专题09不等式(解析版)

1、9.不等式只有一项是符合题目要求的。、选择题：一共16道题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中,1.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】已知变量X, y满足约束条件y2y，则z 2x y的最小值为0A.1B.2C.3D.6【答案】2.若 X, y0,2y的最大值是(3 A.-4B.C.D.【答案】【解析】由题意得:2y2X,X Q则y X 2x厶,求得最大值是2x23.X, y满足约束条件11,1,0,则(X2)2y2的最小值为(B)(C)【答案】D【解析】由已知得:线性区域为一个三角形,各顶点坐标分别为1,0 , 0,1 ,(-1,1)，所以最小值为 0 2 2

2、1254.设实数X，y满足约束条件 2x10,则 z03x y的最小值为(A.1B.2C.3D.6【答案】A【解析】画出线性规划区域，即可得出最优解。正确答案【点评】线性规划是高考必考问题，常有以下几种类型:(1)平面区域的确定问题；(2 )区域面积问题；(3)最值问题；（4）逆向求参数问题.最值问题是线性规划中比较简单的题目。线性规划问题的最优解一般在平面区域的边界顶点处或边界线上，当最优解为边界顶点时，最优解唯一，3y5.若实数X，y满足约束条件3x00，贝U z=3x+2y的最大值是B. 110D 12【答案】c【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线y3x 平移该直线

3、，当经过点 C时，z取得最大值，由5已知即 C(2,3)，所以 amax 3 2 5321，故选C.Xy AX, y满足约束条件 Xy y A 002，若zax y的最大值为4,【答案】【解析】由z axaxz，借助图形可知:1，即a 1时在Xy 0时有最大值0，不符合题意;a 1，即1 a 0时在X y 1时有最大值a 14, a 3,不满足1 a 0 ；当1 a 0，即0a1时在x y 1时有最大值a 14,a3，不满足 0 a 1；当 a 1,即a 1时在x 2, y0时有最大值2a 4,a2，满足a 1 .7 .已知函数f(x) x(1a|x|).设关于x的不等式f(X a) f (x

4、)1 1的解集为A,若A，则实数a的取值范围是A.,0201-2【答案】A【解析】解法由f(xa)f (x)，得a| 1 a|xa|ax|x| a|a |xa|x|x|，无解,，不符合，排除c .取符合解法二数形结合,i)取ii)取满足解法三 x|x12112|x1-l x|x|,|x|是奇函数.|x |，如图f无解.排除c.12ixi，A，排除B、由题意0 A，即f0，所以 a 1 a|a |当a 0时无解，所以a 0，此时a 0 .排除C、D.11 12| 1 2|x1 x|x|,又口52符合1,12 2A，排除B.8设 f(x)In x , 0 a b，若fU/Ob),fU21r 2(f

5、(a)f （b），则下列关系式中正确的是（【答案】B【解析】 0a jab，又f (x) = lnx在(0, +?)上单调递增,2故 f (Jab) p ,2 r = 1( f (a) + f (b) = 1(ln a +1n b)二 In VOU = f (TOU) = p , 2 29.若2x 2y 1,则x y的取值范围是A. 0,2B. 2,0C. 2,),2【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式因为2x 2y 2J2X 2y，即 2x y22所以x y2，当且仅当22y，即y时取等号.10设正实数x, y, z满足 x2 3xy 4y20 .则当一取得最大值时,z212-的最大值为

6、（）x yzC.【答案】【解析】2 c,2x 3xy 4y3xy4y2.xy所以$22z x 3xy 4y2厭31，当且仅当-y4yx即x 2y时取等号此时2y2,(y)I 丿 maxz1.22y故选B.11.若 a,bxy1 2)(1x y2y) 4(2y2且 ab 0 ,则下列不等式中，恒成立的是2 .2A. a b2abb /ab1C.- a2Tab【答案】D【解析】对于1，此时a2 b22ab 2，因此A不正确；对于此时22庙2,因此B不正确；对于C取a b2Tab2，因此C不正确；对于D , ab 0 ,2Jb a 2, D 正确.Va b12.若变量x, y满足约束条件2y0,0,

7、8,4,且z 5y x的最大值为a，最小值为b，贝U a b的值是A. 48B. 30C. 24D. 16【答案】C【解析】作出可行域，如图，则在A点取得最大值16，在B点取得最小值 8 ,则 a b 24，选 C.二.填空题:2y13.已知实数x,y满足2x3x20，则x09y的取值范围是【答案】4,135【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0) , (2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示，因为原点到直线2x2y 20的距离为彳,75所以(X2 y2)min又当(x,y)取点(2,3)时,x2 y2取得最大值13,QO故x y的取值范围是4 -,13.5Zlif4j-

8、2=014.已知函数f(x) 4xa-(x 0, ax0)在x 3时取得最小值，则 a【答案】36【解析】因为x 0, a0，f(x)4x a 2 Hxg 4a, X V X当且仅当4x-，即xxJa 3，解得 a 36.15.【2019天津理13】设x 0, y0, x 2y 5，贝U (x 1)(2y的最小值为【答案】4j3【解析】y 0, x 2y5,2y 12xy x 2y何1 2xy 6 Vxy由基本不等式，2 Jxy2 j/xy回 V 药413 (当且仅当2jxy时，即xy 3，且x 2y 5Jxyx 3时，即卩y 123时，等号成立)2故x 1芒Jxy的最小值为473.16.设

