解三角形问题和简单应用易错笔记

1、第十七讲解三角形问题及其简单应用1. 解三角形问题中三角形解的个数原因探究5. 三角形中的取值围与最值问题1.1为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形5.1三角形形状隐含角的围1.2由正弦值求三角形角时可能有两解5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用1.3由 cos A 0 产生的漏解现象5.3利用余弦定理、基本不等式求最值2. 解三角形出现增解的应对策略5.4化归为三角函数的最值与值域问题2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定6.三角形中几种常见的变换方法2.2根据两角正弦值大小剔除增解6.1两角和与第三角的三角函数关系2.3根据三角函数值的围剔除增解6.2不能遗忘的“切化弦”3 几

2、何法判断三角形解的个数7. 常见的解三角形实例3.1画图观察直观判断三角形解的个数7.1距离的测量问题3.2根据三角形解的个数求字母参数围7.2高度的测量问题4. 三角形形状的判定7.3角度的测量问题4.1利用余弦定理判断锐角、直角、钝角7.4是否进入某区域问题4.2化边为角判定三角形形状7.5与最值有关的实际应用问题4.3化角为边判断判定三角形形状1. 解三角形问题中三角形解的个数原因探究1.1为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形【典例】在ABC ，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，且 a 1, c3 .（1）若 C，则 A_；(2) 若 A，则 b _36【变式 1

3、】在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，已知 b6,c8,B45o ，则 cosC =.【变式 2 】已知在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ， a3, b2, B45 o ， 试判断符合条件的ABC 有多少个？1.2 由正弦值求三角形角时可能有两解【典例 1 】在ABC 中， AB3, AC1, B30o ，求ABC 的面积 .【变式 1】若ABC 的面积为 103 ，且 AB5, AC8 ，则 BC 等于【变式 2 】ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ，且 b3, c1，ABC 的面积为2 ，求 cos A

4、 与 a 的值 .【变式 3 】已知fx3 cos2xsin 2x ， A 是ABC 的角，且 fA1 ，求 A 的大小 .【变式 4 】在ABC 中，角 A, B ,C 所对的边分别为a,b, c ， c3a sin Cc cos A(1) 求角 A ； (2) 若 a2 ， ABC 的面积为3 ，求 b, c .【典例 2 】在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，如果有性质 a cos Abcos B ,试问这个三角形的形状具有什么特点？【变式 1 】在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b,c ，已知 a2 tan Bb2 tan A ，判断 A

5、BC 的形状 .【变式 2 】在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b,c ，已知 b cosC1cos2C ，判断 ABC 的形状 .c cosB1cos2B【变式 3 】在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c .已知 a2A2B3 sin Acos A3 sin B cos B 求角 C 的大小b ， coscos1.3 由 cos A0产生的漏解现象【典例】 在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是a, b, c ，已知 c 2, C.若 sin C sin(B A)2sin 2A ，求 ABC 的面积 .3【变式 1 】若是三角形的角，则

6、cos可能为 0 ，但 sin0在 ABC 中，已知角B60 .若 cos(BA)cosCsin 2 A ，求角 A 的大小 .【变式 3 】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，已知 abc cosBc cosA ，判断 ABC 的形状 .2. 解三角形出现增解的应对策略2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定【典例】 在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b, c ，若 a2 ， b2 , sin Bcos B2 ,则角 A 的大小为.【变式 1 】三角形边对大角，非最大边所对的角一定是锐角在ABC 中

7、，角 A, B, C 所对的边分别为a, b,c ，已知 A）,a3, b 1 ，则边长 c 等于（3A. 1B. 2C.31D. 3【变式 2】在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，已知 a3， b6 ， A2B，则3【变式 3 】已知在ABC 中， AB1, AC2,C，则ABC 的面积为 _.6【变式 4 】在ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a、b、c ，若 a1,c3, C，则角A_.3【变式 5 】在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，若角 A, B, C 依次成等差数列，且a1 ， b3 ，则角 C.【变式 6 】在A

