考点五十三二项式定理(理

1、玩转数学优秀之路安老师课堂二项式定理知识梳理1 二项式定理n0 n1 n 1r n r rn n*(a b) Cna Cnab Cna b Cnb (n N )这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做( a b)n 的二项展开式，其中的rr n r r系数 Cn(r 0， 1， 2， ， n)叫做第 r 1 项的二项式系数式中的Cna b 叫做二项式展开式的第 r 1 项 (通项 )，用 Tr 1 表示，即展开式的第 r 1项； Tr 1 Cnran r br 2. 二项展开式形式上的特点(1) 项数为 n 1(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即 a 与 b 的指数的和为 n

2、.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1 直到 n.(4) 二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cnn 1， Cnn3.二项式系数的性质(1) 对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，0 k n 时， Ckn与 Cnn k的关系是Ckn Cnn k.(2) 增减性与最大值先增后减中间最大n 1n 1当 r 2 时，二项式系数是递增的；当r 2时，二项式系数是递减的；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即第n 1 项的二项式系数最大；2当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即第 n1项和 n

3、3项的二项式系数最大22(3) 二项式系数和： 二项式系数的和等于 2n，即 C0n C1n C2n Cnn 2n，(4) 二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0n C2n C4n C1n Cn3 C5n 2n 1.典例剖析题型一二项展开式指定项的系数例 1 (1)(2015 福建理 )(x 2) 5 的展开式中， x2 的系数等于 _(用数字作答 )(2)(2015 重庆理 ) x3 15 的展开式中 x8 的系数是 _(用数字作答 )2x玩转数学优秀之路安老师课堂答案(1)80(2)52解析(1)(x 2)5 展开式的通项为Tr 1 C5rx5 r2r，令

4、 5 r 2，得 r 3， x2 的系数为 C53 23 80.k 35k1k1 kk7k7k(2) 二项展开式通项为Tk 1C5(x )2x2C5x15 2，令 152 8，解得 k 2，8的系数为1225因此 x2C5 .2变式训练 (1)(2015四川理 )在 (2x 1)5 的展开式中，含x2 的项的系数是 _(用数字填写答案 )答案 40解析(2x 1)5 (1 2x)5， x2 的系数为 C25( 2)2 40.(2)(2015 广东理 )在 (x 1)4 的展开式中， x 的系数为 _答案6解析由题意可知 Tr 1 C4r(x)4 r( 1)r C4r( 1) rx4r ，令 4

5、r 1 解得 r 2，所以展开式22中 x 的系数为 C24( 1)2 6.解题要点解决指定项系数问题，均可以借助通项公式求解：(1) 求展开式中的第 n 项可依据二项式的通项公式直接求出第n 项(2) 求展开式中的特定项可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r 值即可(3) 已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r 1项，由特定项得出 r值，最后求出其参数题型二三项或乘积形式的展开式问题例 225的展开式中，52(2015 新课标理 )(x x y)x y 的系数为 ()A10B 20C 30D 60答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解2525(

6、x x y)(x x)y ，含 y2 的项为 T3 C52(x2 x)3 y2.其中 (x2 x)3 中含 x5 的项为 C31x4x C31x5.所以 x5y2 的系数为 C52C31 30.故选 C.方法二利用组合知识求解玩转数学优秀之路安老师课堂252252的(x x y)为 5 个 x x y 之积，其中有两个取y，两个取 x ，一个取 x 即可，所以x y系数为221C5C3C3 30.故选 C.变式训练(1 x)8(1 y)4 的展开式中 x2y2 的系数是 _答案168解析 (1 x)8 的通项为 C8kxk， (1 y)4的通项为 C4tyt，(1 x)84的通项为k k k

