函数图象与性质总结

1、函数的图像和性质专题第1讲 函数的基本性质总结（1） 、函数单调性1、函数单调性的定义（1）、设函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数。区间d称为y=f(x)的单调增区间 （2）、如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间d称为y=f(x)的单调减区间.注意：（1） 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2） 必须是对于区间d内的任意两个自变量x1，x2；

2、当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 。2、 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法(1) 定义法：1 任取x1，x2d，且x1x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性）(2) 图象法(从图象上看升降)_(3) 要熟悉一次、二次、反比例、对勾函数的单调性，特别要注意型函数的图象和单调

3、性在解题中的运用：增区间为，减区间为(4) 复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=fg(x)增减减增例、已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_（答：）；注意：求单调区间时，一是勿忘定义域,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”,三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示例、若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）（二）、函数的奇偶性1、函数的奇偶性（1）、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那

4、么f(x)就叫做偶函数（2）、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数注意：（1） 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。（2）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称2、确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：（1）定义法：利用定义判断函数奇偶性的格

5、式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；： 确定f(x)与f(x)的关系；： 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数例、判断函数的奇偶性_（答：奇函数）。（2） 、利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）；（3） 、图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=f(x

6、)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .3、函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若为偶函数，则.例、定义在r上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_.（答：）若奇函数定义域中含有0，则必有.例、若为奇函数，则实数_（答：1）.（3） 、函数最大（小）值求函数最大值最小值的方法：1 、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2、利用图象求函数的最大（小）值3 、利用函数单调性的判断函数的最大（

7、小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（四）、常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的;函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的;函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的;函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的;函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的;函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.（五）、函数的对称性满足条件的函数的图象关

8、于直线对称。点关于轴的对称点为；函数与关于轴对称；点关于轴的对称点为；函数与关于轴对称；点关于原点的对称点为；函数与关于原点对称；的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。例、作出函数及的图象.三 典型例题例1、奇函数满足：在内单调递增；则不等式的解集为： .例2、函数y=的递减区间是_.答案：2，+解析：y=()t单调递减，t=x2-4x+5在2，+)上递增，递减区间为2，+).例3、判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；解：（1）由，得定义域为，关于原

9、点不对称，为非奇非偶函数（2）由得定义域为， 为偶函数例4（2007海南、宁夏）设函数为奇函数，则解析:f(x)=, f (x)= 又f(x)为奇函数,f (x)=f (x).=. a=1.例5（2007黄冈中学月考）已知函数，求+的值解：由得函数的定义域是又成立，函数是奇函数+=0 +=0+ =0例6、为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是（ ）a. 沿轴向右平移个单位 b.沿轴向右平移个单位 c.沿轴向左平移个单位 d.沿轴向左平移个单位第2讲函数的图象与性质1(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为ayx1 byx3 cy dyx|x|解析利用排除法求解a选

10、项中的函数为非奇非偶函数b、c、d选项中的函数均为奇函数，但b、c选项中的函数不为增函数，故选d.2(2012山东)函数y的图象大致为解析利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解yf(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项a；当x从正方向趋近0时，yf(x)趋近，排除选项b；当x趋近时，yf(x)趋近0，排除选项c.故选择选项d.高频考点突破考点一：函数及其表示【例1】(1)(2012衡水模拟)函数y 的定义域为a(0,8b(2,8c(2,8d8，)(2)(2012石家庄二模)已知函数f(x)则f(f(1)f的值是a7 b2 c5 d3审题导引(1)根据函数解析式

11、的结构特征列出不等式组并解之；(2)根据自变量的范围代入解析式求解规范解答(1)2x8，函数的定义域为(2,8(2)f(1)log210，log30，f(f(1)ff(0)190117.答案(1)b(2)a【规律总结】1求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域a，b，其复合函数f(g(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义2求f(g(x)类型的函数值应遵循先内后外的原则；而对于分

12、段函数的求值、图象、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性【变式训练】1已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)f(x)的定义域是_解析要使函数g(x)有意义，则需f(x)0，由函数f(x)的图象知2x8，即函数g(x)f(x)的定义域为(2,8答案(2,82已知函数f(x)2x，且g(x)则函数g(x)的最小值是_解析易知g(x)当x0，g(x)(2x2x)ln 20，g(x)ming(0)0，当x0时，g(x)(2x2x)ln 20，g(x)g(0)0.故函数g(x)的最小值为g(0)0.答案0考点二：函数的图象【例2】(1)

