解A 01A10，01OA22其中，A11,A21012则有AteA1t0e0eA2teA1 tet ，eA2tL 11而sI A2s11sI10A21s21s20(s1)(s2)1s 110s1111s2s1s 2eA2tL 1sI A21e2tet0ete2t所以状态转移矩阵为et00eAtL 1sI A1et000e2tete2t（2）解I A210(1)( 2) 01211,22对于11，00P10

19、P111101对于22 ，100P201P2010P10P 1101111A2tet01eP0e2tP10et010110e2t11et0e2 tete2tet00ePt0et00e2tete2t（3）解 矩阵的特征值为 1,2 1, 32对于对于31,22 有：e2t0 (t )2 1(t)4 2 (t )1有：et0 (t)1 (t)2 (t )因为是二重特征值，故需补充方程tet1(t )2 2 (t )从而联立求解，得：0 (t)e2t2tet1(t)3tet2e2 t2et2 (t)e2tetteteAt0 (t) I1 (t) A2 (t) A2e2t2tet001000e2t2t

20、et03tet2e2 t2et01000e2t2tet012100100e2tettet0 1 0 010012012et000et00e2tet e2t（4）解：x(t)eA( t t0 ) x(t 0 )eAt x(0)et001et0et0000e2 tete2 t1e2t3.3 矩阵 A 是 2 2 的常数矩阵，关于系统的状态方程式xAx ，有1时，e 2tx(0)x2 t1e2时，2e tx(0)x1e t试确定这个系统的状态转移矩阵(t,0) 和矩阵 A 。解：因为系统的零输入响应是x t(t,0) x(0)所以e 2t(t,0)12ee 2t1，ett2(t , 0 )1将它们综

21、合起来，得e 2 t2e t(t,0)12e 2 te t11e 2t2e t11(t ,0)2e 2 te t11e 2t2e t12e 2 te t112eet2tee2tt2e2et2t2e e2tt而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵(t, t0 ) 满足微分方程dA t ,t0t ,t0dt和初始条件t0 ,t 0I因此代入初始时间t00 可得矩阵A 为：Ad(t ,t0 )1 (t, t0 )dttt0 02e t2e 2t2e t4e 2t2e 2 te t4e 2te tt 002133.9 已知系统 xAx 的转移矩阵(t,t 0 ) 是(t ,t0 )2e te 2t2(

22、e2te t )e te 2 t2e2te t时，试确定矩阵A 。解 因为(t, t0 ) 是状态转移矩阵，Ad所以有(t, t0 )(t, t0 )dt将 t00 ， (t 0 , t0 )I 代入得：02A133.10 已知系统状态空间表达式为01x1x4u31y 1 1 x(1) 求系统的单位阶跃响应；(2) 求系统的脉冲响应。（1）解01， B1A4, C 1 131IA14) 3 ( 3)( 1) 0(341211, 2311P10P111时，301331P20P213 时，1033P11133131P11222111122et01 1 1et031At22eP3t P1303t11

23、0ee223 et1 e3t1 et1 e3t22223 et3 e3t1 et3 e3t2222将 u(t) 1(t) 代入求解公式得：3 et1 e3t1 et1 e3 tx1(0)x(t )22223t33t1t33 tx2(0)e2e22e2e1+2t3ete3( t)ete3(t)03et3e3(t)et3e3( t)1d13ete3tx (0)ete3tx (0)et121223et3e3tx1 (0)et3e3 tx2 (0)et122若取 x(0)0 ，则有x(t)et1et1y 1 1 x(t ) 1 1et12et2et1（2）解由（ 1）知3 et1 e3t1 et1 e3tAt2222e3 et3 e3t1 et3