7、t2 222(1 y)C8C4x y，令 k 2， t 2，得 x y 的系数为 C8 C4 168.解题要点对于这类乘积形式或三项式的展开式，关键是弄清展开式的特征，将问题转化为二项式进行处理，解题时可以利用乘法原理进行求解题型三二项式系数的性质2n例 3若 (x x2)展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A360B 180C 90D 45答案B解析展开式中只有第6 项的二项式系数最大，则展开式总共11 项，所以 n 10，通项公r10 r2 rr r5式为 Tr1 C10(x)(x2)C102 x52r，所以 r 2 时，常数项为 180.变式训练(2015 湖北理

8、)已知 (1 x)n 的展开式中第4项与第 8项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和为()A29B 210C 211D 212答案A解析37n19由题意， CnCn，解得 n 10.则奇数项的二项式系数和为22 .故选 A.解题要点抓住二项式系数的性质是解题的关键，解题时需要注意：1.区分二项式系数与展开式中项的系数，在Tr 1 Cnran rbr 中， Cnr是该项的二项式系数，与该项的 (字母 )系数是两个不同的概念，前者只指 Cr，而后者是字母外的部分，前者只与 n 和nr 有关，恒为正，后者还与a， b 有关，可正可负2. 牢记通项公式 Tr 1 Crnan rbr 是展开式的第

9、 r 1 项，不是第 r 项题型四 赋值法与二项式系数和问题例 4 如果 (2x1) 6 a0a1x a2x2 a6x6，那么 a1 a2 a6 的值等于 _答案 0解析令 x0，有 1 a0；令 x 1，有 1 a0 a1 a6，a1 a2 a6 0.玩转数学优秀之路安老师课堂变式训练(2015 新课标II 理)( a x)(1 x)4 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a _.答案3解析设 (a x)(1 x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，令 x 1，得 16(a 1) a0 a1 a2 a3 a4a5，令 x 1，得 0 a0 a1 a2 a3 a

10、4 a5.，得 16(a 1) 2(a1 a3 a5)，即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1a3a5 8(a 1)，所以 8(a1) 32，解得 a 3.解题要点1.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a， b 的一切值都成立因此，可将a，b 设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“ 1、 1 或 0”，有时也取其他值2一般地，若2nf(1) ，奇数f( x) a0 a1 xa2x anx ，则 f(x) 的展开式中各项系数之和为项系数之和为a0 a2 a4 f（ 1） f（ 1），偶数项系数之和为 a1 a3 a5 2f（ 1） f（ 1）2.

11、当堂练习1 (2015 湖南理 )已知a5的展开式中含的项的系数为 30，则 a ()xxA. 3B 3C 6D 6答案D解析xa5的展开式通项r( 1)r r(1)r r r，令53xTr 1 C5aa C52 r ，则2r 1，T2 aC51， aC51 30， a 6，故选 D.2在2x21 5 的二项展开式中，x 的系数为 ()xA10B 10C40D 40答案D解析因为2x21 5 的展开式的通项为Tk 1C5k(2x2) 5 k 1 k C5k25 k( 1)kx10 3k，xx令 10 3k1 得 k 3，所以 x 的系数为35 33C52( 1) 40.故选 D.3. 若 (x

12、 1)5 a5( x 1)5 a1(x 1) a0，则 a0 和 a1 的值分别为 ()A 32,80B 32,40C 16,20D 16,10答案A玩转数学优秀之路安老师课堂解析由于 x 1 x1 2，因此 (x 1)5 (x 1) 25，故展开式中 (x1) 的系数为 C4524 80.令 x1，得 a0 32，故选 A.a 7的展开式中14若二项式 (2x x)x3的系数是84，则实数 a 等于 ()A 254C 1D.2B.4答案C解析a 7的展开式的通项公式为r7r a rr 7 r r 7 2r，二项式 (2x)Tr 1 C7(2x)() C72 a xxx令 7 2r 3，得 r