13、(2012丰台二模)已知函数ysin axb(a0)的图象如图所示，则函数yloga(xb)的图象可能是(2)(2012武威模拟)函数y的图象大致是审题导引(1)利用已知函数的图象求出a，b的范围，再选择yloga(xb)的图象；(2)利用函数y的性质，结合排除法求解规范解答(1)由ysin axb的图象知其周期t2，0a1.又0b1，故选a.(2)x1是y的零点，且当x1时，y0，当0x1时，y0，故可排除a、b.当x0时，y，由于函数yx的增长速度要大于函数yln x的增长速度，故当x时，y0.故可排除d，选c.答案(1)a(2)c【规律总结】函数图象的识别方法(1)性质法：在观察分析图象

14、时，要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质，结合函数的解析式，从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系(2)图象变换法：根据函数解析式之间的关系，或利用基本初等函数的图象去选择未知函数的图象【变式训练】3(2012兰州模拟)函数y，x(，0)(0，)的图象可能是下列图象中的解析因函数y是偶函数，故排除a，又x时，xsin x，即1，排除b，d，故选c.答案c4(2012湖北)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为解析由yf(x)的图象写出f(x)的解析式由yf(x)的图象知f(x).当x0,2

15、时，2x0,2，所以f(2x)，故yf(2x).图象应为b.答案b考点三：函数的性质及应用【例3】(1)(2012湘潭二模)已知函数f(x)x2cos x，则f(0.5)，f(0)，f(0.6)的大小关系是af(0)f(0.5)f(0.6) bf(0.5)f(0.6)f(0)cf(0)f(0.6)f(0.5) df(0.5)f(0)f(0.6)(2)(2012聊城二模)设函数f(x)是定义在r上的奇函数，且对任意xr都有f(x)f(x4)，当x(2,0)时，f(x)2x，则f(2 012)f(2 011)的值为a b. c2 d2审题导引(1)利用函数f(x)的奇偶性与单调性比较各数的大小；(

16、2)利用函数的周期性与奇偶性求解规范解答(1)f(x)2xsin x，当x0时，f(x)0，即f(x)x2cos x在(0，)上是增函数，又f(x)是偶函数，f(0.5)f(0.5)，f(0)f(0.5)f(0.6)(2)由题可知函数的周期为4，故f(2 012)f(2 011)f(0)f(1)021.答案(1)a(2)a【规律总结】函数性质的综合应用求解函数奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路，即把自变量化归到已知区间中，然后根据函数的有关性质进行求解，如例3第(1)题中要比较f(0.5)，f(0)，f(0.6)的大小，就要根据函数的周期性和奇偶性将三个自变量都化归到0，)内，

17、然后根据函数的单调性比较它们的大小易错提示常见周期函数的几种形式函数周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合，常涉及函数周期的求解，常见形式主要有以下几种：(1)如果f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为t|ab|；(2)如果f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为t2|ab|；(3)如果f(xa)f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为t2a；(4)如果f(xa)或者f(xa)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为t2a；(5)如果函数f(x)既有对称中心，又有对称轴，则该函数是一个周期函数，若其中的对称中

18、心为(a，m)，与其相邻的对称轴为xb，则该函数的一个周期为t4|ab|.【变式训练】5(2012东莞二模)已知函数f(x)(xr)的最大值为m，最小值为m，则mm的值为_解析f(x)1，令g(x)，易知g(x)是r上的奇函数，设g(x)的最大值为a，则其最小值为a，m1a，m1a，mm2.答案26(2012龙岩模拟)已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(2 012)a2 b0c2 d3解析f(x1)是奇函数，则函数yf(x1)的图象关于(0,0)对称，函数yf(x)的图象关于(1,0)对称，即f(2x)f(x)0.f(x1)是偶函数，即其图象关于直线x0对称，函

