定积分定积分的换元法和分部积分法

1、定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 ?一、定积分的换元法 ?二、分部积分法 ?三、小结 第三节第三节 一、定积分的换元法 定理1.设函数单值函数 满足: 1), , )( 1 ?Ct ? 2) 在, ?上 ;)(,)(ba? ( ) t ? ( ) t ? 证: 所证等式两边被积函数都连续 , 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是的原函数 ,因此有则 )()(aFbF?)( ?F?)( ?F? ( ) t ? ( ) t ? ( ) t ? ( ) t ? ( ) t ? 则 说明: 1) 当 ? ?, 即区间换为 ，时, ?定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换

2、元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 ) )(tx?令 xxf b a d)( ? ? 或配元 ( ) t ? d ( ) t ? 配元不换限 ( ) t ? ( ) t ? ( ) t ? ( ) t ? ( ) t ? ( ) t ? . 解解换元：，； 换限：， ， tsinx ?tdtdx cos? 0?x0?t 1?x 2 ? ?t tdttdxxcossin11 2 0 2 1 0 2 ? ? ? ? ? 2 0 2 cos ? tdt 3.3.例题例题 dxx ? ? 1 0 2 1 例例1 1计算计算 ?dtt ? ? 2 0 2cos

3、1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 0 2 2 1 2cos 2 1 ? tdtdt 2 0 11 sin2 224 tt ? ? ? ? ? 注第一步是采用的换元（不定积分第二类换 元法），换元的同时必须换限 。在计算dtt ? 2 0 2cos ? 时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量， 所以没有换限. 4 1 1 0 2 ? ? ? dxx ：由定积分的几何意义知，该积分值等 于由，直线所 围图形的面积（见右图） . . 2 1xy? 1, 0, 0?xxy 4 1 面积值为圆面积的. 2 1 x y? -11x y o 例2计算.dxxx ? 2 0

4、4 cos2sin ? 解法1. dxxx ? 2 0 4 cos2sin ? dxxx ? ? 2 0 5 cossin2 ? 换限：换限：，0 ?x1?t 2 ? ?x 0?t， 换元换元：， xtcos?xdxdt sin? 原式原式.dtt ? ? 0 1 5 2 0 6 1 11 2 63 t ? ? ? ? ? 解法解法2.2. dxxx ? 2 0 4 cos2sin ? dxxx ? ? 2 0 5 cossin2 ? ? 5 2 0 2coscosxdx ? ? ? ? 2 6 0 11 2cos 63 x ? ? ? ? ? ? 由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换

5、元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量 例4 计算 解 . )ln1(ln 4 3 ? ? e e xxx dx 原式 ? ? ? 4 3 )ln1(ln )(lne e xx xd ? ? ? 4 3 )ln1(ln )(lne e xx xd ? ? ? 4 3 2 )ln(1 ln 2 e e x xd ? 3 4 2 arcsin( ln ) e e x? . 6 ? ? 例例5.5. 计算 解: 令21,tx?则,dd, 2 1 2 ttx t x? ? ? ,0时当?x,4时 ?x3

6、.t? 原式 = tt t t d 23 1 2 1 2 ? ? ? ttd)3( 2 1 3 1 2 ? ? )3 3 1 ( 2 1 3 tt ? 1 3 1;t? 且 例6. 证: (1) 若 ? ? ? aa a xxfxxf 0 d)(2d)(则 ? ? ? xxf a a d)( (2) 若 0d)(? ? ? a a xxf 则 xxf a d)( 0 ? ? xxf a d)( 0 ? ? ttf a d)( 0 ? ?xxf a d)( 0 ? ? xxfxf a d )()( 0 ? ? 时)()( xfxf? 时)()( xfxf? 偶倍奇零 tx? 令 ? 奇函数 例7

7、 计算 解 . 11 cos21 1 2 2 ? ? ? ? dx x xxx 原式 ? ? ? ? 1 1 2 2 11 2 dx x x ? ? ? ? 1 1 2 11 cos dx x xx 偶函数 ? ? ? 1 0 2 2 11 4dx x x ? ? ? ? 1 0 2 22 )1(1 )11( 4dx x xx ? ? 1 0 2) 11(4dxx ? ? 1 0 2 144dxx .4 ? 单位圆的面积 证明证明 例例8 8 若f(x)在00,1上连续,证明 (2) ? ? ? ? 00 )(sin 2 )(sindxxfdxxxf ? (1) ? ? 2 0 2 0 )(c

8、os)(sin ? dxxfdxxf? 证明 (1)令 tx? 2 ? , 则 fdxxf 2 sin(sin()(sin 0 2 2 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 0 )(cos) 2 sin(sin( ? ? dxxfdttf ? dttfdxxf) 2 sin(sin()(sin 0 2 2 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 0 )(cossin(sin( ? dxxff ? (2) 令令x?t?因为 例8若若f(x)在在0,1上连续,证明证明 证明 (2) ? ? ? ? 00 )(sin 2 )(sindxxfdxxxf ? (1) ? ? 2 0 2 0 )

