数列的综合问题

1、10数列的综合问题突破点(一)数列求和1.公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法；2.倒序相加法与并项求和法：(1)倒序相加 法；(2)并项求和法:在一个数列的前力项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如&=(-l)fS) 类型，可采用两项合并求解.例如，5=1002-992+982-972+-+22-12= (1002-992) + (982-972) +- + g-l2) = (100+99) +(98+97)+(2+1) =5 050.3.裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(2)常见的裂项技巧：厂肃1_ 1n n+

2、V器厂=記_韵14.错位相减法)2/7-12力+1 8匕刀一1一2力+1丿考点一分组转化法求和1例 1已知数列 U), 满足 0=5, &=2%i+3i(/?a2,用NJ, bn=an-3n(nVD.(1)求数列M的通项公式；(2)求数列&的前力项和&解(1) Va3=2-i+3nl(/7eN4, 772), A-3/7=2(a/r-i-3/71),人=2方力三2) VZh = ai-3=20,沢 :普=2.Dn-是以2为首项，2为公比的等比数列.人=22i=2.丫+】7 (2)由(1)知 &=人+3”=2力+33 :.Sn= (2+22+-+2/3) + (3+32+-+3/3) =2+-一

3、-方法技巧 分组转化法求和的常见类型i!0(1) 若&=hs且人, 为等差或等比数列，可采用分组转化法求UJ的前项和.|仏，为奇数，|(2) 通项公式为&=乂加骊的数列，其中数列, (cj是等比数列咸等差数列，可采用分组转化法求和！cS9力为偶数-“-“i“-“-“-“J例2 (2016 高考)已知数列UJ的前”项和$=3/+8”，長等差数列，且&=仏+6卄o +1 卄】(1)求数列UJ的通项公式；(2)令= ；2 求数列仏的前项和九解由题意知，当心2时，&=$-t=6+5,当=1时，ai=5i = ll,满足上式，所以弘=6力+5设数列M的公差为d由門2十，17=25+3 么所以人=3力+1

4、.(2)由(1)知 6=6刀+63/?+3卄1=3S+1)2匸又7L=g+g+ + c“得 7；= 3X 2X22+3X23+- + (/?+1) X2M, 27L=3X 2X2+3X2+S+l) X2”V,两式作差，得-7；=3X2 X 22+23+244+2lri1-(n+l)X2,+T = -3z?*2fl+2,所以 To=3n 2十.方法技巧 aw aw aw aw aw 错位相城法求和的策略如果数列是辛差敷列.是等比数列.求數列&加的前力项和虬 可采用错便相號法，一敖是和式两边同乘以等比敛列的公比 然后作差求解.（2）在写与 y 的表达式时应特别注濛将两式“错项对齐”以便下一步准确写

5、出“$-i=2n+l22t 又 ai=5i=2112=2=21,也满足上式，所以数列UJ的通项公式为&=2”.则/h=3=2.由亦A, A成等比数列，得（2+202=2X（2+8/, 解得戶0（舍去）或戶2,所以数列的通项公式为bo=2n.由得時6=舟厂4一出，所以数列的时项和驶戋+麦+衣+必卄1 =1 一尹厂尹+: 一吊=1 一币=忑？突破点（二）数列的综合应用问題 MM 1等差.等比数列相结合的问题長髙考考查的重点，主要有：1综合考查等差数列与等比数列 1的定义、通项公式、前项和公式.等差比中项.等差比数列的性质；2重点考查基本量 即“知三求二”,解方程 组的计算以及灵活运用等差、等比数列

6、的性质解决问题.2数列与函数的特殊关系.决定了数列与函数交汇命題的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方 式有：1以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列 的通项公式或前刀项和；2根据数列是一种特殊的函数这一特点命题.考査利用函数的性质来研究数 列的单调性、最值等问题.3 数列与不等式的综合问题是高考考查的热点考查方式主要有三种：1判断数列问题中的一些不 等关系，如比较数列中的项的大小关系等.2以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的 參数的取值围等.3考查与数列问题有关的不等式的证明问题.考点一等差数列与等比数列的综合问题例1在等差数列UJ中

