解三角形知识点汇总和典型例题

1、解三角形讲义授课对象杨文、黄银授课教师程锐授课时间3月11日授课题目解三角形复习总结课型复习课使用教具人教版教材教学目标熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教学重点和难点灵活解斜三角形参考教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解、知识必备:1 直角三角形中各元素间的关系:在厶 ABC中，C= 90,AB= c, AAC b, BG= a。(1) 三边之间的关系:a2 + b2= c2。(勾股定理)(2)直角之间的关系:A+ B= 90 ;(3)边角之间的关系:(直角三角函数定义)sin A= cos B= a , cos A= sin B= b , ta

2、nA= a。 ccb2 斜三角形中各元素间的关系:在厶ABC中, A B、C为其内角，a、b、c分别表示 A B C的对边。(1 )三角形内角和:A+ B+ C= n。(2) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等sinA sinB sinC 2R (R为外接圆半径)(3) 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍-a2= b2 + c2 2bccosA; b2= c2 + a2 2cacos B; c2= a2+ b2 2abcos C。3 三角形的面积公式：a、b、111 一 亠(1) S = _ aha= bb= chc (h

3、a、hb、he 分别表示 a、b、c 上的咼)；2 2 2111(2) S = absin C= besin A= acsin B； 一 2224.解三角形：由三角形的六个元素 (即三条边和三个内角) 中的三个元素(其中至少有一个是边) 求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平 分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：(1) 两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角(2) 两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两

4、角5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。(1 )角的变换因为在 ABC 中，A+B+Cn，所以 sin(A+B)=sinC ； cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= tanC。.A B CAB. Csin cos , cos sin ；2 2 2 2(2) 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式6 .求解三角形应用题的一般步骤：(1 )分析：分析题意，弄清已知和所求；(2) 建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；(3) 求解：正确运用正、余弦定理求解；(4) 检

5、验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1 :正、余弦定理例1. (1 )在ABC 中，已知 A 32.00, B 81.80, a 42.9cm,解三角形；(2) 在ABC中，已知a 20cm, b 28 cm, a 400，解三角形(角度精确到 10，边长精确到 1cm)。解：(1)根据三角形内角和定理，C 180 (A B) 180 (32.0 81.8) 66.20 ；根据正弦定理，,asinB 42.9sin81.80 “ 越、 b080.1(cm)；si nAsi n32.00根据正弦定理，asinC 42.9sin66.20c074.1(cm).si nAsi n32.

6、0(2)根据正弦定理，sinB吨A 28sin40 a200.8999.因为 00 V B V 1800，所以 B 640 ,或 B 1160.当 B 640 时，C 1800(AB) 1800(4000 064 ) 76 ，c 蛰C 20s啤 30(cm). si nAsin4O0当B 1160时, 0C 180 (A B)0 0 -180(40116 )024，cas inCsi nA20s：04 13(cm).sin40点评：应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形;(2)解法一：先解三角方程，求出角sin A cos A . 2 cos(A45 )

7、对于解三角形中的复杂运算可使用计算器. 题型2 :三角形面积例 2 在 ABC 中，sinA cosA 2 , AC 2 , AB 3，求 tanA 的值和 ABC 的面积。 2A的值。1cos(A 45 )2tan A tan(45 60o)sinAsin105 sin(4545o60o, A105o60) sin45co$60 cos45 sin60264S ABC1AC AB sin A 12 3*26)。2244解法二:由sin A cosA计算它的对偶关系式 sin A cos A的值。sin AcosA 2221)(sin A cosA)2sin AcosAQ0o A 180,12

8、12sin A0,cosA 0.另解(sin2A2(sin A cosA) 12sin AcosAsin A cosA+得si nA、2 6一得cos A从而 tan A sin AcosA4、2 .6以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是 一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢?题型3 :正、余弦定理的综合应用例3 在ABC中，a、b、c分别是/A、/ B Z C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a22c =ac bc,求/ A的大小及bsin B的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求/

9、A,需找/ A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为b2=a,再用正弦定理可求cbsinB的值。解法一： a、b、c成等比数列， b2=ac。又 a2 c2=ac bc,.2 2 2 . b +c a =bc。.2 2 b c 在厶ABC中，由余弦定理得：cosA=2bca2 _ be _ 1=2bc = 2，/ A=60o在厶ABC中,由正弦定理得 sin B= bsin A ,T b2=ac, a/ A=60b sin B2b sin 60=sin60ac解法二：在ABC中,由面积公式得1 ibcsin A=acsin B2 22 2t b =ac,Z A=60,. bcsin

10、 A=b sin B。血=sinA=。 c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4:正、余弦定理判断三角形形状例 4 .在 ABC中，若 2cosBsin A= sinC，则 ABC的形状一定是（A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案:解析:2sin AcosB= sin C =sin (A+ B) =sinAcosB+cosAsinB(A B)= 0,. A= B另解:角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通 畅解题途径-题型5:三角形中求值问题例5. ABC的三

