线性系统理论基础

1、线性系统理论基础实验指导书嵇启春西安建筑科技大学信息与控制工程学院第一章 课程简介，实验内容及学时安排一、课程简介线性系统理论基础是自动化类专业的主要专业理论课，是现代控制理论的基础。它将使学生们系统地学习并掌握现代控制理论的基本分析和设计方法，为后续专业课程的学习打下良好的基础。教学目标：熟练掌握现代控制基本理论，能运用所学知识进行系统建模、性能分析和综合设计。线性系统理论基础实验是线性系统理论基础课程的重要教学环节，是自动化类专业学生必须掌握的教学内容。其目的主要是使学生学习和掌握控制系统基本的分析、设计方法，加深理解线性系统理论的基本知识和原理，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生

2、的创新意识、创新精神和创新能力，为学生今后从事该领域的科学研究和技术开发工作打下扎实的基础。二、实验内容及学时安排本课程的实践环节由必作和选作两类实验构成，对能力较强的学生指导他们课外进行选作实验。目前实验主要基于matlab仿真软件进行仿真实验。必作实验为三个，每个实验2学时。要求学生一人一机，独立完成必作的实验，由此使学生得到较全面的基础训练。通过该课程的实验训练，应达到下列要求：1. 使学生了解matlab仿真软件的使用方法，重点掌握matlab控制工具箱的使用方法；2. 通过实验加强对所学理论知识的理解和应用；3. 实验前预习，实验后按要求撰写实验报告。序号实 验 内 容实验类型开出要

3、求实验学时1matlab控制工具箱的应用及线性系统的运动分析验证必作22系统的能控性、能观测性、稳定性分析验证必作23状态反馈极点配置方法的研究设计必作24全维状态观测器的设计设计必作25直线倒立摆控制系统演示选作2第二章 线性系统理论基础课程实验实验一 matlab控制工具箱的应用及线性系统的运动分析一、实验目的1、学习掌握matlab控制工具箱中的基本命令的操作方法；2、掌握线性系统的运动分析方法。二、实验原理、内容及步骤1、学习掌握matlab控制工具箱中基本命令的操作设系统的模型如式(1-1)所示： (1-1)其中a为nn维系数矩阵；b为nm维输入矩阵；c为pn维输出矩阵；d为pm维传

4、递矩阵，一般情况下为0。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示： (1-2)式(1-2)中，表示传递函数阵的分子阵，其维数是pm；表示传递函数阵的分母多项式，按s降幂排列的后，各项系数用向量表示。例1.1 已知siso系统的状态空间表达式为(1-3)式，求系统的传递函数。 (1-3)程序:%首先给a、b、c阵赋值；a=0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2;b=1;3;-6;c=1 0 0;d=0;%状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为num,den=ss2tf(a,b,c,d,u)num,den=ss2tf(a,b,c,d,1) 程序运行结果:num = 0 1.0

5、000 5.0000 3.0000den = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000从程序运行结果得到系统的传递函数为： (1-4)例1.2 从系统的传递函数(1-4)式求状态空间表达式。程序:num =1 5 3;den =1 2 3 4;a,b,c,d=tf2ss(num,den)程序运行结果:a = b = -2 -3 -4 1 1 0 0 0 0 1 0 0c = d =1 5 3 0由于一个系统的状态空间表达式并不唯一, 例1.2程序运行结果虽然不等于式(1-3)中的a、b、c阵，但该结果与式(1-3)是等效的。不妨对上述结果进行验证。例1.3 对上述结果进行验证编程

6、。%将例1.2上述结果赋值给a、b、c、d阵；a =-2 -3 -4;1 0 0; 0 1 0;b =1;0;0;c =1 5 3;d=0；num,den=ss2tf(a，b，c，d,1)程序运行结果与例1.1完全相同。例1.4 给定系统，求系统的零极点增益模型和状态空间模型，并求其单位脉冲响应及单位阶跃响应。解：num=1 2 1 3;den=1 0.5 2 1;sys=tf(num,den) %系统的传递函数模型 transfer function: s3 + 2 s2 + s + 3-s3 + 0.5 s2 + 2 s + 1sys1=tf2zp(num,den)%系统的零极点增益模型s

7、ys1 = -2.1746 0.0873 + 1.1713i 0.0873 - 1.1713isys2=tf2ss(sys) %系统的状态空间模型模型；或用a,b,c,d=tf2ss(num,den)形式a = -0.5000 -2.0000 -1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0b = 1 0 0c = 1.5000 -1.0000 2.0000d = 1impulse(sys2) %系统的单位脉冲响应 图2-1 系统的单位脉冲响应step(sys2) %系统的单位阶跃响应： 图2-2 系统的单位阶跃响应2、实验内容（1）自选控制对象模型，应用以下命令，并写出结果。1）

