必修2(1)立体几何.

1、第1章立体几何1 棱柱的性质： 两个底面与平行于底面的截面是全等多边形，且对应边互相平行； 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(1) 直棱柱的性质： 侧棱垂直与底面，侧棱长于高相等； 侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形.(2) 长方体的性质：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.即设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,对角线长为I，则|2 a2 b2 c2 .长方体和正方体外接球直径=体对角线长.2.棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，它们面积的比等于截得的棱 锥的高和已知棱锥的高的平方比.(1)正棱锥：

2、底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫做正棱锥.(2)正棱锥的性质 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的高叫棱锥的斜高，斜高相等. 正棱锥的咼、斜咼和斜咼在底面内的射影组成一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. 注：在正四棱锥中，高SO,斜高SE,侧棱SA,底面外接圆半径 OA , 底面内切圆半径 0E,底面正多边形半边长 AB，正棱锥的计算集中在 四个直角三角形中： Rt SOB Rt SOE, Rt BOE和Rt SBE就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度. 空间几何体表面上两点的最短距离：3. 直观图的画法：用斜

3、二测画法(1)在已知图形取互相垂直的x轴和y轴交于0点，再取z轴，使 xOz 90，且 yOz 90. 画直观图时，把它们画成对应的x轴y轴z轴，使 xO y 45(或135)，xOz 90.(3) 已知图形中平行于 x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴、y轴或z轴的线段.(4) 已知图形中平行于 x和z轴的线段，在直观图中长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.【注：平行于x轴和z轴的长度方向均不变；平行于y轴的长度方向均减半】4. 直棱柱的侧面积和体积：(直棱柱的底面周长是 C,高是h，底面面积是S) 侧面积：S直棱柱侧ch ；体积：V直棱柱sh .1圆柱侧面积：S

4、 c h 2 rh，圆锥侧面积：S c I rl ，25. 棱锥的侧面积和体积：(棱锥的表面积等于底面积和侧面积之和，即S表 S底 S侧)一 1 若C为正棱锥的底面周长，h为斜高，则S正棱锥侧ch .2一 11 棱锥的体积等于它的底面积 (S底)与高(h)的乘积的-，即V直棱锥 sh .33注：棱锥的等积变换问题：等底等高的棱锥体积相等.6. 台体的侧面积和体积：(台体的上下底面面积是 S,SC，高是h,斜高或母线是I )1 1 棱台侧面积：S (c c)h ；圆台侧面积：S (c c)l (R r)l .2 2 台体：V 1 h(S S S S)；圆台体：V 1 h(R2 R r r2).3

5、 37. 球：与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.定点叫做球心，定长叫做球的半径.球面：与定点距离等于定长的点集合叫做球面.(1) 球截面的性质： 用一个平面去截球，截面是圆. 球心到截面圆心的连线垂直于截面. 若球心到截面圆的距离 d与球的半径R及截面圆的半径r，则r R2 d2 . 注：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.(2) 相关计算：S圆r2,C圆2 r，球面面积：S球4R2，球体积：V球-R3.3(3) 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长；正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(

6、3) 球与正四面体的组合体：&球与正四面体：底面边长等于侧棱长，而正三棱锥不定是正四面体.(1)正四面体：正四面体是特殊的正三棱锥 思路一：探讨正四面体的外接球球心位置，分析特征三角形.性质：棱长为a的正四面体的内切球的半径为123外接球的半径为 6 a (正四面体高46 a 的 3 ).34 正四面体的外接球半径 R与内切球半径解：如图，正四面体 ABCD的中心为0,贝U内切球半径为正四面体的中心到各面的距离, 外接球的半径为正四面体中心到顶点的距离.设001r之比为R: rBCD的中心为3： 1.Oi ,依题意得r,OA R，正四面体的一个面的面积为S .1VA BCD3 S( R r)，

7、又 VA BCD4VO BCD4r 即 R 3r ,. R: r 3： 1.4 5r注：正四面体与球的接切问题：内切球和外接球的两个球心是重合的，1为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径rh (h为正四面体的高4)，且外接球的半径 R 3r .Ra4解：分别取BC、AD的中点E、F，连结AD，则EF为AD、BC的公垂线段, 且与高AO1的交点正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是:设棱长为a，由于O是外接球的球心,DE a , DF2连结 DO、DE .在 Rt DFE 中,1. 2a，可得EFa ,22所以FO丄a4于是外接球的半径R DO 、DF 2正四面体的内切球的半径与正四面

8、体棱长的关系是:解：设内切球的半径为r ,球心为O1，棱长为a , VPABCFO2a .4a121-r (SABC SPBC31.6c 小 aSABC33则此球的表面积为:ESPABSPAC )1SABCSpbcSPABSPAC，二 VP ABC r 4SABC3例题：(1)正四面体的棱长为 -2，四个顶点都在同一球面上，1,则正四面体外接球的体积为：2得外接球半径为62-，外接球的表面积为 4 (一3)23 .422(2)正四面体的棱长为解：(1)由正四面体的棱长为4Sabc.6 a .12(2)由正四面体的棱长为1得外接球半径为6，外接球的体积为-()3 -1 .4348思路二：通过“补

9、形法”将正四面体补成正方体探讨棱长与外接球半径的关系.已知正四面体棱长求正四面体的外接球的半径，可以把正四面体补成正方体：正四面体的边长为正方 体面对角线，而球的直径为正方体的体对角线。也就求出外接球的半径.PE正四面体的体积等于相应正方体体积的1，正四面体的咼等于相应正方体体对角线的323(2)正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ,则这个正四面体的(1)全面积：S全3a2;(2)体积：V23a3 ；(3)对棱中点连线段的长：72 da ；122内切球半径：r空a；外接球半径:Ra ；124正四面体内任意-点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).J3伝棱长为a的正四面体的高h祸(皆.9 组合体体积的计算：“割补法” 由几个几何体堆积而成，其体积就等于这几个几何体的体积之和. 由一个几何体挖去几个几何体而成，其体积等于几何体的体积减去被挖去几何体的体积.10.几个基本公式:(1)弧