11、个内角为ABB、C，求当A为何值时，cosA 2cos于取得最大值，并求出这个最大值。B+C n解析：由A+B+C=n，得22A，所以有 cosB2-C=sin A。B+CAcosA+2cos =cosA+2sin 2=12AAA 1 2 32sin + 2sin ?= 2(sin? ?) + 彳；AA口亠QQ当sin A =-，即A=y 时，cosA+2cos 石取得最大值为-。通过三角函数的点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式, 性质求得结果。题型6 :正余弦定理的实际应用例6. (2009辽宁卷文，理)如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，

12、B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为 75，30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为 60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，a然后求B, D的距离(计算结果精确到 0.01km， 辽 1.414，2.449 )解：在 ABC中，/ DAC=30 , /ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又Z BCD=180 60- 60 =60，在厶ABC中,ABACACs in60AB故CB是ACAD底边AD的中垂线，所以 BD=BA20sin BCA sin ABC 即 AB= sin150.33km。因此，B

13、D= 20故B，D的距离约为 0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低， 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中 基本的数量关系即可过关。三、思维总结1.解斜三角形的常规思维方法是：(1 )已知两角和一边(如 A B、C)，由A+BC= n求C,由正弦定理求 a、b;(2) 已知两边和夹角(如 a、b、c)，应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C= n，求另一角；(3) 已知两边和其中一边的对角(如a、b、A，应用正弦定理求B，由A+BC=n求C,

14、再由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况；(4) 已知三边a、b、c，应余弦定理求 A B,再由A+B+C = n，求角C。2 三角学中的射影定理：在 abc中，b a cosC c cos A，3 两内角与其正弦值：在 abc中，A B si nA sin B，4 .解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。三、课后跟踪训练sin A:sin B:sin C5:11:13 ,则厶ABC（）(A)定是锐角三角形（B）定是直角三角形.(C)(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形定是钝角三角形解析：由 sin A:sin

15、B:sin C5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:132 2由余弦定理得cosc 511132130 ,所以角C为钝角1. （2010上海文数18.）若厶 ABC的三个内角满足2 5 112 22. （ 2010天津理数 7）在厶ABC中，内角 A,B,C的对边分别是a,b,c，若a bsin C 2巧sin B，则 a=（）（A）300（ B）600（ C）1200（ D） 1500【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由正弦定理得C 2 3b c 2Gb，2R 2R.2 2 2-b +c -a所以cosA=2bc屉c c2 = 73bc 2

16、3bc2bc2bc，所以 A=3002【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3. ( 2010 湖北理数)3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60，则 cosB =-_6 D363【答案】【解析】根据正弦定理sin Ab 可得 sin B15sin 60匹解得sinB ，又因为sin B3b a，则故B为锐角，所以cos B萌sin2 B“，故D正确.3,A+C=2B,4.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C所对的边，若a=1,b= 3则 sinC=.解析 设 AJB2 .由正弦定理得ACBCAC4AC

17、osi n2sin ,2cos1cos2.由锐角ABC 得 0o290o0o45o,又0o180o 390o30o60o,故30o45o2cosJ22AC2cos（月，.3）.范围为6. （2009全国卷I理）解：由 A+C=2B及 A+ B+C=180 知，B=601-由正弦定理知，snA3，即 sin A 1 由2sin 60oa b 知，A B 60o，则A 30,C 180o A B 180o30o 60o 90o,sinC si n90o 15 （2009湖南卷文）在锐角ABC 中，BCAC1,B2A,则一的值等于cos AAC的取值在 ABC中，内角a、b、c的对边长分别为a、b、

18、c，已知c2 2b,且 sin AcosC3cosAsinC,求 b分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手.对已知条件2 2（i）a c2b左侧是次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件sin AcosC 3cosAs inC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分解法：在 ABC中则Q sin AcosC 3cos Asin C,由正弦定理及余弦定理2,2 2 ,2 2 2 a b c b c a 有：ag32ab2bcsc,（角化边）化简并整理得：2（a2c2） b2.又由已知 a2 c2 2b 4b

19、 b2.解得b 4或b 0（舍）.7在 ABC中，已知A B、C成等差数列，求tanA tan C3ta nAta nC的值。2 2 2 2解析：因为 A、B C成等差数列，又 A+ B+ C- 180 所以A+ C= 120ACa C从而=60,故tan3.由两角和的正切公式，得2 2Atan 2彳 + A* C1 tan tan2 2Ctan2所以 tanA tanC 33tanAtanC,2 2 2 2tanA tanC3tanAtanC3。2 2 2 2点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解,同时结合三角变换公式的逆用。8.（ 2009四川卷

20、文）在 ABC中，A、 B为锐角，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c,且 sin A10 Tq-（i ）求A B的值；（ii ）若a b 21，求a、b、c的值。解（I ）T A、 B为锐角，si nA510cosA.1 sin2 ASsB1 sin2B3 .1010cos(AB)cos AcosE245 sin Asi nB -3 10105105102 0ABAB-4(II )由(I）知C Li C丘，sin C -42由abc得sin AsinBsi nC.5a , 10b 2c，即 a . 2b, c . 5b又 a b 2 12b b .2 1 b 1a 、2,c9. （2010陕西文数17）（本小题满分12分） 在厶ABC中，已知 B=45 ,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6 求 AB的长. 解 在厶 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos AD2 DC2 AC2 =100 36 19612ADgDC2 10 62ADC=120 ,ADB=60在厶 ABD中，AD=1