19、数yf(x)的图象关于直线x1对称，即f(x)f(2x)由两式得f(2x)f(2x)，即f(x4)f(x)，可得f(x8)f(x)，所以函数yf(x)的周期t8.f(2 012)f(25184)f(4)，在式中，令x0得f(4)f(0)2，f(2 012)2.答案a名师押题高考【押题1】在同一个坐标系中画出函数yax，ysin ax的部分图象，其中a0且a1，则下列所给图象中可能正确的是解析当a1时，ysin ax的周期t2，可排除a，c.当0a1时，ysin ax的周期t2，可排除b，故选d.答案d【押题2】设f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若对任意的xt，t2，不等

20、式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是a，)b，)c，3) d，)解析当x0时，f(x)x2且f(x)是定义在r上的奇函数，f(xt)2f(x)f(x)，且f(x)是定义在r上的单调递增函数，xtx，整理得，(1)xt，由于y(1)x在xt，t2时单调递增，所以(1)(t2)t，解得t.答案a 第3讲函数与方程思想一、选择题1已知向量a(3,2)，b(6,1)，而(ab)(ab)，则实数等于 ()a1或2 b2或 c2 d0解析：ab(36,21)，ab(36，2)，若(ab)(ab)，则(36)(36)(21)(2)0，解得2或答案：b2设f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时

21、，f(x)x2.若对任意的xt，t2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是 ()a，) b2，)c(0,2 d，1，答案：a3f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0.对任意正数a、b，若ab，则必有 ()aaf(a)f(b) bbf(b)f(a)caf(b)bf(a) dbf(a)af(b)解析：xf(x)f(x)0，即xf(x)0，xf(x)是减函数又aa0，f(x)0，bf(a)af(a)且bf(b)af(b)，bf(a)af(a)bf(b)af(b)，bf(a)af(b)答案：c4f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，f(2)0，则函数

22、yf(x)在区间(1,4)内的零点个数为 ()a2 b3 c4 d5解析：f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)0.由f(2)0，得f(2)0.又f(x)的周期为3，f(1)0，f(3)0.又ffff，f0.故选d.答案：d5已知对于任意的a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是 ()a1x3 bx3c1x2 dx3解析：将f(x)x2(a4)x42a看作是a的一次函数，记为g(a)(x2)ax24x4.当a1,1时恒有g(a)0，只需满足条件即，解之得x3.答案：b二、填空题6已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_解析：只需求(x

23、y)的最小值大于等于9即可，又(xy)1aaa12a21，等号成立仅当a即可，所以()2219，即()2280求得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值为4.答案：47若关于x的方程(22|x2|)22a有实根，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)(22|x2|)2，要使f(x)2a有实根，只需2a是f(x)的值域内的值f(x)的值域为1,4)1a24，1a2.答案：1,2)8已知函数f(x)，ar，若方程f2(x)f(x)0共有7个实数根，则a_.解析：设yt2t，tf(x)作出两函数的图象如图所示，由t2t0知t0，或t1，当t0时，方程有两个实根；当t1时，要使此时方程有5个不同实根，则

24、a1.答案：19若数列an的通项公式为ann3nn(其中nn*)，且该数列中最大的项为am，则m_.解析：令xn，则01)短轴的一个端点，q为椭圆上的一个动点，求|pq|的最大值解：依题意可设p(0,1)，q(x，y)，则|pq|.又因为q在椭圆上，所以x2a2(1y2)|pq|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2(1a2)21a2，因为|y|1，a1，若a，则1，当y时，|pq|取最大值；若1a，则当y1时，|pq|取最大值2，综上，当a时，|pq|最大值为；当1a时，|pq|最大值为2.11已知f(x)是定义在正整数集n*上的函数，当x为奇数时，f(x1)f(x)1，当x为偶

25、数时，f(x1)f(x)3，且满足f(1)f(2)5.(1)求证：f(2n1)(nn*)是等差数列；(2)求f(x)的解析式(1)证明：由题意得，两式相加得f(2n1)f(2n1)4.因此f(1)，f(3)，f(5)，f(2n1)成等差数列即f(2n1)(nn*)是等差数列(2)解：由题意得，解得.所以f(2n1)f(1)(n1)42(2n1)，因此当x为奇数时，f(x)2x.又因为当x为奇数时，f(x1)f(x)1，所以f(x1)2x12(x1)1，故当x为偶数时，f(x)2x1.综上，f(x). 我的大学爱情观目录：1、 大学概念2、 分析爱情健康观3、 爱情观要三思4、 大学需要对爱情要

26、认识和理解5、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互

27、相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学

28、生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情