9、(cos)(sin ? dxxfdxxf? ? ? 0 0 )sin()()(sin ? ? ?dttftdxxxf ? ? ? ? 00 (sin)()sin()(dtftdttft ? ? ? ? 00 )(sin)(sindtttfdttf ? ? ? ? 00 )(sin)(sindxxxfdxxf 所以 ? ? ? ? 00 )(sin 2 )(sindxxfdxxxf ? ) t 例9 计算计算. dx x xx ? ? ? 0 2 cos1 sin 解积分区间为，被积函数为，被积函数为 型，利用定积分公式得 ? ? , 0 ?x xf sin dx x x dx x xx ? ?

10、 ? ? ? 0 2 0 2 cos1 sin 2cos1 sin ?xd x cos cos1 1 2 0 2 ? ? ? ? ? 4 cosarctan 2 2 0 ? ? ?x 例例1111 设设求求 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 0, , 0, 1 1 xe x xxf x ?dxxf ? ? 2 0 1 解解?dttfxtdxxf ? ? ? 1 1 2 0 11 ? ? ?dxxfdxxf ? ? ? 1 0 0 1 dx x dxex ? ? ? ? 1 0 0 1 1 1 ? ? 1 0 0 1 1lnxe x ? ? 2ln1 1 ? ? e 2 2解解 ? ?

11、 ? ? ? ? ? ? ? ? , 01, , 01, 11 1 1 1 xe x xxf x? ? ? ? ? ? ? ? ? 1, , 1, 1 1 xe x x x ?dxxfdxxfdxxf ? ? 2 1 1 0 2 0 111 dx x dxex ? ? ? 2 1 1 0 1 1 ?dx x xdex ? ? ? 2 1 1 0 1 1 1 ? ? 2ln 1 1ln 2 1 1 0 1 ? ? e xex 设函数)(xu 、 )(xv 在区间? ?ba, 上具有连续 导数，则有 ? ? ? ? b a b a b a vduuvudv. 定积分的分部积分公式 推导? ?,vu

12、vuuv ? ? ? ?(), b b a a uv dxuv? ? ? ?, bb b a aa uvuvdxuvdx? ? ?. b bb aa a udvuvvdu? ? 二、分部积分公式 例例1 1计算 .arcsin 2 1 0 ? xdx 解解令,arcsinxu?,dxdv? , 1 2 x dx du ? ?,xv? ? 2 1 0 arcsinxdx? 2 1 0 arcsinxx? ? ? ? 2 1 0 2 1 x xdx 62 1 ? ?)1( 1 1 2 1 2 0 2 2 1 xd x ? ? ? ? 12 ? ? ? 1 2 2 0 1 x? . 1 2 3 12

13、 ? ? 则 解解 例例2 2 计算计算. ? e xdxx 1 ln ? ? ee xdxxdxx 1 2 1 ln 2 1 ln ? ? ee dx x xxx 0 2 1 2 1 2 1 ln 2 1 )1( 4 1 4 1 2 1 2 1 22 ?exe e 例3 计算计算.dxx ? 4 0 2 sin ? 解 dttt txtx tdtdxxt ? ? ? 2 0 2 sin2 2 , 4 ; 0, 0 2, ? ? dxx ? 4 0 2 sin ? ?td t cos 2 2 0 ? ? ? ?dtttt ? ? 2 0 2 0 cos2cos2 ? ? 2sin2 2 0 ?

14、 ? t 例例4 4 计算计算 解解 . )2( )1ln( 1 0 2? ? ? dx x x ? ? ?1 0 2 )2( )1ln( dx x x ? ? ? 1 0 2 1 )1ln( x dx 1 0 2 )1ln( ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x ? ? ? ? 1 0 )1ln( 2 1 xd x 3 2ln ?dx xx ? ? ? ? ? 1 0 1 1 2 1 11 12xx ? ? ? 1 0 )2ln()1ln( 3 2ln xx?. 3ln2ln 3 5 ? 例5 设，求. ? ?dt t t xf x ? ? 2 1 sin ? ?dxxxf ? 1 0

15、 解 ? ? x x x x x xf 2 2 2 sin2 2 sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 0 1 0 x dxfdxxxf? ? ?xdf x xf x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 2 1 0 2 22 ? ? ?dxxf xf ? ? 1 0 2 22 1 dx x xx 2 1 0 2 sin2 2 ? ?dxxx ? ? 1 0 2 sin ? 11cos 2 1 cos 2 1 sin 2 11 0 22 1 0 2 ? ? xdxx 例例6 6证明定积分公式 ? ? ? 22 00 cossinxdxxdxI nn n ? ?

