考点二十二一元二次不等式与简单的分式不等式的解法

1、玩转数学优秀之路安老师课堂考点二十二一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1 一元一次不等式的解法一元一次不等式axb( a 0)的解集为b(1) 当 a0 时，解集为 x|xa.b(2) 当 a0 时，解集为 x|xa.2. 一元二次不等式的解法判别式 b2 4ac二次函数y ax2 bx c(a 0) 图象一元二次方程的根ax2 bx c 0(a 0)的解集ax2 bx c0( a0)000有两相异实根 b有两相等实根x1，无实根2ax1 x2 b b2ax22a1或 x x2b ， x RR x|x x x|x 2a x|x1xx2 ?口诀：大于取两边，小于取中间3 分式不等式的解

2、法f(x)f(x)(1)g(x) 0f( x) g(x) 0， g(x) 0f(x)g(x) 0；f(x) 0f(x) g(x) 0，f(x) 0f( x) g(x) 0，(2)，；g(x)g(x) 0，g(x)g(x) 0，(3)f(x) mf( x) m 0f(x) m g(x) 0g(x)g(x)g(x)4 简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解作图口诀： “自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点玩转数学优秀之路安老师课堂例如解不等式x

3、(x 1)2(x2)3 0，在作图时，由于0,2 这两个根分别是1 个、 3 个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而 1 这个根有 2 个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x 1)2(x2)3 0 解集为 x|x 0 或 x 2 5 几点注意事项(1) 对于不等式 ax2 bx c 0(或 0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分 a 0 和 a 0 讨论f(x) m 时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g(x)正负不确(2) 解分式不等式 g( x)定正确做法是移项将右边化为0，即化为 f(x) m0，然后通分求解g(x)典例剖析题型一一元

4、二次不等式解法例 1 解下列不等式(1) 3x2 2x 8 0；(2) x2 3x 2 0；解析 (1)原不等式可化为 3x2 2x 8 0，即(3x4)(x2) 0.解得 2 x 43，4所以原不等式的解集为x 2 x 3.(2) 原不等式可化为 (x 1)(x 2) 0，解得 x 1 或 x 2所以原不等式的解集为变式训练解不等式 x| x 1 或 x 2 0 x2 x 2 4解析原不等式等价于x2 x2 0，x2 x 2 0，2 x2 42xx x 6 0玩转数学优秀之路安老师课堂x 2 x 1 0，x 2或 x 1，x 3 x 2 0 2 x 3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为

5、 x| 2 x 1或 2 x 3 .解题要点求解一元二次不等式时， 一般先通过变形， 将不等式右边化为0，左边 x2 前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集题型二分式不等式解法例 2不等式 x 3 0 的解集为 ()x 1A x|x1 或 x 3B x|1 x 3C x|1x 3D x|1x3答案Cx 3 x 1 0，解析原不等式可化为x 1， 1 x 3.变式训练函数 f(x)1x的定义域为 ()x2A -2,1B (-2,1C -2,1)D (-， -2 1， )答案B解析1 x 0x 1 0x 2x 2x 1x 2 0， 2 x 1， 20 的解集是

6、x|x4 ，则 a b _答案 3解析由题意知， 1，4 为方程 x2 (a 1)x ab 0 的两根，a 1 3，ab 4. a 4， b1. a b 3.变式训练已知 f(x) ax2 x c，不等式f(x) 0 的解集为 x| 2 x 1 ，则 a_ ，c_答案1， 2玩转数学优秀之路安老师课堂解析由根与系数的关系知1 2 1， c 2，得 a aa 1， c 2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系， 一元二次函数与 x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根， 利用一元二次方程的根， 结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对

7、应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值题型四一元二次不等式恒成立问题例 4 若不等式 mx22x 10 恒成立，则 m 的取值范围是 _答案 (， 1)解析由m0，解得 m 1.（ 2）2 4m（ 1） 0 对一切实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围为 _ 答案(，2)( 2， )解析由题意，知4 4 1 (k2 1)2， k 2或 k0 ，(1) 不等式 ax2 bx c0 对任意实数 x 恒成立或c0，0.(2) 不等式 axa b 0，a0 ，2 bx c0 对任意实数 x 恒成立或c0，0.题型五含参数一元二次不等式解法例 5解关于 x 的不等式 x2 2ax 3a2

