长市普通高中高三质量监测（二）数学（理）试题带答案

1、长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科（试卷类型c）第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则a. b. c. d. 2. 设集合，则a. b. c. d. 3. 运行如图所示的程序框图，则输出的值为是否开始输出结束a. b. c. d. 4. 若实数且，则下列不等式恒成立的是a. b. c. d. 5. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为a. b. c. d. 6. 已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是 a.

2、b. c. d. 7. 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为a.b. c. d. 8. 设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为a. b. c. d. 9. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有 种.a. b. c. d. 10. 函数与的图象关于直线对称，则可能是a. b. c. d. 11. 已知函数满足，当时，当时，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是a. b. c. d. 12.过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为,则的最小值为a. b. c. d. 第卷（非选择题

3、，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知实数满足，则的最小值为_.14. 已知向量，则当时，的取值范围是_.15. 已知， 展开式的常数项为15，则_.16. 已知数列中，对任意的若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积.已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则 _.三、解答题（本大题包括6

4、小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分） 已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2) 已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角满足，且，求的面积.18. （本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认

5、为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；求的数学期望和方差.（，其中）19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面是菱形，平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，相交于，.（1）证明：为的中点；（2）若，且二面角的大小为，、的交点为，连接.求三棱锥外接球的体积.20. （本小题满分12分）椭圆的左右焦点分别为，,且离心率为,点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2) 设椭圆的左顶点为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点，连结

6、, 并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是,请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数在点处的切线与直线平行.（1）求实数的值及的极值；（2）若对任意，有，求实数的取值范围；请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于、两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若.（1）求证：；(2) 求证：四边形是平行四边形.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数）

7、，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线与曲线交于,两点，求的最大值和最小值.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.设函数.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2) 若不等式恒成立，求实数的取值范围.长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学(理科)参考答案及评分参考a、b卷客观题答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. c2. d3. c 4. a5. b6. c7. b8. a9. a 10. c 11. b12. d简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集

8、合的化简与交运算，属于基础题. 【试题解析】c 由题意可知，则，所以. 故选c.2. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】d复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选d.3. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识. 【试题解析】c根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选c.4. 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题. 【试题解析】a由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选a.5. 【命题意图】本题考查正态

9、分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识. 【试题解析】b 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选b.6. 【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求. 【试题解析】c该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选c.7. 【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.【试题解析】b由题意，不妨设，则公差，其中，因此，即当时，取得最大值. 故选b.8. 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算. 【试题解析】a由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定

10、值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选a.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键.【试题解析】a由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则. 故选a.10. 【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题. 【试题解析】c 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种

11、方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选c.11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质，是一道中档题. 【试题解析】b 由题可知，因此. 故选b.12. 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题. 【试题解析】d 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选d.c、d卷客观题答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. d2. c3

12、. a 4. c5. c6. b7. a8. b9. c 10. a 11. d12. b简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】d复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选d.2. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题. 【试题解析】c 由题意可知，则，所以. 故选c.3. 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基础题. 【试题解析】a由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选a.4. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编

13、，考查学生对函数图像的认识. 【试题解析】c根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选c.5. 【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求. 【试题解析】c该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选c.6. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识. 【试题解析】b 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此. 故选b.7. 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算. 【试题解析】a由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆

14、心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选a.8. 【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.【试题解析】b由题意，不妨设，则公差，其中，因此，即当时，取得最大值. 故选b.9. 【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题. 【试题解析】c 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选c.1

15、0. 【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键.【试题解析】a由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则. 故选a.11. 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题. 【试题解析】d 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选d.12. 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质，是一道中档题.

16、 【试题解析】b 由题可知，因此. 故选b.e、f卷客观题答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.d【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】d复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，所以. 故选d.2.c【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识. 【试题解析】c根据函数的图像与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选c.3. c【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题. 【试题解析】c 由题意可知，则，所以. 故选c.4. a【命题意图】本题考查程序流程图中循环结

17、构的认识，是一道基础题. 【试题解析】a由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 故选a.5. b【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前项的取值来确定项数，属于基础题.【试题解析】b由题意，不妨设，则公差，其中，因此，即当时，取得最大值. 故选b.6. c【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求. 【试题解析】c该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为. 故选c.7. b【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识. 【试题解析】b 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线

18、的对称轴，因此. 故选b. 8. a【命题意图】本题主要考查三角函数图像，学生对三角函数图像的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键.【试题解析】a由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则. 故选a.9. a【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算. 【试题解析】a由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，因此当取最小值时，的取值最小，由方程的图像可知的最小值为，故的最小值为1. 故选a.10. d【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题. 【试题解

19、析】d 由题可知函数在上的解析式为，又由可知的图像关于点对称，可将函数在上的大致图像呈现如图：根据的几何意义，轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，其中时，联立，并令，可求得. 因此直线的斜率的取值范围是. 故选d.11. c【命题意图】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题. 【试题解析】c 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法. 故选c.12. b【命题意图】本题主要考查双曲线

20、的定义与圆切线的性质，是一道中档题. 【试题解析】b 由题可知，因此. 故选b.主观题答案二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 1【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查. 【试题解析】根据方程组获得可行域如下图，令，可化为，因此，当直线过点时，取得最小值为1. 14. 【命题意图】平面向量的几何意义是热点问题，本题结合数形结合思想，考查平面向量的几何意义，同时也对余弦定理的考查，对学生的计算求解能力提出很高要求. 【试题解析】由题意，为，根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时

21、，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是. 15. 【命题意图】本题考查积分的运算，是一道中档的常规问题. 【试题解析】由的常数项为，可得，因此原式为. 16. 【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题. 【试题解析】由题意可知，又是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，又是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列，每12项的和循环一次，易求出，因此中有168组循环结构，故. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17.(本小题满分12分)【命题

22、意图】本小题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) (3分)因此的最小正周期为. 的单调递减区间为，即. (6分)(2) 由，又为锐角，则. 由正弦定理可得，则，由余弦定理可知，可求得，故. (12分)18(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力.【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意70

23、1080合计15050200，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6分)(2) 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中；. 的分布列为：012345由于，则；. (12分)19 (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：(1)连结.，即为的中位线，即为中点.(4分)(2) 以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，从而，则，又，则. 由题可知，即三棱锥外接球为以、为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为. 则三棱锥外接球的体积为. (12分)20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 已知椭圆的离心率为，不妨设，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，解得，则椭圆的方程为. (4分)(