8、BC 中，已知 AB2, AC3, A60 .求 sin 2C 的值 .2.2 根据两角正弦值大小剔除增解【典例】 在 ABC 中， sin B4 ， cosA5 ，则 cosC 的值为 _.513【变式 1 】在ABC 中，求证： sin Asin BAB .【变式 2】在ABC 中，若 sin A3 ， cos B5 ，则 cosC 的值为513【变式 3】在ABC 中， sin B12 ， cos A4 ，则 cosC 的值为 _.1352.3根据三角函数值的围剔除增解【典例】 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a,b, c ， a， b3 ， A45 ，则满足此条件的

9、三角形有（）A.0 个B.1 个C.2 个D. 3个【变式 1】钝角ABC 的面积是1， AB1，BC2，则AC ()2A 5B. 5C2D 1【变式 2 】借助余弦函数的单调性，缩小角的围，避免讨论已知在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b,c ，A, B 为锐角，且 cos2 A310B 的值为， sin B，则 A510【变式 3 】根据三角形中各角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解在ABC 中，已知 3sin A4cosB6， 3cos A4 sin B1 ，则角 C.3 几何法判断三角形解的个数3.1 画图观察直观判断三角形解的个数【典例】 已知在ABC

10、中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c， a3, b2 , B450 ， 试判断符合条件的ABC 有多少个？【变式 1 】已知在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，不解三角形，则下列判断正确的（1 ） a4,b5, A 30o 有两个解；（2 ） a5,b4, A 60o 有一个解；（3 ） a3, b2, B120o 有一解；（4 ） a3, b6, A60 o 无解 .【变式 2 】已知在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，根据下列条件解三角形： B 30 ， a 14 ， b 7； B 60 ， a 10 ， b 9 那么，

11、下面判断正确的是 ()A 只有一解， 也只有一解B 有两解， 也有两解C 有两解， 只有一解D 只有一解， 有两解【变式 3】在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b,c ，若 a 18,b 24, A45o ，则此三角形有 ()A 无解B 两解C 一解D 解的个数不确定【变式 4 】在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，已知 a2,b6, A30o ，则满足此条件的三角形的个数是几个？3.2根据三角形解的个数确定字母参数的围【典例】如果满足B60o ， AC12, BCk 的三角形ABC恰好有一个解，那么实数k 的取值围是【变式 1 】在ABC 中

12、，角 A, B, C 所对的边分别为a, b,c ，已知 b22, a2 ，此三角形有解，则角A 的取值围是.【变式 2 】若满足条件AB3 ， AC ， C60 的ABC 有两个，则边长BC 的取值围是.【变式 3 】在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是a, b, c ，已知 b 2,B，且此三角形只有一个解，则边长a 的取值围是.44. 三角形形状的判定4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角【典例】在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b, c ，用余弦定理证明： 当角 C 为钝角时， a2b2c2 ；当角 C 为锐角时， a2b 2c2 .【变式1 】在 AB

13、C 中，若 sin 2 B sin 2 C A 锐角三角形 B 直角三角形sin 2A ，则ABC 的形状是（C 钝角三角形）D 不能确定【变式 2 】在 ABC 中，若 sin 2 A sin 2 Bsin 2 C ，则 ABC 的形状是（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不能确定【变式 3 】在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b, c ，若三边满足a3b3c3 ，则ABC 的形状是（）A锐角三角形B 直角三角形C钝角三角形D 不能确定4.2 化边为角判定三角形形状【典例】在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为abca, b,c ，已知cosB，判

14、定 ABC 的形状 .cos AcosC【变式 1 】在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b,c ，已知 sin Acos BcosC ，判定 ABC 的形状 .abc【变式 2 】在 ABC 中，已知 sin A2sin B cosC ，判定 ABC 的形状 .【变式 3 】在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b,c ，已知 a2bcosC ，判定 ABC 的形状 .【变式 4 】在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a,b, c ，已知 acsin A ， sin C2sin A cosB ，判定 ABC 的形状 .【变式 5 】在 ABC

15、中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b,c ，已知 sin A2sin B cosC ， (abc)(bca)3bc ，判定 ABC 的形状 .4.3 化角为边判断判定三角形形状【典例1】在 ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c ，已知2abc ， sin 2Asin B sin C ，判断 ABC 的形状 .【变式 1】在 ABC 中，若A. 等腰直角三角形2cosC sin A B. 直角三角形sin B ，则 ABC 的形状一定是（）C. 等腰三角形D. 等边三角形【变式 2 】在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，若 B60o ， 2ba