7、，加=30,硕=50.求数列扇的通项公式；（2）令乙=2一 10,证明: 数列人为等比数列；（3）求数列加处的前门项和九解设数列&的公差为d,则禺=】+(力一1)4由戲0=30上。=50,得方程组匕+19450,0112 y解得 一所以念=12+51)X2=2/2+10.(2)证明：由，得方尸2&10=2沖i=2=注24%所以=弓=4.所以UJ是首项为4,公比为4的等比数列.(3)由 n=nX4 得 7L=1X4+2X42+-+/jX4 47；=lX42+(力一1) xr+/?X4卄二 4 1451 X4 +4一，得一3監=4+4+4一刀X/J一力X4巴 所以監= 以丄9 十。.方法技巧 MM

8、 MW W aw MM MM MM MM MW W W W W W W W 等差数列.等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要 先求出首项和公差(公比)導，确定解隈的顺序.(2)注意解題细节：在等差数列与等比数列综合问題中，如果等比数列的公 比不能礎定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中笫一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节 对解题的形响也是巨大的.-i考点二数列与函数的综合问题例2设等差数列4的公差为d,点(弘 人)在函数f3=2的图象上(朋N*)(1) 证明：数列加为等比数

9、列；(2)若& = 1,函数fd)的图象在点Q,处的切线在x轴上的截距 为2一岛，求数列仗覘的前刀项和必解证明：由巳知，人=240.当时，警=2时i=2t所以数列血長首项为沪，公比为F的等比数列.(2) 函数f(x) =2在(az,易处的切线方程为y2az= (2azln 2) (l),它在x轴上的截距为金石薔. 由题意，詁刁=2一汁三，解得=2.所以d=& = 1,所以,=/?, bn=2则aD&=n 4 于是 5r=lX4+2X42+3X43+-+ (n-1) X+X,4$= 1X42+ 2 X 434+(77-1) X4+亦严.4廿1 41 n 4fl+14因此，$-4$ = 4 + 4

10、2+ + 4”一/74 = y 4/?i= 所以 $ =3力一 1 严+49#方法技巧 MM MW MM MM MM MM MM MW MM MW MM MW MM MW MM i数列与函数问题的解题技巧:j (1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：巳知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究 数列问题；巳知数列条件，解决函数问題，解决此类问題一般要充分利用数列的田、公式、求和方法对式子化简变形.(2)解題时要注意数列与函数的在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问題的求解过程中往往会遇到递推数列.因此掌 握递推数列的常用解法有助于该类问題的解决.:设Ce=*S8）S+

11、l）,则当77=3或4时，G取得最小值，为一10,所以 泾一 10.即实数&的取值围为（一, -10.方法技巧 MH* MW MMS MMS 数列与不等式相结合问题的处理方法（I）如果是证明題要灵活选择不等式的证明方法如比较法、煤合法、分析法.放燼法等.（2）如果是解不等式问题要便用不等式的各种不同解 法，如列表法、因式分解法、穿根法等.总之解决这类问建把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了. W W MM 全国卷5年真题集中演练1. （2012 新课标全国卷）数列UJ满足a+（1）乞=2力一 1,则%的前60项和为（）A. 3 690B. 3 660C 1 845D 1 830解析：

12、选D不妨令31 = 1,根据题意，得dS = 2,念=35 = 37=1,越=6, 36=10，所以当刀 为奇数时，a”=l,当力为偶数时构成以戲=2为首项，以4为公差的等差数列.所以前60项和为&=30,30 X 30-1+2X30+X4=l 830.2. （2015 新课标全国卷1）$为数列&的前力项和.巳知Q0, +2弘=4+3.（1）求UJ的通项公式；（2）设加=丄，求数列瓦的前力项和.解：由 +2&=4$+3,可知 +i+2a+】=4&H+3.，得必】垃+2（亦1&） =4亦1,即 2（a“+i+a） =V+i= （a+】+a”）（a小一a）由 a”0,得 a+ia=2.又 +2ai

