55.将军饮马原理

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(17-55):将军饮马原理(473) 1211 将军饮马原理l 母题(17-55):古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:如图,将军从a地出发到河边饮马,然后再到b地军营视察,显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答,这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题,解析:如图,先作a关于l的对称点a,连接ab与l相交于p点,则ap+pb就最小;那么这样作出的a

2、p+pb是否真的最小呢？要证明它只需要在l上任取一点p,证明ap+paap+pb就行了,这点好证明:事实上因为a、a关于l对称.有ap=ap、ap=ap,又由公理:三角形的两边之和大于第三边ap+pb=ap+pbab=ap+pb=ap+pb.点评:将军饮马问题虽然简单,但确体现了对称思想和“利用对称,化折为直”的转化方法.将军饮马问题是构造高考命题的出发点.将军饮马问题可拓展到求pa-pb的最大值,解决此问题与将军饮马问题的区别,也是一种“对称”,即分别利用“三角形两边之差小于第三边”、“三角形两边之和大于第三边”.对将军饮马问题的条件进行不同形式的包装是高考命题者构造子题的常用手法. 子题(

3、1):(2013年重庆高考试题)已知圆c1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆c2:(x-3)2+(y-4)2=9,m、n分别是圆c1、c2上的动点,p为x轴上的动点,则|pm|+|pn|的最小值为( )(a)5-4 (b)-1 (c)6-2 (d)解析:由|pm|+|pn|=|pm|+1+|pn|+3-4=|pc1|+|pc1|-4,作c1关于x轴的对称点a,则|pc1|=|pa|pm|+|pn|=|pa|+|pc1|-4|ac2|-4=5-4.故选(a). 注:本题把将军饮马问题中的两点放置于两圆上,给出了将军饮马问题的一个简单变式. 子题(2):(2009年四川高考试题)己知直线l1:4

4、x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) (a)2 (b)3 (c) (d)解析:如图,因直线l2:x=-1恰是抛物线y2=4x的准线,所以,动点p到直线l2的 p距离等于点p到抛物线y2=4x的焦点f(1,0)的距离,因此,动点p到直线l1和直线l2 o f x的距离之和的最小值是焦点f(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离=2,故选(a). l1 l2 注:本题利用抛物线的性质,把点p到直线l2的距离转化为点p到抛物线y2=4x的焦点f(1,0)的的距离,体现了将军饮马问题中“化曲为直”的思想. 子题(3):(2

5、006年江西高考试题)p为双曲线的右支上一点,m、n分别是圆(x+5)2+y2=4和圆(x-5)2+y2=1上的点,则|pm|-|pn|的最大值为( ) (a)6 (b)7 (c)8 (d)9解析:在双曲线中,a=3,b=4c=5.故圆(x+5)2+y2=4和圆(x-5)2+y2=1的圆心恰是双曲线的左、右焦点,如图:则|pm|-|pn|pf1|+2-|pn|pf1|+2-(|pf2|-1)=|pf1|-|pf2|+3=2a+3=9,故|pm|-|pn|的最大值为9.故选(d). 注:利用双曲线的性质,巧妙包装了将军饮马问题. 子题系列: 1212 母题(17-55):将军饮马原理(473)

6、1.(1986年广东高考试题)若点a的坐标为(3,2),f为抛物线y2=2x的焦点,点p在该抛物线上移动,为使得|pa|+|pf|取得最小值,点p的坐标应为( ) (a)(0,0) (b)(1,1) (c)(2,2) (d)(,1)2.(2008年宁夏、海南高考试题)己知点p在抛物线y2=4x上,那么点p到点q(2,-1)的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点p的坐标为( ) (a)(,-1) (b)(,1) (c)(1,2) (d)(1,-2)3.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)己知定点a(4,),若动点p在抛物线y2=4x上,且点p在y轴上的射影为点m,则|pa|-|p

7、m|的最大值是 .4.(2009年辽宁高考试题)己知f是双曲线=1的左焦点,a(1,4),p是双曲线右支上的动点,则|pf|+|pa|的最小值为 .5.(2011年广东高考试题)设圆c与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.()求圆c的圆心轨迹l的方程;()已知点m(,),f(,0),且p为l上动点,求|mp|-|fp|的最大值及此时p的坐标.6.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知a(4,0),b(2,2)是椭圆+=1内的点,m是椭圆上的动点,则|ma|+|mb|的最小值是 ,最大值是 .7.(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(

8、x)=-的最大值是 .8.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)己知实数x,y满足3x2+4y2=48,则+的最大值为 . 子题详解:1.解:设p到准线的距离为d,则|pf|=d|pa|+|pf|=|pa|+d3+,当且仅当p在直线y=2上时,等号成立.故选(c).2.解:设p到准线的距离为d,焦点为f(1,0),则|pf|=d|pq|+|pf|=|pa|+d2+1=3,当且仅当p在直线y=-1上时,等号成立.故选(a).3.解:联结pm,并延长交抛物线的准线于点n.由抛物线的焦点为f(1,0)|pm|=|pn|-|mn|=|pf|-1|pa|-|pm|=(|pa|-|pf|)+1|af|

9、+1=5.4.解:设右焦点为e,则|pf|-|pe|=4|pf|+|pa|=|pe|+|pa|+4|ae|+4=5+4=9.5.解:()设圆c的圆心为c,f1(-,0),f2(,0),则|cf1|-|cf2|=4轨迹l:-y2=1;()由|mp|-|fp|mf|=2,此时点p(,-).6.解:在椭圆中,a=5,b=3c=4.设c(-4,0),则c,a恰是椭圆的左、右焦点,由|ma|+|mc|=10|ma|+|mb|=10-(|mc|-|mb|)10-|bc|=10-2;|ma|+|mb|=10+(|mb|-|mc|)10+|bc|=10+2|ma|+|mb|的最小值是10-2,最大值是10+2.7.解:由f(x)=-表示点(x,x2)与点a(3,2)的距离及b(0,1)距离差的最大值;由于此二点在抛物线两侧,故过此二点的直线必与抛物线交于两点;对于抛物线上任意一点,到此二点距离之差大于