16、c ，试判断ABC 的形状tanAa2，试判定 ABC 的形状 .【典例 2 】在 ABC 中，若b2tanB【变式 1 】在 ABC 中，若 c2a cos B ，则 ABC 的形状.sin Asin B【变式 2 】在 ABC 中，若 sin Ccos Acos B，则 ABC 的形状如何？5. 三角形中的取值围与最值问题5.1 三角形形状隐含角的围【典例】 设锐角三角形ABC 的角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，且 a2b sin A ，求 cos Asin C 的取值围【变式 1】在锐角ABC 中， AC6， B2 A，则 BC 的取值围是.【变式 2】锐角ABC 的角

17、A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， 设 C2B ，则c.的取值围是b【变式 3 】钝角三角形的三个角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则 m 的取值围是.【变式 4 】在锐角ABC 中， BC 1,B2A,则 AC的值等于， AC 的取值围为.cos A【变式 5 】锐角 ABC 满足不等式 tan A0,tan B 0,tanC0 同时成立锐角 ABC 中，若 tan A 1 t , tan Bt 1 ，则 t 的取值围是.5.2 三角形两边之和大于第三边的配合使用【典例】 在锐角ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c ，边长 a1, b2 ，则边长

18、c 的取值围是.【评注】ABC 为锐角三角形cos A 0,cos B 0,cosC 0 同时成立，且三角形两边之和大于第三边；若A 是钝角，则 cos A0 且b c a .ABC 的边长分别为 a ， 3， 1 ，则 a 的取值围是【变式 1 】锐角.【变式 2 】在钝角ABC 中，三边长分别为4,5 ， x ，则实数x 的取值围为 _.5.3 利用余弦定理、基本不等式求最值【典例 1 】若ABC 的角 A、 B、 C 满足 sin A2 sin B2sin C ，则 cosC 的最小值是.【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边，化简整理后，再应用基本不等式求最值。同时要注意取等的条件，

19、即取最值的条件。【变式 1】在ABC 中，角 A, B,C 所对边长分别为a, b, c ，若 a2b 22c2 ，则 cosC 的最小值为（）A.3B.2C. 1D.12222【变式 2 】利用 abab 2() ，求角的取值围2在 ABC 中，角 A, B,C 所对边长分别为a,b,c ， a b2c , 则角 C 的取值围是.【变式 3 】在 ABC 中，角 A, B, C 所对边长分别为a, b,c ，若 a、 c、b 成等差，则角C 的取值围是.【变式 4 】在 ABC 中，角 A, B, C 所对边长分别为a, b,c ，若 a、 c、b 成等比，则角C 的取值围是.【变式 5 】

20、利用 b2c22bc ， 求边长的最小值在 ABC 中，角 A, B, C 所对边长分别为a,b, c ， A，若ABC 的面积为 3 3 ，则边 a 的最小值为3【变式 6 】利用 b2c22bc ， bc 2 bc ，求周长的最小值已知 a, b, c 分别是ABC 的三个角 A,B,C 的对边，2b 2ccosCa.（ I）求角 A 的大小；（ II ）若cos AABC 的面积 S3 ，求ABC 周长的最小值【典例 2 】已知 a,b,c 分别为ABC 三个角 A, B, C 的对边， a2 ，且 2 b (sin A sin B)(c b) sin C ，则ABC 面积的最大值为_【

21、评注】最值问题经常利用的不等式：b2c22bc ， b c2 bc ， ab( a b )2 .【变式 1 】利用余弦定理结合 ab ( ab )2 求周长的最大值2260o ，则已知 a,b,c 分别为 ABC 三个角 A, B,C 的对边， a 2 ， AABC 周长的最大值为 _【变式 2 】利用 b2c22bc ，结合余弦定理求面积的最大值urrB 1) ，且 m / n .在锐角 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 m (2sin( AC), 3) , n (cos2B , 2cos22（）求角 B 的大小；（）若 b1，求ABC 面积的最大值【变