16、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n n n n n n n n , 3 2 5 4 2 31 , 22 1 4 3 2 31 ? ? ? 为正偶数 为大于1的正奇数 证证 设,sin 1 xu n? ?,sinxdxdv? ,cossin)1( 2 xdxxndu n? ?,cosxv? ?dxxxnxxI nn n? ? ? ? ? 2 2 0 22 0 1 cossin)1(cossin 2 1 sin x?0 dxxndxxnI nn n? ? ?22 00 2 sin)1(sin)1( ? nn InIn)1()1( 2 ? ? 2 1 ? ? ? nn

17、 I n n I 积分关于下标的递推公式 n I 42 2 3 ? ? ? ? nn I n n I,?直到下标减到0或1为止 , 2 1 4 3 6 5 22 32 2 12 02 I m m m m I m ? ? ? ? ? ? , 3 2 5 4 7 6 12 22 12 2 112 I m m m m I m ? ? ? ? ? ? ? ? ),2,1(?m , 2 2 0 0 ? ? ? ? dxI,1sin 2 0 1 ? ? ? xdxI , 22 1 4 3 6 5 22 32 2 12 2 ? ? ? ? ? ? ? m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 12

18、 22 12 2 12 ? ? ? ? ? ? ? ? m m m m I m 于是 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的换元法 dxxf b a ? )(dtttf ? ? ? ? ?)()( 三、小结 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 ? ?. ? ? b a b a b a vduuvudv （注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别） 思考题思考题1 指出求? ? ? ? 2 2 2 1xx dx 的解法中的错误，并写出正确 的解法. 解 令 ,sectx ? , 4 3 3 2 : ? ? ? t,sectantdttdx? ? ? ? ? 2 2

19、 2 1xx dx tdtt tt tansec tansec 1 4 3 3 2 ? ? ? ? ? ? dt ? ? ? ? 4 3 3 2 . 12 ? ? 思考题1解答 计算中第二步是错误的 .txsec? , 4 3 , 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ?t ,0tan ?t .tantan1 2 ttx? 正确解法是 ? ? ? ? 2 2 2 1xx dxtxsec? tdtt tt tansec tansec 1 4 3 3 2 ? ? ? ? ? dt ? ? ? ? 4 3 3 2 . 12 ? ? 思考题思考题2 设)(x f ? ? 在? ? 1,0 上连续，且 1

20、)0(?f ， 3)2(?f ， 5)2(?f ，求? ? ? 1 0 )2(dxxfx. 思考题思考题2解答解答 ? ? ? 1 0 )2(dxxfx ? ? 1 0 )2( 2 1 xfxd ? ? ? 1 0 1 0 )2( 2 1 )2( 2 1 dxxfxfx ? 1 0 )2( 4 1 )2( 2 1 xff? ?)0()2( 4 1 2 5 ff?. 2? 一、 填空题： 1、? ? ? ? ? ? 3 ) 3 sin(dxx _； 2、? ? ? ? 0 3 )sin1(d _； 3、 ? ? 2 0 2 2dxx _； 4、 ? ? ? ? 2 1 2 1 2 2 1 )(a

21、rcsin dx x x _； 5、? ? ? ? 5 5 24 23 12 sin dx xx xx _ . 练 习 题 1 二、 计算下列定积分： 1、? 2 0 3 cossin ? ?d ； 2、? ? 3 1 22 1xx dx ； 3、? ? 1 4 3 11x dx ； 4、? ? ? ? ? 2 2 3 coscosdxxx ； 5、? ? ? 0 2cos1dxx ； 6、? ? 2 2 4 cos4 ? ? ?dx； 7、? ? ? 1 1 2322 )11(dxxxxx ； 8、? 2 0 3 ,maxdxxx ； 9、? 2 0 dxxx? （为参数 ? ）. 三、 设

22、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 时，当 时，当 0, 1 1 0, 1 1 )( x e x x xf x 求? 2 0 )1(dxxf . 四、设 ?baxf,)( 在上连续， 证明 ? ? ? b a b a dxxbafdxxf)()(. 五、 证明： ? ? 1 0 1 0 )1()1(dxxxdxxx mnnm . 六、证明： ? ? ? a a a dxxfxfdxxf 0 )()( )(, 并求 ? ? ? ? 4 4 sin1x dx . 七、设 ?1,0)( 在 xf上连续， 证明 ? ? ? ? 2 0 2 0 )cos( 4 1 )cos(dxxfdxxf . 练习题练习题1答案答案 一、1、0； 2、 3 4 ? ； 3、 2 ? ； 4、 32 3 ? ； 5、0. 二、1、4 1 ； 2、 3 32 2? ； 3、 2ln21? ； 4、 3 4 ； 5、 22 ； 6、 ? 2 3 ； 7、 4 ? ； 8、 8 ? ； 9、 4 17 ； 10、时当 0? , ?2 3 8 ? ； 当 20? 时, 3 2 3 8 3 ? ? ； 当 2? 时,