13、=4a】+3,解得 ai= 1（舍去）或 3=3.所以 a=2m+l. 由 an=2n+l 可知 b产碍 f=刀+1_2”+3）则 Tn=3 2n+3 3. （2014 新课标全国卷H）已如数列&满足戲=1, &+】=3&+1.证明&+号是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：三+*+易解：由3=3&+1得却+*=3（&+另.又越+捋，所以&+*是首项为|，公比为3的等比 数列.所以弘+*=手，即&=号证明：由知=7台 因为当 心 时，3TN2X3I,所以右將7，4. （2013新课标全国卷I）已知等差数列UJ的前n项和$满足$=0, &=5.（1）求UJ的通项公式；（2）求数列上一的前项和.

14、&L1 血+1Jn n13fli + 3 0,解得0 = 1, d解：设的公差为4则Sw+由已知可得仁+叱_5,故aJ的通项公式为&=2n. 页脚.从而数列二一的前n项和为lCTb)+11.9(2017 皖西七校联考)在数列4中,&=勺占若UJ的前刀项和$=3216?(2)由(1)知茶前=2(2/7-3_2/7-P 1-2/7*检验商考能力一. 选择题A. 3B. 4C. 5D. 6解析：选D由&=导=1 一寺则歼響二“一卜另，将各选项中的值代入验证得77=6.那么$00的值为(2.在数列&中，血=1, az=2, &+2&=1+(1),A. 2 500 B. 2 600 C. 2 700 D

15、. 2 800解析：选B当刀为奇数时，an-2a)=0,所以a)=l当刀为偶数时.*2=2,所以&=m故1an刀为奇数为偶数于長 5100=50 42 + 1002600.3.已知数列&的前项和为弘ai = l,当n2时，&+2必一】=几 则$。灯的值为()A. 2 017B. 2 016C. 1 009 D 1 007解析：选C因为&+2$一1=力，71M2,所以a+2$=刀+1, &,两式相减得&+】+&=1, M2. 又 3l = lf 所以 $ 017 = 81+ (金+ 念)+ (灵 016 +金(H7)=1 009 故选 C5 14设$是公差不为0的等差数列&的前力项和成等比数列，

16、且念=一则数列 2卄1 &的前力项和監=()A 一2/?+1 K 2n+l C，一2m+l D，2/2+15i5i解析：选C a】 = 0或31 = -.当ai = 时，公差戶0不符合题意，舍去；当ai = 时，公差d =笃创=_1,所以 &=_+(力一 1)x (l) = m+*=*(2m1),故选 C.二、填空题5. 巳知数列&满足却=*+匸且0=*,则该数列的前2 016项的和等于.解析：因为又& + 】= * +,所以32=1 ,从而& = *，型=1，即得& =7 n-2k 1 心 ，故数列的前2 016项的和等于$。】6=1 008X(l+*)=l 512.答案：1 512,b n

17、=2k AEN* ,6. 对于数列&,定义数列&+L&为数列的差数列”，若0=2, &的“差数列”的通项公式为2S则数列UJ的前力项和$=2 2劝解析：VftH-i：&= （&/-】）+ （亦 17-2）H （a?Si） +fli=2/7l+2fl2+-+22+2+2=-r-+2=2fl-2+2=2n.:S尸、=2卄】_2答案：2卄】一2 1_2 12三、解答題7. 数列&满足a】=l,亦】=2弘SEN*）,，为其前力项和.数列山为等差数列，且满足h=a,爲=$.求数列&,的通项公式；设数列的前“项和为監,证明承喝解：（1）由题意知，&長首项为1,公比为2的等比数列，&=&2戸=2$=2 1.设等差数列加的公差为d,则5=a】 = l, A=l+3d=7,：42,则乙=1+5-1）X2=277-1.U 22z? 12力+1丿* 7；=并一詁）0, 数列力是一个递增数列