求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

1、sn=n(a1+an)=na1+d求数列前n项和的七种方法1.公式法等差数列前n项和：n(n+1)22特别的，当前n项的个数为奇数时，s2k+1=(2k+1)ak+1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，sn=na1()q1，sn=a11-qn1-q，特别要注意对公比的讨论。1、s=k=1n(n+1)2、s=k26其他公式：nn12=n(n+1)(2n+1)nnk=1k=13、s=knnk=131=n(n+1)22例1已知logx=3-1log32，求x+x2+x3+xn+的前n项和.(n+sns例2设sn1+2+3+n，nn*,求f(n)=

2、32)的最大值.n+12.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.例3求和：s=1+3x+5x2+7x3+(2n-1)xn-1n例4求数列2462n,232222n,前n项的和.练习：求：sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-13.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5求数列的前n项和：1+1,111+4,+7,aa2an-1+3n-2，s=k(k+1)(2k+1)(2k3+3k2+

3、k)例6求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设a=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+kknnnk=1k=1sn2k3+3k2+k将其每一项拆开再重新组合得nnnk=1k=1k=1（分组）n2(n+1)22(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n)n(n+1)(2n+1)n(n+1)+222（分组求和）n(n+1)2(n+2)2练习：求数列1,2,3,(n+),的前n项和。11112482n4.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通.项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：（

4、1）a=f(n+1)-f(n)（2）ncosnsin1oocos(n+1)o=tan(n+1)o-tannon(n+1)nn+1111=-（3）a=（4）a=nn(2n)2111=1+(-)(2n-1)(2n+1)22n-12n+1（5）a=n1111=-n(n-1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)a=n+2=-,则s=1-n(n+1)2nn(n+1)2nn2n-1(n+1)2n(n+1)2n(6)12(n+1)-n1111=nn1+2,例7求数列112+3,1n+n+1,的前n项和.，又b=，求数列bn的前aa例8在数列an中，an=n项的和.12n+n+1n+1n+1n2nn+

5、15.合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求sn.例9求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.解：设sncos1+cos2+cos3+cos178+cos179cosno=-cos(180o-no)（找特殊性质项）sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+（cos89+cos91）cos90（合并求和）0例10数列an：a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1-an，求s2002.解：设s2002a1+a2+a3+a2002由a=

6、1,a=3,a=2,a123n+2=an+1-a可得na=-1,a=-3,a=-2,456a=1,a=3,a=2,a=-1,a=-3,a=-2,789101112a6k+1=1,a6k+2=3,a6k+3=2,a6k+4=-1,a6k+5=-3,a6k+6=-2a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+4+a6k+5+a6k+6=0（找特殊性质项）s2002a1+a2+a3+a（合并求和）2002(a+a+a+a)+(a+a+a)+(a123678126k+1+a6k+2+a6k+6)+(a1993+a1994+a1998)+a1999+a2000+a2001+a2002a1999+a200

7、0+a2001+a2002a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+45例11在各项均为正数的等比数列中，若aa=9,求loga+loga+loga的563132310值.6.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.1111例12求1+11+111+123之和.n个1解：由于111231=19992439=(10k-1)（找通14k个11199k个11项及特征）11111+11+111+123n个1111(101-1)+(102-1)+(103-1)+(10n-1)9999（分组求和）(10

8、1+102+103+10n)-(11+4412+441)+311991+n个1110(10n-1)n-910-19181(10n+1-10-9n),求(n+1)(a-a例13已知数列an：an=8(n+1)(n+3)n=1nn+1)的值.)=8(n+1)1解：(n+1)(a-an项及特征）n+11-（找通(n+1)(n+3)(n+2)(n+4)811+(n+2)(n+4)(n+3)(n+4)（设制分组）4(1111-)+8(-)n+2n+4n+3n+4(n+1)(a)=4(-a-)+8(-)（分组、（裂项）裂项求和）nn+1n=1n=11111n+2n+4n+3n+4n=114(+311)+844133sn=9(10-1)+9(102-1)+9(103-1)+9(10n-1)=5（10+102+103+10n）-n练习：求5，55，555，的前n项和。9解：an=5(10n-1