《双曲线》典型例题12例(含标准答案)x

1、双曲线典型例题12例典型例题一2 2例1讨论一xy 1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征.25-k 9-k分析：由于k=9，k=25，贝U k的取值范围为 k 9，9 k 25，k 25， 分别进行讨论.解：(1 )当k v9时，25-k0,9-k 0，所给方程表示椭圆，此时a 2(3)与双曲线話亡 解：(1 )设双曲线方程为=25-k , b2=9-k，c2=a2-b2=16，这些椭圆有共同的焦点(一4， 0)，(4，0).(2 )当9 k 25时，25-k 0, 9*0,所给方程表示双曲线，此时，a2 =25 -k , b2 =9 -k , c a2 b2 =16，这些双曲线也有共同的焦点

2、(一4， 0),)(4, 0).(3) k : 25 , k=9, k=25时，所给方程没有轨迹.说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取 一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感.典型例题二例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.过点十另，*詈，且焦点在坐标轴上(2) c = J6，经过点(5, 2),焦点在x轴上.-1有相同焦点，且经过点2 2L 1m nVP9 Q2两点在双曲线上,+ =1Cm 16n解得丿 空壬1m = T6咛2所求双曲线方程为 =1169说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.(2)焦点在x轴上，c6 ,2

3、设所求双曲线方程为：- 双曲线经过点（一5 , 2）,2二 1 （其中 0 ：:： 6）6 254,1九 6 & =5或=30 （舍去）2所求双曲线方程是-y25-1说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.2 2（3）设所求双曲线方程为： =10：: 1616九 4 + Z184,14双曲线过点3.2,2，二16-Z =4或，二-14 （舍）2 2所求双曲线方程为-y 112 8说明：（1 ）注意到了与双曲线2 2x y2 壬=1有公共焦点的双曲线系方程为1641后，便有了以上巧妙的设法.16 _4-（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重

4、的一个重要方面.典型例题三2 2例3已知双曲线1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左916支上且 PFJPF2 =32，求NF1PF2的大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.解：点P在双曲线的左支上 PR - PF? =6 PF+|PF22_2PFPF2 =362 - PF1 + PF2 =100|市22 =4c2 =4（a2 +b12 ）=100冊2=90说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.(2)题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.典型

5、例题四2例4已知Fi、F2是双曲线-y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足 4 F1PF2 =90，求 F1PF2 的面积.分析：利用双曲线的定义及AF1PF2中的勾股定理可求.IF1PF2的面积.2解：VP为双曲线-y1上的一个点且F1、F2为焦点.4 PFj |PF2( 2a =4, F1F2 =2c = 2.5RPF2 =902 2 2在RUPF1F2 中，PF+|PF2| =| F1F2 =20艸 PR _ PF2 2 =斤 2 +|pf2 2PFjPF2 =1620 -2PF1 PF2 =16 PF1 PF21 S1pf2 =2 PF1 PF2 =1说明：双曲线定义的应用在解题中

6、起了关键性的作用.典型例题五例5已知两点F1 -5,0、F2 5,0 ,求与它们的距离差的绝对值是 6的点的轨迹.分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹.解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线.甘5，a =3.2222小2,2b 二c -a 二5 -3 二 4 二 162 2所求方程-丄-1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.916说明：(1)若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算.(2) 如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解.典型例题六1例6 在 ABC中，BC=2，且sin C-si nBsi nA，求点

7、A的轨迹.2分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题， 如何建系呢？解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系, 则 B -1,0，C 1,0 . 1设A x，y，由si nC-si nBsi nA及正弦定理可得：1AB AC = BC =12BC =2点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：2 2x y22 -1 a 0， b 0a b2a =1，2c = 2b2 二 c23 一 4-2a所求双曲线方程为4x2 -虫 13TAB - AC =1 01-x - _2点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心

8、M的轨迹方程：(1) 与。C:(x+2$+y2=2 内切，且过点 A(2,0)(2) 与O C1: x2 y-12 =1 和O C2: x_ y 1 2 =4都外切.(3)与。Ci： x 3 2 y9外切，且与。C2：x-32 y2 =1 内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键 线段，即半径与圆心距离.如果相切的。 CiC2的半径为ri、a且ri行2，则 当它们外切时，OQ2 =*+2 ;当它们内切时，|OQ2| = ri-d .解题中要注意灵 活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M的半径为r(1 )v Ci与。M内切，点A在。C外 MCMA - MC

