人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)

1、z=a+bi（a,br）纯虚数（a=0）虚数(b0)精品文档用心整理人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1理解复数的有关概念：虚数单位i、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。2理解复数相等的充要条件。3.理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。4.会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。5.会进行复数乘法和除法运算。【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i叫做虚数单位，它的平方等于-1，即i2=-1。要点诠释：i是1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i；i可与实数进

2、行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。2.复数的概念形如a+bi（a,br）的数叫复数，记作：z=a+bi（a,br）；其中：a叫复数的实部，b叫复数的虚部，i是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母c表示。要点诠释：复数定义中，a,br容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z=a+bi（a,br）若b=0,则a+bi为实数，若b0,则a+bi为虚数，若a=0且b0，则a+bi为纯虚数。分类如下：实数(b=0)非纯虚数（a0）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系nzqr）c（其中n为自然数

3、集，z为整数集，q为有理数集，r为实数集，c为复数集。知识点二：复数相等的充要条件.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：a=c如果a,b,c,dr，那么a+bi=c+dib=d特别地：a+bi=0a=b=0.要点诠释：.一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bic+di（a，b，c，dr）.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.复数相等的充要

4、条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法，简称为“复数问题实数化”知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设z=a+bi，z=c+di（a,b,c,dr），我们规定：12z+z=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i12z-z=(c-a)+(d-b)i21要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。2.复数的加法运算律:交换律：z1+z2=z2+z1结合

5、律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)知识点四、复数的乘除运算资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理1共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数z的共轭复数为z。2乘法运算法则：设z=a+bi，z=c+di（a,b,c,dr），我们规定：12zz=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i12z1=z2a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbc-ad=+ic+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2要点诠释：1.两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把

6、i2换成1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。3乘法运算律：(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3知识点五、复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数z=a+bi（a,br）可用点z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.复数z=a+bi复平面内的点z(a,b)要点

7、诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即应这是复数的一种几何意义。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。复数z=a+bi一一对平面向量oz设复平面内的点z(a,b)表示复数z=a+bi（a,br），

8、向量oz由点z(a,b)唯一确定；反过来，点z(a,b)也可以由向量oz唯一确定。复数集c和复平面内的向量oz所成的集合是一一对应的，即应这是复数的另一种几何意义。4复数加、减法的几何意义：如果复数z、z分别对应于向量op、op，那么以op、op为两边作平行四边形opsp，对角线12121212os表示的向量os就是z+z的和所对应的向量.对角线pp表示的向量pp就是两个复数的差z-z1221211所对应的向量.设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为oz1、oz2，即oz1、oz的坐标形式为oz=(a，b)，oz=(c，d)以oz、oz为邻边作平行四边21212形oz1

9、zz2，则对角线oz对应的向量是oz，2由于oz=oz+oz=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以oz和oz1212的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z1z2=(ac)+(bd)i，而向量z2z1=oz1-oz2=(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以oz和oz12的差就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数作为工具运用于几何之中。资料来源于网络仅供免费交流

10、使用3-m1m0，m=-1.m2且m0（2）要使z是纯虚数，m2-2m-2=1则需m=3，所以m=3时，z是纯虚数m2+3m+20类型二、复数相等例3.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x,yr，求x与y.【思路点拨】因xr，y是纯虚数，所以可设y=bi（br且b0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.2x-1=y,5【解析】根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=42【总结升华】两复数a+bi与c+di（a，b，c，dr）相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等式.即两个方程组，通过解方程组求出x与y举一反三：【变式1】已知x2y2+xyi=7

11、+12i，求x+yi的值（x，yr）xy=12y=4y=-3x2-y2=7x=4【解析】由题意知，解得或x=-4所以x+yi的值为4+3i或43i【数系的扩充和复数的概念401749例题2】【变式2】x,yr，复数(3x+2y)+5xi与复数(y-2)i+18相等，求x,y3x+2y=18x=-2【答案】(y-2)i+18=18-(y-2)i，所以，解得.5x=2-yy=12类型三、复数的加减运算例4.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)（2）(12i)(23i)+(34i)(45i)+(19992000i)(20002001i)【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+

12、4i)(5-2-3)+(-6-1-4)i=11i（2）解法一：原式=(12+34+19992000)+(2+34+5+2000+2001)i=1000+1000i。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理解法二：(12i)(23i)=1+i，(34i)(45i)=1+i，(19992000i)(20002001i)=1+i。将上列1000个式子累加，得原式=1000(1+i)=1000+1000i。【总结升华】复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。举一反三：【变

