二面角的求法

1、.,1,1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法; 4、掌握二面角的射影面积法; 5、掌握二面角的向量法。,学习目标:,.,2,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,二面角的定义:,复 习:,2、二面角的表示方法,二面角AB ,二面角 l ,二面角CAB D,二面角CAB E,1、定义,.,3,二面角的平面角:,二面角的平面角必须满足：,二面角的平面角的范围: 0180,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所

2、成的角叫做二面角的平面角。,注意:,(与顶点位置无关),APB= A1P1B1,一、几何法：,1、定义法:,以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则AOB就是此二面角的平面角。,在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O，连结AO，则AOB就是二面角的平面角。,3、垂面法:,过二面角内一点A作AB 于B，作AC 于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角。,2、三垂线法:,P,A,B,C,则BDE就是此二面角的平面角。,ABC为正， BE=,在RtPAC中，E为AC中点， 则DE= 在Rt

3、DEB中,tan BDE=, BDE=arctan,例1:已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的大小。,三垂线法:,几点说明：,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。,以上三种方法

4、作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。,射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。,练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,E,F,练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。,E,F,练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。,练习3：三棱锥P-ABC中，PA 平

5、面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大小； （2）求二面角A-PC-B的大小。,.,11,1、方向向量法:,二、向量法：,将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内垂直于二面角的棱且指向该面方向的向量）所成的角。,.,12,x,y,z,解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，,不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则,B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）, A1OBD，C1OBD, 即为二面角A1-BDC1 的平面角。,二面角A1BDC1的大小为,.,13,求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。,2、平面法向量法:,.,14,2、平面法向量法:,求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。,m,n,.,15,例4:在底面是直角梯形的四棱锥SABCD 中，ABC=90，SA面ABCD， AD= SA=AB=BC=1， 求面SCD与面SBA所成的二面角的大小.,解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。,.,16,因为二面角为锐角 。,.,17,x,y,z,.,18,