9、a + b = 2,b0, 则当a时,2|a|早取得最小值.【答案】【解析】12|a|a | a bb 4|a|a|b|a|ba4|a|11|当且仅当2,b4时取等号取得最小值时,三.解答题17.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】已知函数f(x) | x 2 |2x4|(1 )解不等式f (x) 3x 4 ；(2)若函数f(X)最小值为a ,且2m n a(m 0,n0),求一乙 丄的最小值.m+1 nx【解析】(1)当x2 时，3x 23x4，无解当2 x 2时,3x 4，得当x 2时，3x3x4，得 x 2所以不等式解集为(2) f(x) |x2|12|2x4

10、| |x 2|x2| |x 2|l(x 2)(x 2)|x 2|当且仅当2时取等2| 4当且仅当x 2时取等所以当x2时，f (x)最小值为4，即4,所以2m2所以二m 1 n 6112(m 1)n(勺n)6(52(m 1)号)当且仅当2(m且2m n 4即mm 1213所以亠1最小值为3m+1 n21,n2时取18. 2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】已知函数f x(1 )求不等式(2)若函数yf x图象的最低点坐标为p,q，正数a , b满足pa qb 2，求-的最小值.a b【答案】(1),1U5,5【解析】(1)当 xl时，

11、由 f (x) = 3x-14得 x - ；当-1 4得 x引，舍去;3当XW1时，由f (x)= -3x + 14得XW1,综合上述,原不等式的解集为,1u5,3x 1 x 1(2)由 f X x 31 x 1 得 f ( x) min = f ( 1 )= 2,3x 1 x 1故函数y = f (x)图象的最低点为(1, 2),4于是 a+ 2b= 2,-a1 1 上 1 a 2b 16 b 2 a b22/2 ,故a 1的最小值为19.【陕西师大附中2019-2020学年度第一学年高2020届期中考试高三年级(理科)】函数f x|x牛(I)当 a时,求不等式4的解集;(n)若对1成立,求

12、a的取值范围.【解析】：(I )当1时,f(x)2x 1, x 1,3,2 w x 1,2x 1, x 2,(3 分)由 f(X)4 ,解得5 .故f(x) 4的解集为252 . (5 分)(n)f (x)(xa) (x 2) a2 , (7 分)当且仅当(xa)(x 2)0,即时,取等号.(8 分)故 f (x)mina 2 .由题意可得a21，解得a V故a的取值范围是 ，3U1,.(10 分)20.设函数f(x)V(x212x k)2 2(x2 2x k) 3，其中k(1)求函数f (x)的定义域D (用区间表示);(2)讨论函数f(X)在D上的单调性;(3)若k6，求D上满足条件f (

13、x)f(1)的x的集合(用区间表示)【解析】(1)可知(X2 2x k)22(x22x k) 3 0 ,(x2 2x k) 3 (x2 2x k) 1x22x k3 或 x2 2x k 1 ,(x1)22 k ( 2 k 0)或(x 1)22 k (2 k 0),|x1| J 2 k 或 |x 1|k ,1k X 1k 或 X所以函数f(X)的定义域D为(,1 TTT) U ( 1 TT, 1421k,(2) f(X)22(x2 2x k)(2x 2)2j(x2 2x2(2 X 2)二石k)22( X2 2x k) 3(X2f3，7( X2 2x k)22(x2 2x k) 32x k 1)(

14、2x2)由 f (X)0 得(X2 2x k1)(2x 2)0，即(x 17k)(x 1 7ik)(x 1)0,结合定义域知72 k/2k ,所以函数f (x)的单调递增区间为(1,72k),同理递减区间为(1 /TT,1)，(3)由 f (X)f(1)得(X2 2xk)22( X2 2xk)(3k)22(3 k) 3 ,(X2 2x k)2(3 k)22(x2 2x k) (3k)(X222x 2k 5) (X2x 3)0，(x1 J 2k 4)( X 17 2k 4) (x 3)(x1)6, 1 ( 1, 1k),3 ( 12 k, 1),17 2k 41 J2 k ,结合函数f(X)的单

15、调性知f(X)f (1)的解集为(1 sr2k4, 1 JFT) U ( 17 2k,3)U (1, 17 2k) U(1 72 k,21 .已知函数f (x) xcosx sin x, x 0,才,(I)求证:f(x) 0 ；sin xb的最小值.(n)若a b在(0,)上恒成立，求a的最大值与x2【解析】：(I)由f(x) xcosx sinx得,f (X) cosx xsin x cosx因为在区间(0,)上f (x)2xsin x0，所以f (x)在区间0, 上单调递减.2从而 f (x) f (0)(n)当x 0时,Sn xa ”等价于sin x ax沁b ”等价于xsin x bx

16、0 ”.令 g(x) sinx cx，则 g(x)cosx0时，g(x) 0对任意x(0,)恒成立.21时，因为对任意x (0,), g (x) cosx2所以g(x)在区间0,上单调递减.2从而g(x) g(0)0对任意 x(0,2)恒成立.c 1时，存在唯一的Xo(0, 2)使得 g(X0)cosx0g(x)与g(x)在区间(0,)上的情况如下:2x(0,X0)X0(x。,？)g(x)+0一g(x)进一步，g(x) 0因为g(x)在区间0,x0上是增函数，所以 g(X0) g(0) 0 .对任意x (0,3)恒成立”当且仅当g(3) 1 -c 0,即02综上所述，当且仅当 c 一时，g(x) 0对任意x (0,)恒成立;2当且仅当c 1时，g(x) 0对任意x (0,)恒成立.2sin X2所以，若a b对任意x (0,)恒成立，则a最大值为 一，b的最小值为1.212个单位的碳水化合物，6个单位的22.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含蛋白质和6个单位的维生素 C; 一个单位的晚餐含 8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素 C 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上