两角差的余弦公式教案(示范课)

1、3.1.1 两角差的余弦公式教案玉林高中数学科 授课人：饶蔼一 . 教材分析本节课选自人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换第一节课“3.1.1 两角差的余弦公式”。变换是数学的重要工具，而三角恒等变换处于三角函数知识 与数学变换的结合点和交汇点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养 学生推理能力和运算能力的重要素材。两角差的余弦公式是“三角恒等变换”这 一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽 量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问 题的意识和能力。教材里面没有直接

2、给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、 证明结果两步进行，从简单情况入手得出结果，有利于学生学会探究和思维的发 展.由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方 法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注 意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路 .二 . 教学目标1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式” ，通过 公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公 式打好基础 .2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、 合作交流的能力；

3、通过两角差的余弦公式的简单运用 ,掌握不同方法求值 .3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来 源于生活，激发学生的学习积极性 .三教学重、难点1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用 .2. 难点：探究过程的组织和适当引导 .四学情分析学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同 角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个 向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他 一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力， 但利用向量的数量积公式证明

4、两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不 严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别 .五 . 教法、学法1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学 .2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等 .六.教学过程(一) 创设情境，弓I入课题金城超市电梯长度约为8米，坡度(与地面夹角)约为30度，请问当我们上完电 梯后，在水平方向上前进了多少米？设前进量为x米，则 x 8cos30 4 3米提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x等于多少？答：x 8cos45 4 2 米提问：当电梯坡度为15度时，此时x又等于多少？答：x 8cos15 米问题1

5、： cos15等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为 数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学 习兴趣;(二) 探究归纳，提出猜想问题2：对任意的，cos( ) cos cos是否成立？1.思考：15能否用特殊角表示？预案 1: cos 15 cos(45 30 )问：cos15 cos45 cos30是否成立？为什么？预案 2： cos 15 cos(60 45 )问：cos15 cos60 cos45是否成立？为什么？【设计意图】让学生经历提出假设证明假设的过程，知道要证明一个假设

6、不成立,只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。2.探究：cos15能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？ 提示：构造特殊三角形或利用单位圆、向量知识 预案1:构造直角三角形AAB 1 BC 2 5/3AC V61cos15预案2:OA?OBcos45 ,sin45 )cos45 cos30又 OA?OBcos(45pA ? OB coscos cos(45sin 45 sin 3030 )30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30V Y(cos30 ,sin30 )利用单位圆、向量知识(cos 45 , sin 45 )?(cos30 ,sin30 )问题4：如何探讨，

7、的任意性?得出结论：cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30提出猜想：对任意的，都有cos( ) cos cos sin sin .【设计意图】通过求cos15的值，让小组展示成果，不仅培养学生合作探究能力、表 达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题， 从特殊情况迁移到一般情况下的讨论，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。(三) 小组合作，证明猜想问题3:以上探究cos15值时，都是用到特殊角来求值，对一般情况下的角是否 成立？探究：证明对任意的，都有cos( ) cos cos sin sin预案1：利用单位圆、向量知识。OA

8、 (cos ,sin ) OB (cos ,sin ) OA?OB (cos ,sin )?(cos ,sin ) cos cos sin sin又 OA?OB OA ? OB cos( AOB)cos( ) cos cos sin sin若贝U cos( ) cos cos sin sin而2kcos( ) cos(2k ) coscos cos sin sin预案2:利用三角函数线xOP此时，过P点作垂线PA丄OPi于点A,PM 丄 Ox 于点 M. cos( ) OM 过A点作垂线AB丄OM于点B, 过P点作垂线PC丄AB于点C.则PACOM OB BM OB CPOAcos APsin

9、cos cos sin sin定义:,都有cos()cos cos sin sin，称为差角余弦公式。cos( ) cos cos sin sin记为：C() cc ss，特征：任意角、同名积、符号反【设计意图】本环节由小组展示探究过程，让学生根据已有的经验(探究 cos15 证明一般情况下的结论，符合学生的思维发展规律。通过各种方法的证明和教师适当 的点评、指导，起到突出本节课重点的作用。在探究角的任意性过程中，也培养了学 生严谨的逻辑思维能力。(四) .小试牛刀，学以致用例1：利用差角余弦公式求cos15的值？法 1: cos15 cos(45 30 ) cos45 cos30sin45

10、sin30.23216, 222224法 2： cos15 cos(60 45 ) cos60 cos45sin60 sin451 _2 3 _22 一 62 2224变式1：利用差角余弦公式求cos75的值？法 1: cos75 cos(12045 ) cos120 cos45 sin 120 sin451 23-2 一6 一22 2224法 2： cos75 cos45 ( 30 ) cos45 cos( 30 ) sin45 sin( 30 )cos45 cos30 sin45 sin30_3_21 一6 一 222224【设计意图】通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立 其他和差公式打好基础；通过变式的应用，培养学生用多种方法解决问题的能力。（五）课堂小结，回顾反思1这堂课你学到了什么内容？如何学习的？ 学习了差角余弦公式； 假设猜想一反证否定一用向量、三角函数线探究公式 一证明结论一公式应用 2学习与应用过程中，你有什么体会？ 证明一个假设不成立，只需举出反例即可。 探究证明公式过程中，可以通过特殊情况去讨论证明一