8、0(a R ，a 0)解析由 x2 2ax 3a2 0 知(x3a)( xa)0.由于 a 0 故分 a 0 与 a 0 讨论当 a 0 时， x 3a 或 x a；当 a 0 时， x a 或 x 3a.综上， a0 时，解集为 x|x 3a或x a ；a 0 时，解集为 x|x3a或 x a .解题要点对含参数一元二次不等式主要分三种讨论：讨论二次项系数、讨论，讨论两根的大小，具体如下：(1) 当二次项系数含有参数应讨论是系数等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2) 当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与 0 的关系玩转数学优秀之

9、路安老师课堂(3) 当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式当堂练习1（ 2015 江苏）不等式 2x2 x 4 的解集为 _答案 x| 1 x 2解析 2x2 x4 22， x2 x 2，即 x2 x2 0，解得 1x2.x 22不等式 x2 10的解集为 ()A. x|1x2B. x|x2 且 x1C. x|1x2 且 x1D. x|x 1 或 1x2答案D解析(x 2)(x21)0 ，(x 1)(x 1)(x 2)0 ，数轴标根可得， x 1 或 1x2，故选 D 项x13. 不等式 x20 的解集为 ()A (1， )B (， 2)C (2

10、,1)D (， 2) (1， )答案C解析原不等式化为 (x1)(x 2)0，解得 2 x1，原不等式的解集为( 2,1)4已知不等式 ax2bx 1 0 的解集是 1，1，则不等式 x2 bxa 0 的解集是 ()23A (2,3)B (， 2) (3， )C.1， 1D. ， 1 1，3232答案A解析由题意知1， 1是方程 ax2 bx1 0 的根，所以由根与系数的关系得1 12323b111 a， 2 3 a，解得 a 6， b 5，不等式 x2 bx a 0即为 x25x 6 0，解集为 (2,3)，故选 A.5若关于 x 的不等式1x2 (2 m)x0 的解集是 x|0x2 ，则实

11、数 m_.2答案3解析由题知 x 0 或 x 2 是方程 1x2 (2 m)x0 的根，可得 m 3.2课后作业一、 选择题玩转数学优秀之路安老师课堂x 1 0 的解集为 ()1不等式 2x 1A.1， 1B.1， 1C. ， 1 1， )D.， 1 1， )2222答案Ax 1x 1 2x 1 0，解析不等式0? 11B x|x 1C x|x 1 或 x 2D x|x 2 且 x 1答案Cx20 ，解析由 (x 1)x 20，可知或 x 2 0，解得 x 1 或 x 2.x 1 03若 0m 1，则不等式 ( xm)(x 1 ) 0 的解集为 ()mA x| 1 xmB x|x 1 或 xm

12、C x|x m 或 x 1D x|mx 1 mmmm答案D解析当 0m1 时， m0 的解集为 x| 1x2 ，则不等式2x2 bx a0 的解集为 ()11A x| 1x2B x|x2C x| 2x1D x|x1答案A解析由题意知 x 1， x 2 是方程 ax2 bx 2 0 的根 1 2 b，a 1，a由韦达定理2?b 1. 1 2a不等式 2x2 bx a0，即 2x2 x 10.可知 x 1， x1A.2是对应方程的根，选5若不等式 ax2bx c 0 的解集是 ( 4,1)，则不等式 b(x2 1) a(x 3) c0 的解为 ()A.4， 1B (， 1)4，C ( 1,4)D

13、(， 2) (1， )33答案A玩转数学优秀之路安老师课堂解析由不等式ax2 bxc 0 的解集为( 4,1)知a 0， 4 和1 是方程ax2 bx c0 的两根，所以41 b， 4 1 c，即aab 3a，c 4a.故所求解的不等式为3a(x2 1)a(x 3)4a 0，即 3x2 x 4 0，解得 43 x 1.20的解集为 ()6不等式 34x 4xA.13B.13x x2x x 0或 1x222C. x 1x 0或1 x3D.x 1 x 3，且 4x 4x2 0，1 3解得： 2x2，解得： x 0 或 x 1，取交集得：13x 0 或1 x，22所以原不等式的解集为13x 2x 0或 1 x2.7函数 f(x) x 21的定义域是 ()23x xA x|2 x 3B x|2 x3C x|0x3答案Bx2 0，x2，所以 2 x0，0x3， x|2 x0 的解集为 _(用区间表示 )答案( 4,1)解析不等式 x2 3x 40，即 x2 3x40 ，解得 4x0 的解集是 x| 3x0 的解集是 x| 3 x1 ， 1 a1.2于是原不等式可化为(a1)x 4x 60，其解集为 x| 3x1 ， 3 14，由a 1解得 a3. 3 16，a 1三、解答题12二次函数 f(x)满足 f(2)