22、式 3 】已知ABC 接于单位圆 (半径为 1个单位长度的圆),且 (1tan A)(1tan B)2 .(1) 求角 C 的大小 ;(2) 求 ABC 面积的最大值 .【变式 4 】在 ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为 a，b ，c，已知 2(tan A tan B )tan Atan B .cos Bcos A（）证明： a+ b =2 c; （）求 cos C 的最小值 .【变式 5 】已知 a,b, c 分别是ABC 的三个角 A, B, C 的对边，且 cosC (cos A 3sin A)cos B 0.(I) 求角 B 的大小； (II) 若 ac 1 ，求 b 的取

23、值围5.4 化归为三角函数的最值与值域问题【典例】 在ABC 中，B60o, AC3 ，则AB2BC的最大值为_ .【评注】在ABC 中， 根据 a2Rsin A,b 2 Rsin B, c2Rsin C （ R 为ABC 外接圆半径），可将边长转化为三角形角的正弦值，进而转化为某一个角的三角函数的最值或值域问题.【变式 1 】在ABC 中， a2c2b22ac . （ 1）求B 的大小；（ 2）求2 cos A cosC 的最大值 .【变式 2 】设 ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，且 b cosC a1 c（ 2）若 b 1，求ABC 的周长 l 的取值围。2

24、（ 1）求角 B 的大小；【变式 3 】如图，在等腰直角VOPQ 中，POQ90o ， OP=22 ，点 N 在线段 PQ 上(1)若 ON5 ，求 PN 的长；(2)若点 M 在线段 NQ 上，且MON30o ，问：当PON 取何值时， VOMN 的面积最小？并求出面积的最小值6.三角形中几种常见的变换方法6.1两角和与第三角的三角函数关系【典例】 在 ABC 中，角 A, B, C 所对应的边分别为a,b, c .已知 A80o ， a2b b c ，求角 C.【评注】 在ABC中， A B C，所以有 sin(AB) sin C ； cos(AB)cosC ； tan( AB)tanC

25、.【变式 1 】在ABC 中，角 A, B ,C 所对应的边分别为a,b, c . 若 a 3, b 2, cos(AB)1 ，则 c（）3（A）4（B） 15（C）3（D） 17【变式 2】在ABC 中，角 A, B,C 所对应的边分别为a, b, c .已知 b2ac ，则 cos(A C)cos B cos 2B 的值为.【变式 3】在ABC 中，角 A, B, C 所对应的边分别为a, b,c .若 a cos2Cccos2 A3b ，则 a,b, c 之间的关系可用等式表示为222【变式 4 】在ABC 中，角 A, B , C 所对应的边分别为a, b,c . 已知 3a cosC

26、2c cosA ， tan A1，求 B.3urrur r1sin 2B【变式 5 】已知 A,B,C 是三角形ABC 三角，向量 m1, 3 , ncos A,sin A ，且 m n1，若3，求 tan C 的值 .cos2B sin 2Buuur uuuruuur uuur3tan A ； (2)若 cosC5，求 A 的值【变式 6】在ABC 中，已知 AB AC3BA BC (1) 求证： tanB5【变式 7 】已知 ABC 的角 A， B ,C满足 sin 2A sin( A B C ) sin( C A B)1，面积 S满足1 S2，记 a, b, c分别为 A, B,C 所对

27、的2边，求证： bc (b c) 8 。【变式 8 】在锐角三角形ABC 中，若 sin A2sin B sinC ，则 tan AtanB tanC 的最小值是.6.2 不能遗忘的“切化弦”【典例】 已知锐角 ABC 中，角 A, B, C 所对应的边分别为a, b,c . 且tan Ba23ac，则角 B 的大小为 _c2b2【评注】在三角函数部分切弦互化是很容易想到，在解三角形问题中，遇到切也要考虑是否需要采用“切化弦”.【变式 1】在uuur uuuruuur uuurtan BABC 中，已知 AB AC +3AB BC 0，则tan A【变式 2 】在锐角ABC 中，角 A, B,

28、C 所对应的边分别为 a, b, c . batanCtanC6cos C ，则.abtan Atan B【变式 3 】 在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，若 tanA tanBtan AtanCtanC tan B ，且 c3 ，则该三角形的面积的最大值为.7.常见的解三角形实例7.1 距离的测量问题【典例】在相距 2 千米的 A, B 两点处测量目标点C（无法到达），若CAB75 ，CBA60 ，则 A,C 两点之间的距离为_千米【评注】 (1)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线（如本题中的线段AB ）一般来说，基线越长，测量的精确度越高(2)