8、step, damp, pzmap, rlocus, rlocfind, bode, margin, nyquist；2） tf2ss, ss2tf, tf2zp, zp2ss；3） ss2ss, jordan, canon, eig。（2）掌握线性系统的运动分析方法1)已知 ，求。(用三种方法求解)2) 利用matlab求解书上例2.8题，并画出状态响应和输出响应曲线，求解时域性能指标。(加图标题、坐标轴标注及图标)3) 利用matlab求解书上例2.12题，并画出状态响应和输出响应曲线。(加图标题、坐标轴标注及图标)4) p36 1.4-2 1.5-3；p56 2.3-3三、 实验设备及注

9、意事项1、计算机120台；2、matlab6.x软件1套。注意不同版本matlab软件的异同。四、 实验报告要求按照预习报告中的程序进行验证实验，并按实验记录完成报告。五、 预习要求及思考题预习相关的理论知识。实验二 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用matlab进行以下分析和实现。1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的稳定性分析；3、系统的最小实现。二、实验原理、内容及步骤1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的

10、定义和判别。系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵a是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。输出能控性判别式为： （2-1）状态能控性判别式为： （2-2）系统状态能观

11、测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,如果对t0时刻存在ta，t0ta0flagz=1;endenddisp(系统的零极点模型为);z,p,k系统的零极点模型为z = -2.7306 + 2.8531i -2.7306 - 2.8531i -1.5388 p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1.0000if flagz=1disp(系统不稳定);else disp(系统是稳定的);end运行结果为:系统是稳定的step(a,b,c,d); 图2-1 系统的阶跃响应2、实验内容（1）能控性、能观测性及系统实现（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，

12、进行运算，并写出结果。gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral；（b）已知连续系统的传递函数模型，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c）已知系统矩阵为，判别系统的能控性与能观测性；（d）求系统的最小实现。（2）稳定性（a）代数法稳定性判据已知单位反馈系统的开环传递函数为：，试对系统闭环判别其稳定性（b）根轨迹法判断系统稳定性已知一个单位负反馈系统开环传递函数为，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。（c）bode 图法判断系统稳定性已知两个单位负反馈系统的开

13、环传递函数分别为用bode 图法判断系统闭环的稳定性。（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否bibo稳定。三、 实验设备及注意事项1、计算机120台；2、matlab6.x软件1套。注意不同版本matlab软件的异同。四、 实验报告要求按照预习报告中的程序进行验证实验，并按实验记录完成报告。五、 预习要求及思考题利用所学知识，编写实验内容中的相应程序，并写在预习报告上。实验三 状态反馈极点配置方法的研究一、实验目的 1掌握状态反馈系统的极点配置； 2研究不同配置对系统动态特性的影响。二、实验原理、内容及步骤（1）实验原理 一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。极点

14、配置有两种方法：采用变换矩阵t，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵k后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵k；基于carlay-hamilton理论，它指出矩阵状态矩阵a满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式的值，可以推出增益矩阵k，这种方法推出增益矩阵k的方程式叫ackermann公式。例4.1 某控制系统的状态方程描述如下：通过状态反馈使系统的闭环极点配置在p=-30，-1.2,-2.44i位置上,求出状态反馈阵k,并绘制出配置后系统的时间响应曲线。解： a=-10 -35 -50 -24;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0

15、1 0;b=1;0;0;0;c=1 7 24 24;d=0;disp(原系统的极点为);p=eig(a)运算结果为：原极点的极点为p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000p=-30;-1.2;-2.4+sqrt(-16);-2.4-sqrt(-16);k=place(a,b,p)k = 26.0000 172.5200 801.7120 759.3600disp(配置后系统的极点为)配置后系统的极点为p=eig(a-b*k)p =-30.0000 -2.4000 - 4.0000i -2.4000 + 4.0000i -1.2000disp(极点配置后的闭环系统为

16、)%极点配置后的闭环系统为sysnew=ss(a-b*k,b,c,d)step(sysnew/dcgain(sysnew)%极点配置后系统的阶跃响应a = x1 x2 x3 x4 x1 -36 -207.5 -851.7 -783.4 x2 1 0 0 0 x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 7 24 24 d = u1 y1 0 continuous-time model. 图3-1 极点配置后系统的阶跃响应（2）实验内容原系统如图3-2所示。图中，x1和x2是可以测量的状态变量。图3-2

17、 系统结构图试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求: (1) 已知：k=10，t=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： %20%，ts1秒。(12) 已知：k=1，t=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： %5%，ts0.5秒。 状态反馈后的系统，如图3-3所示：图3-3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。三、 实验设备及注意事项1、计算机120台；2、matlab6.x软件1套。注意不同版本matlab软件的异同。四、 实验报告要求1. 原系统的结构图和性能指标；2

