椭圆标准方程典型例题及练习题

1、学习好资料欢迎下载椭圆标准方程典型例题例1已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点4_52_5P到两焦点的距离分别为3和3 ，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F1、F2，且PF1可求出PFi4.532、53.从椭圆定义知2a |PF1|PF22 5 . 即 a 5PF2知PF2PF1F2垂直焦点所在的对称轴，所以在2c PFicos62 5jF，从而所求椭圆方程为3y2103x2102y- 15Rtb2PF2F1 中,sin PF|F2PF2 1PF12a2c21032x2例2已知椭圆方程a2y_b2长轴端点为A1A2焦占为5 八、八、丿VF1 , F

2、2 , P 是椭圆上一点,A1PA2F1PF2.求:FfF2的面积（用a、分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,1S absi nC从而利用2表示）.求面积.解：如图，设P x, y，由椭圆的对称性,不妨设Px, y，由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限.由余弦定理知:由椭圆定义知:册 S F1PF2故例3已知动圆F1F2PF1P过定点PF1I2PF2PF22aPF2 sin分析：关键是根据题意,解：如图所示，设动圆2PF|PF2，则cos21 2b2sin2 1 cos230，且在定圆B: X 3列出点P满足的关系式.y24c2 .PF1b2 tan 2PF22b21 cos64的内部

3、与其相内切,P和定圆B内切于点M .动点P到两定点,即定点A 3,0和定圆圆心B 3,距离之和恰好等于定圆半径,即 PA PB PM| |PBBM 8 . 点P的轨迹是以A ,B为两焦点,x2半长轴为4,半短轴长为b4 37的椭圆的方程：16学习好资料欢迎下载说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程 的一种重要思想方法.已知椭圆(2)求斜率为1 12p Iy 1p ，-,（1）求过点 2 2且被P平分的弦所在直线的方程;2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A 2,引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;(4)椭圆上有两点P、Q , O为原

4、点，且有直线0P、OQ斜率满足kOP kOQ求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M X1 , yN X2 ,*2 ,线段MN的中点R x , y则X2 2y2 2,一得X1 X2 X1x22y1y2 %y20.x| 2y； 2,y1y2X1X2 2 y1y2为 X? 2x,由题意知X1X2 ,则上式两端冋除以x1x2有X1 X2* y2 2y,x 2yy1y2 0将代入得X1X2 11y1y21(1 )X 将2 ,y2代入，得X1X22,故所求直线方程为：2x 4y 30.211将代入椭圆方程2 X2y22得6y6y403

5、64 640符合题意，2x4y 30为所求y1y22(2)将X1X2代入得所求轨迹方程为：x 4y0 .（椭圆内部分）y1y2y12 X2y2 2x(3)将X1X2X2代入得所求轨迹方程为：2y 0 .（椭圆内部分）2 2X1X2222y1y2(4)由+得:2，将平方并整理得22,2小X1 X2 4x 2X1X222鼻2几y1 y2 4y 2y1y2,将代入得：学习好资料欢迎下载24x2 2x1x24y2 2yiy2y1 y再将1X1X22代入式得:2 2 12x x1x2 4y 2x1x2 22X2y-11此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.已知椭圆4x2

6、2y 1及直线y x m(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为2 一 105 ，求直线的方程.解：（1）把直线方程y x m代入椭圆方程4x?1 得4x2即 5x2 2mx m2 102m 24 5 m16m220（2 ）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 , x2,由(1)得x1X2即2 .y$2 m1m -，解得22 .2mmx2m21550根据弦长公式得2 22m , m 14552.105解得m 0 方程为y x说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦

7、长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.例6以椭圆122J 13的焦点为焦点，过直线0上一点M点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.x2解：如图所示，椭圆122V 1的焦点为f13,0F2 3,点F1关于直线y 90的对称点F的坐标为（一9, 6）,直线2y解方程组 x90得交点M的坐标为（一5,4）.此时MF1MF2最小.所求椭圆的长轴:2a MFj MF2FF26妬，. a3馬，又 c 3,学习好资料欢迎下载223 5336 .因此,所求椭圆的方程为2 2二呂14536例7求中心在原点,对称轴为坐标轴，且经过AC. 3,2)和 B(

8、2 3 , 1）两点的椭圆方程.解：设所求椭圆方程为2mx2ny1(m 0,0).由 A( 3,2）和B（ 2 31）两点在椭圆上可得m ( .3)2 n ( m ( 2 .3)22)2121,1,3m 4n 1,12m n 1,1m n 所以 15 ,15 .故所求的椭圆方程为 152y- 15例8已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为3的直线交椭圆于A ,B两点，求弦AB的长.ABV1 k2 Xi X2分析：可以利用弦长公式也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求. 解：（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.(1 k2)(X1 X2)2

9、 4x1X2求得,AB V1 k2所以椭圆方程为X1 x22x36(12y- 19由直线方程与椭圆方程联立得:x1x236 813 k 0, n0).根据椭圆的定义得 m+n = 20.在 F1PF2-n中，由余弦定理得 PF1 + PF2-2PF1PF2COS/ F1PF2 = F1F2，即 m2+ n2 2mn 323=256 122.二 m2+ n2 mn= 144,即(m+n)2 3mn= 144. 202 3mn= 144,即 mn=_.又t SAF1PF2=PF1 PF2 sin/FFF2=mn sin, FPF2=43.(2) t a= 10，根据椭圆的定义得 PF + PF2=

10、 20. t PF + PF2 2寸PF PF，二 PF PF2W PF；PF2= 202= 100,当且仅当 pf = pf= 10 时，等号成立 PF PF 的最大值是100.练习题 题型一求椭圆的标准方程【例1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的学习好资赴-欢迎下载-距离为 心，则椭圆的标准方程为 ；(2011 课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点Fi, F2在x轴上，离心率为.过Fi的直线I交C于A, B两点，且 ABF的周长为16,那么椭圆C的方程为.题型二 椭圆的几何性质 例2 已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ FiPF = 60(1) 求椭圆离心率的范围；(2) 求证： RPF的面积只与椭圆的短轴长有关.2 2娈(2012 安徽)如图，Fi、F分别是椭圆C:孑+ b2 =1( ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF与椭 圆C的另一个交点，/ RAF = 60.(1)求椭圆C的离心率； 已知 AFB的面积为46/3,求a，b的值.题型三直线与椭圆的位置关系x2r例 3】(2011 北京)已知椭圆G 4 + y2= 1.过点(m0)作圆X2+ y2= 1的切线