空间向量的标准正交分解与坐标表示课件

1、 我们学习过平面向量的 标准正交分解和坐标表示. 在空间中,如何确定向量的坐标呢? P A C O B D z x y i j k ., , , aOPa zyx kji ? 作是空间任意向量设 轴正方向上的单位向量轴轴 为直角坐标系中令在给定的坐标系中 a DPADOAOP? 有根据向量的加法运算, P A C O B D z x y i j k DPADOAOP? 有根据向量的加法运算, OCOBOA? kzOCjyOBi xOA?, 根据向量共线定理 kzjyi xOP? 所以 , , , , i j k xyz a r r r r 在给定的空间直角坐标系中 令分别为 轴轴 轴正方向上的

2、单位向量 对于空间任意向量 ( , , ),x y zaxiyjzk? rrrr 存在唯一一组三元有序实数 使得。 ., , 叫做标准正交基把 的标准正交分解叫做我们把 kji akzjyi xa? .),( ).,( .),( 的坐标表示叫做向量 记作 的坐标叫做空间向量 azyxa zyxa azyx ? ? ).,( ),( , zyxOP zyxP 的坐标也是向量 的坐标为点 在空间直角坐标系中 .)2( ;, ,) 1 ( . 5 , 3 , 2 , , . 1 1 1 11111 的坐标求 的分解式关于给出 的坐标写出 体在直角坐标系中有长方如图例 AD kjiAC C AABCA

3、BDCBAABCD? C1 D A 1 O B C z x y (A) D 1 B 1 C1 D A 1 O B C z x y (A) D 1 B 1 解: (1) 因为AB=2,BC=3,AA1=5 所以C1为(3,2,5) kjiAC523)5 , 2 , 3( 1 ? 从而 (2)因为点D1为(3,0,5) )5 , 0 , 3( 1 ?AD 所以 .)2( ;, ,) 1 ( . 5 , 3 , 2 , , . 1 1 1 1 11111 的坐标求 的分解式关于给出 的坐标写出 体在直角坐标系中有长方如图练习 BD kjiAB B AABCABDCBAABCD? C1 D A 1 O

4、 B C z x y (A) D 1 B 1 (1) B1为(0,2,5) kjAB52 1 ? (2) (3,-2,5) ikzijyii x ikzjyi xia kzjyi xa ? ? ? )( ,那么设 00, , 1| 2 ? ? ikjiji iii 同理而 由于 zkayjaxia?, 同理所以 , ,. a ix a jy a kz axyz ? ? ? ? r rr rr r r 我们把分别称为 向量 在 轴轴轴正方向上的投影 . ,cos| , 0 0 上的投影在向量为向量 称 的单位向量为若一般地 ba baaba bb ? .标轴正方向上的投影向量的坐标等于它在坐 A

5、 D 1 C1 B 1 A1 D C B 例2.如图,已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1,求 ;) 1 ( 1 上的投影在向量 CBCA 1|cos| ;) 1 ( : 11 1 ?CBCBACA CBCA 上的投影在向量解 A D 1 C1 B 1 A1 D C B 例2.如图,已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1,求 ., ,)2( 111 上的投影在求向量 且垂直于平面是单位向量 BCCAAABB BC 1|)cos(| )2( : 11 1 ?CBCBACA BCCA ? 上的投影为在向量解 A D 1 C1 B 1 A1 D C B 练习2.如图,已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1,求 1 CACA 向量在上的投影。 1 11 : |cos|2 CAC