13、式】(1)设z1=3+4i，z2=2i，求z1+z2,(2)已知z1=(3x+y)+(y4x)i，z2=(4y2x)(5x+3y)i（x，yr），求z1z2，【答案】(1)z1+z2=(3+4i)+(21)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i(2)z1z1=(3x+y)+(y4x)i(4y2x)(5x+3y)i=(3x+y)(4y2x)+(y4x)+(5x+3y)i=(5x3y)+(x+4y)i，类型四、复数的乘除运算例5计算：(1)(1i)2；(2)(12i)(34i)(12i)【思路点拨】第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺

14、序计算，也可以结合运算律来计算【解析】(1)解法一：(1i)2(1i)(1i)1iii22i；解法二：(1i)212ii22i.(2)解法一：(12i)(34i)(12i)(34i6i8i2)(12i)(112i)(12i)(114)(222)i1520i；解法二：(12i)(34i)(12i)(12i)(12i)(34i)5(34i)1520i.【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用特别要提醒其中(2i)4i8，而不是8.举一反三：【变式】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】bz=i(1+2i)=i

15、+2i2=2+i，复数z所对应的点为（2，1），故选b例6.计算(1+2i)(3-4i)【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意i2=-1，不能出错。【解析】(1+2i)(3-4i)=1+2i3-4i资料来源于网络仅供免费交流使用=(1+2i)(3+4i)精品文档用心整理3-8+6i+4i-5+10i12=-+i(3-4i)(3+4i)32+422555【总结升华】1先写成分式形式2然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)3化简成代数形式就得结果举一反三：【变式1】复数3-i1-i等于（）a1+2ib12ic2+id2i【解析】3)3i3-i(-i+(1i+-22i+=1

16、-i(1-i)(1+i)1-i2242i=2+i，故选c1【变式2】计算：（1）(i-)3（2）i1+3i3-i1【答案】（1）(i-)3=(i+i-1i)3=(2i)3=8i3=-8i.3-i=（2）1+3i1+3i-i(1+3i)=1-i=i，类型五.复数代数形式的四则运算例7.计算下列各式：（1）(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i(i-2)(i-1)；（2）。(1+i)(i-1)+i【解析】（1）(1-4i)(1+i)+2+4i(1+4)+(-4+1)i+2+4i7+i(7+i)(3-4i)=3+4i3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)=(21+4)+(3-28)i（2）(i-

17、2)(i-1)=(-2-3)+(6-1)i25-25i=1-i。2525(2-1)+(-1-2)i1-3i(1-3i)(-2-i)=(1+i)(i-1)+i(-1-1)+(-1+1)i+i-2+i(-2+i)(-2-i)-5+5i=-1+i。55【总结升华】题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算乘除，最后算加减举一反三：【变式1】计算：（1）(1+2i)(3-4i)(2-i)资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（2）ii2i3i100(1+i)3-(1-i)3（3）；(1+i)2-(1-i)2【答案】（1）(1+2i)(3-4i)(2-i)=(11

18、+2i)(2-i)=24-7i（2）ii2i3i100=i1+2+100=i5050=(i4)1262i2=i2=-1(1+i)3-(1-i)3(1+i)2(1+i)-(1-i)2(1-i)2i(1+i)+2i(1-i)2i2=（3）=1(1+i)2-(1-i)22i-(-2i)4i4i【变式2】计算：1+i61-i+2+3i3-2i；2【答案】方法一：(1+i)26原式=(2+3i)(3+2i)6+2i+3i-6+=i6+=-1+i。(3)2+(2)25原式+(3-2i)i方法二（技巧解法）：(1+i)26(2+3i)i2(2+3i)i=i6+=-1+i。2+3i类型六、复数的几何意义例8.

19、当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1)为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。【思路点拨】根据点z的位置确定复数z实部与虚部取值情况.lg(m2-2m-2)=0【解析】（1）若z为纯虚数，则,解得m=3m2+3m+20lg(m2-2m-2)0（2）若z为实数，则,解得m=-1或m=-2m2+3m+2=0lg(m2-2m-2)0（3）若z的对应点在第二象限，则,解得-1m1-3或1+3m0即（1）m=3时，z为纯虚数；（2）m=-1或m=-2时，z为实数；（3）-1m1-3或1+3m3时，z的对应点在第二象限内。.【总结升华】复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征举一反三：【变式1】在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（）资