29、 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解【变式 1 】如图，一艘船上午又测得灯塔S 在它的北偏东9 ：30 在 A 处测得灯塔S 在它的北偏东30 处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午75 处，且与它相距82 n mile. 此船的航速是 _ n mile/h.10 ：00到达B 处，此时【变式 2 】要测量对岸两点A, B 之间的距离，选取相距3 km 的 C , D 两点，并测得ACB 75 , BCD 45, ADC 30 , ADB 45，求 A, B 之间的距离7.2 高度的测量问题

30、【典例 1 】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取60m ，则树的高度为_m.A, B两点，从A, B 两点分别测得树尖的仰角为30 ，45 ，且A, B两点间的距离为【评注】仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 )【变式 1 】如图，从气球高是 46m，则河流的宽度A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67o ， 30o ，此时气球的BC 约等于m . （用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 67o0.92 ， cos67o0.39 ， sin 37o0.60 ， cos37 o

31、0.80 ，31.73 ）【变式 2 】某登山队在山脚A 处测得山顶山的高度 BC 为_m.B 的仰角为45 ，沿倾斜角为30 的斜坡前进1000 m后到达D 处，又测得山顶的仰角为60 ，则【变式3】在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2，继续在水平地面上前进3003 m 后，测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为_m.【变式 4 】如图，在湖面 BM 上高为 10 m 的 A 处测得天空中一朵云 C 的仰角为 30 ，测得云 C 在湖中之影 D 的俯角为 45 ，则云 C 距湖面 BM 的高度 CM 为_m.【典例2 】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向

32、正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o的方向上，行驶600m后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CDm.【评注】方向角：从东、西、南、北的某一方向开始最小角旋转到另一方向时所转的角度如西偏北角度为 75 方位角：从测者所站位置逆时针旋转到正北方向时所转的最小角75 ，就是从西开始旋转到正北，转过的【变式1 】要测量底部不能到达的明珠电视塔AB的高度，在黄浦岸选择C , D两观测点，在C , D两点测得塔顶的仰角分别为45，30 ，在水平面上测得电视塔底部与地连线及两地连线所成的角为120 ，两地相距500 m，则电视塔的高度是()A10

33、02 mB 400 mC2003 mD 500 m【变式 2 】如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面的两个测点 C 与 D . 测得 BCD 15o ， BDC 30 o ， CD 30m ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ，则塔高 AB m .【变式 3 】如图，为测量山高MN ，选择 A 和另一座山的山顶C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN 60 ， C 点的仰角CAB 45 以及 MAC75 ；从 C 点测得 MCA 60.已知山高 BC 100 m ，则山高 MN m.【变式4 】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处

34、时测得北侧远处一山顶D在西偏北30 的方向上， 仰角为 15，行驶4km后到达B 处，测得山顶D在西偏北45的方向上.（）求山的高度；（）设汽车行驶过程中，仰望山顶D 的最大仰角为，求 tan.【变式 5 】如图，跳伞塔CD 高 4，在塔顶测得地面上两点A, B 的俯角分别是 30 ，45 ，又测得ADB30 , 求 AB 两地的距离 .7.3 角度的测量问题【典例】甲船 A 点发现乙船在北偏东么方向前进，才能最快与乙船相遇？60 的 B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3 a 海里，问甲船应沿着什【评注】追及问题常用正余弦定理求解【变式 1 】两座灯塔A 和 B

35、 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40 ，灯塔 B 在观察站南偏东60 ，则灯塔A 在灯塔 B 的()A. 北偏东 10 B. 北偏西 10 C. 南偏东 10 D. 南偏西 10 【变式2 】如图，两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20m， 50m， BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的角为_【变式 3 】如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正向相距40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB 前往 B 处救援，求cos的值【变式 4 】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45 ，距离为10 海里的 C 处，并测得渔船正沿方位角为 105 的方向，以 10 海里 / 小时的速度向小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以 10 3 海里 / 小时的速度直线航行前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间7.4 是否进入某区域问题【典例】海滨某城市A 附近海面上有一台风，在城市A 测得该台风中心位于方位