9、=点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有:V2o ,2 2 2 7a ， c=2， b二c-a2 , 2 2双曲线方程为2x2 -丄=1 x 一 - . 27(2 )v m 与。CiC2 都外切 MCi =r +i， MC2I =r +2，MC2 MCi =i点M的轨迹是以C2、Ci为焦点的双曲线的上支，且有:a 冷，c=i, 2 2 2b c agi所求的双曲线的方程为:2 4x24y -T且与。C2内切(3 )V M 与。Ci 外切, MG=r+3， MC2=r-i， MG_MC2=4点M的轨迹是以Ci、C2为焦点的双曲线的右支，且有:2 2 2a=2， c=3， b =c - a

10、 =5所求双曲线方程为:2 2乞-厶=ix_245说明：(1) “定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重 要的方法.(2 )巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质 量.(3)通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解 决问题是我们无休止的追求目标.典型例题八3例8 在周长为48的直角三角形MPN中， MPN =90 , tan. PMN =-,4 求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程.分析：首先应建立适当的坐标系.由于 M、N为焦点，所以如图建立直角 坐标系，可知双曲线方程为标准方程.由双曲线定义可知|PM| - PN| =2a，MN =

11、2c，所以利用条件确定 也MPN的边长是关键.3解：v MPN的周长为48，且tan. PMN二，4设 PN|=3k， PM| = 4k，贝U MN|=5k .由 3k 4k 5k =48，得 k=4 . PN =12， PM| =16， MN| =20 .以MN所在直线为x轴，以 MN的中点为原点建立直角坐标系，设所求双2 2曲线方程为务-y2 = 1 (a 0, b 0).a b由 PM - PN =4，得 2a =4，a =2，a =4 .由 MN| =20，得2c = 20，c=10 .2 2由b2二c2 -a2 =96，得所求双曲线方程为 -1 .496说明：坐标系的选取不同，则又曲

12、线的方程不同，但双曲线的形状不会变.解 题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷.典型例题九2 2例9 P是双曲线 1上一点，Fi、F2是双曲线的两个焦点，且 6436PR =17 ,求PF?的值.分析：利用双曲线的定义求解.2 2解:在双曲线-1 中，a=8 , b=6 , 故 c=10 .6436由P是双曲线上一点，得 PF1 |PF16. PF2| =1 或 PF2| =33 .又 PF2 3ca=2，得 PF2=33.说明：本题容易忽视|PF2|兰C-a这一条件，而得出错误的结论|PF2|=1或PF2 =33.典型例题十2222例10 若椭圆=1 (m n 0)和双曲线=1

13、 (s,t - 0)有相同的 mns t焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1 PF2的值是().1 22/ 厂A. m-s B. -(m-s)C. m - s D. m- .s2分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到PF1和PF2的关系式，再变形得结果.解：因为P在椭圆上，所以PF+|PF2|=2jm .又P在双曲线上，所以PR - PF? =2 s .两式平方相减，得 4PF|PF2 =4(m-s)，故 PR PF?二 m - s .选(A).说明：(1)本题的方法是根据定义找 PFJ与PF2I的关系.(2)注意方程的形式，m， s 是 a2，

14、 n，t是 b2 .典型例题十一例11若一个动点P(x, y)到两个定点A(-1,0)、A1 (1,0)的距离之差的绝对值为定值a (a -0)，讨论点P的轨迹.分析：本题的关键在于讨论a 因AA|=2，讨论的依据是以0和2为分界 点，应讨论以下四种情况：a=0，a (0,2)， a=2， a 2 .解：|AA|=2 .(1)当a=0时，轨迹是线段AAi的垂直平分线，即y轴，方程为x=0 .22当0 a 2时，轨迹是以A、A为焦点的双曲线，其方程为 笃-一y 2=1.aa1(3) 当a=2时，轨迹是两条射线y=0(x1)或y=0(x -1) .44当a 2时无轨迹.说明：(1) 本题容易出现的

15、失误是对参变量a的取值范围划分不准确，而造成讨论不 全面.(2) 轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线.典型例题十二例12 如图，圆x2 y2 =4与y轴的两个交点分别为A、B，以A、B为焦 点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在 y轴左方的交点分别为C、D，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程.分析：求双曲线的方程，即需确定a、b的值，而2c =4，又ca2 b2，所 以只需确定其中的一个量.由双曲线定义| AC - BC =2a，又也BCA为直角三角 形，故只需在梯形ABCD的周长最大时，确定|BC的值即可.2 2解:设双曲线的方程为 % -笃=1 (a 0 ,b 0)，C(x, y)(x ： 0，y 0)，a bBC =t(0 vt ：2血).连结 AC，贝1 ACB 二 90 .作CE丄AB于E，则有BC| = BE AB .2t2t =(2 -