18、写出原系统的状态空间表示式，设计状态反馈矩阵并绘出系统的模拟电路图；3状态反馈前后系统的阶跃响应曲线，并求出%、tp及ts等动态性能指标。4. 回答思考题。五、 预习要求及思考题实验预习要求：1. 复习与实验有关的理论知识，掌握状态反馈的极点配置方法；2. 会使用matlab语言中与极点配置的有关命令。实验思考题： 1输出反馈能使系统极点任意配置吗？ 2若系统的某个状态不能直接测量，能用什么办法构成全状态反馈？实验四 全维状态观测器的设计一、实验目的 1. 学习用状态观测器获取系统状态估计值的方法； 2. 了解全维状态观测器的实现；3. 了解全维状态观测器的极点对状态的估计误差的影响，促进状态

19、观测器理论的学习。二、实验原理、内容及步骤（1）实验原理 利用状态反馈可以使闭环系统的极点配置在所希望的位置上，其条件是必须对全部状态变量都能进行测量，但在实际系统中，并不是所有状态变量都能测量的，这就给状态反馈的实现造成了困难。因此要设法利用已知的信息(输出量y和输入量x)，通过一个模型重新构造系统状态以对状态变量进行估计。该模型就称为状态观测器。若状态观测器的阶次与系统的阶次是相同的，这样的状态观测器就称为全维状态观测器或全阶观测器。设系统完全可观，则可构造如图4-1所示的状态观测器图4-1 全维状态观测器为求出状态观测器的反馈ke增益，与极点配置类似，也可有两种方法：方法一：构造变换矩阵

20、q，使系统变成标准能观型，然后根据特征方程求出ke ；方法二：是可采用ackermann公式： ，其中为可观性矩阵。 利用对偶原理，可使设计问题大为简化。首先构造对偶系统 然后可由变换法或ackermann公式求出极点配置的反馈k增益，这也可由matlab的place和acker函数得到；最后求出状态观测器的反馈增益。（2）实验内容开环系统，其中 设计全维状态观测器，使观测器的闭环极点为 ，并求其传递函数及系统的阶跃响应曲线。三、 实验设备及注意事项1、计算机120台；2、matlab6.x软件1套。注意不同版本matlab软件的异同。四、 实验报告要求1. 画出原系统的方框图；2. 用mat

21、lab语言编程求出其全阶观测器的反馈增益；3. 设计全阶观测器，根据传递函数求出%、tp及ts等动态性能指标及绘制阶跃响应曲线，并画出带有全阶观测器的方框图。4. 回答思考题。五、 预习要求及思考题实验预习要求：复习有关全阶观测器的内容，运用全阶观测器的设计方法及步骤，用matlab命令计算出全阶观测器的反馈增益。实验思考题：1、 根据实验内容，改用降阶观测器重新设计，试用matlab语言编制其程序，并求出其传递函数及系统的阶跃响应曲线；2、 考虑带有状态观测器的状态反馈系统如何设计？实验五 直线倒立摆控制系统倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡

22、表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，它已成为必备的控制理论教学实验设备。一、 实验目的 通过倒立摆系统实验给学生学习线性系统理论基础课程一个非常直观、简洁的观念，能对所学课程有一个基本的认识。对有能力的学生，鼓励他们在学完本门课程的主要内容后，能利用倒立摆控制系统来验证所学的控制理论和算法，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。二、 实验原理、内容及步骤电机基座摆杆角编码器同步带带轮小车限位开关滑杆图5-1 倒立摆(直线)本体图倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术

23、的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆， 直线倒立摆本体图如图5-1所示。电控箱控制平台倒立摆本体图5-2 倒立摆硬件系统结构控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，目前典型的控制器设计理论有：pid控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、

24、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法。图5-2所示为倒立摆硬件系统结构。以小车加速度作为输入的直线一级倒立摆系统线性化状态方程为其中：为摆杆与垂直向上方向的夹角，x为小车位置。利用matlab对系统进行可控性分析clear;a= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;b= 0 1 0 3;c= 1 0 0 0;0 1 0 0;d= 0 0 ;cona=b a*b a2*b a3*b;cona2=c*b c*a*b c*a2*b c*a3*b d;rank(cona)rank(cona2)或直接利用计算可控性矩阵

25、的ctrb 命令和计算可观性的矩阵obsv 命令来计算：图5-3 直线一级倒立摆单位阶跃响应仿真uc=ctrb(a,b);vo=obsv(a,c);rank(uc)rank(vo)ans =4ans =2系统阶跃响应分析clear;a= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;b= 0 1 0 3; c= 1 0 0 0;0 1 0 0;d= 0 0 ;step(a, b ,c ,d)图5-4 直线一级倒立摆极点配置原理图仿真直线一级倒立摆单位阶跃响曲线如图5-3所示。可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。由于系统的状态完全可控性矩阵的秩等

26、于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器。直线一级倒立摆极点配置原理如图5-4所示。前面我们已经得到了直线一级倒立摆以小车加速度作为输入的状态空间模型，直线一级倒立摆的极点配置转化为：对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约3秒）和合适的阻尼（阻尼比）。 按极点配置步骤进行计算。1) 检验系统可控性，由系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控。2) 计算特征值根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为2 秒），我们选取期望的闭环极点 ，因此期望的特征方程为：由系统的特征方程：系统的反馈增益矩阵为