13、 5.1525故展开式中 x3的系数是C72 a 84，解得 a 1.5 (2015 新课标 II 理 )( ax)(1 x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a_.答案3解析设 (a x)(1 x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，令 x 1，得 16(a 1) a0 a1 a2 a3 a4a5，令 x 1，得 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5.，得 16(a 1) 2(a1 a3 a5)，即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1a3a5 8(a 1)，所以 8(a1) 32，解得 a 3.课后作业一、 选择题1 (2015 陕西理 )二

14、项式 (x 1)n(n N )的展开式中 x2 的系数为15，则 n 等于 ()A 4B 5C 6D 7答案C解析n2n 22n n 1 15，解得 n 6.由题意易得： Cn15， Cn Cn15，即22 (2014 川四)在 x(1 x)6 的展开式中，含x3 项的系数为 ()A30B 20C 15D 10答案C解析因为 (1x)6 的展开式的第 r 1 项为 Tr 1 C6rxr，x(1 x)6的展开式中含x3 的项为 C62x3 15x3，所以系数为 15.3 (2014 南湖)(1x 2y)5的展开式中 x2y3 的系数是 ()2玩转数学优秀之路安老师课堂A 20B 5C5D20答案

15、A解析(1x 2y)5展开式的通项公式为2当 r 3 时， C35(1)2( 2)3 20.2r 15 rrr1 5 rr5 rrTr 1 C5( x)( 2y) C5()( 2)xy .2216的展开式中，常数项为()4在x 3x55A 3B3C 5D 5答案A解析根据二项式定理可得x16的第 n 1 项展开式为n( x)n16 n3xC63x3n6n16n x 23n416 45，则当 6 0，即 n 4 时，则常数项为.C632C633215在 (x x)A10答案D5 的二项展开式中，第二项的系数为()B10C5D 5解析展开式中的第二项为1 2)511 11T2C5(x()，所以其系

16、数为 C5 5.x6已知 (xa)8 展开式中常数项为 1 120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是x()A28B 38C1 或 38D1 或 28答案C解析由题意知 C84 (a)41 120，解得 a 2，令 x 1，得展开式各项系数和为 (1 a)8 1或 38.7在 (x 1)n 的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()23xA 7B 7C 28D 28答案B解析r 18 r( 1)r47.由题意有 n8， Tr 1 C8( )x8 r ，r 6 时为常数项，常数项为238若x a2x 1 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ()

17、xxA 40B 20C20D 40玩转数学优秀之路安老师课堂答案D令 x1，即可得到a1 51 a 2，所以 a 1，解析x x2x x的展开式中各项系数的和为a1 511 51 5x x2x x x x2x x，要找其展开式中的常数项，需要找2x x的展开式中的1r5r1 rr 5 rr5 2rx 和 x，由通项公式得Tr 1 C5(2x)x( 1)2C5x，令 5 2r 1，得到 r 2401或 r 3，所以有 80x 和 x 项，分别与 x和 x 相乘，再相加，即得该展开式中的常数项为80 40 40.二、填空题317的展开式中5的系数是 _(用数字填写答案 )9 (2015 安徽理 )

18、 xxx答案35解析3 17的展开式的第r 3 7 r1rr 214r，令 21 4r 5，得 rx r 1 项为 Tr 1 C7(x ) C7xxx 4， T5C47x5 35x5.10 (2015 天津理 )在 x162的系数为 _4x的展开式中， x答案1516111rx6解析x 4x6 的展开式的通项Tr 1 C6rx6r 4x r C6r 42r；221 215当 6 2r 2 时， r 2，所以 x的系数为C6 416.11 (2015 北京理 )在(2 x)5 的展开式中， x3 的系数为 _(用数字作答 )答案40解析展开式通项为： Tr 1 C5r25 rxr ，当 r 3 时，系数为 C5325 340.三、解答题12已知 (17272x) a0 a1xa2 x a7x .求： (1)a1 a2 a7；(2) a1 a3 a5 a7；(3) a0 a2 a4 a6；解析令 x1，则 a0 a1a2a3 a4 a5 a6 a7 1.令 x 1，则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6a737.(1