第18课-利用导数研究函数的单调性

1、第 18 课利用导数研究函数的单调性基础知识：1. 函数的单调性与导数在 (a, b) 内的可导函数 f (x) ， f ( x) 在 (a,b) 任意子区间内都不恒等于0.f( x)0f ( x) 单调递增；f (x) 单调递增f (x)0 （但不恒为0）；f( x)0f (x) 单调递减；f (x) 单调递减f (x)0 （但不恒为0） .一、典型例题1.函数 yf x 的导函数 yf x 的图像如图所示，则函数 y fx 的图像可能是（）.A.B.C.D.答案： D解析：原函数先减再增，再减再增，且x0 位于增区间内，因此选D.2.若函数 f (x)1sin 2xa sin x 在 (

2、,) 单调递增，则 a 的取值范围是（）.x3A.1,1B.1,1C.1, 1D.1,13333答案： C解析：函数 f ( x)x1a sin x在 (,) 单调递增，sin 2 x3等价于 f(x)12 cos2 xa cos x4 cos2 xa cos x50在 (,) 恒成立，333g145045a311设 cosxt ，则 g tt2at1,1恒成立，所以3，解得a30 在43，3g153a033故选 C.3. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数，f1 0，xfxfx0) ，则不等式 xf x0 的解集x20( x是 _.答案：,11,解析：设函数 g xfxxxfxf x，

3、当 x0 时，gx0 ， gx 的单调递增区间为0,，则 gxx2gfxfxg x为偶函数，gx 单调递减区间为,0，f 10 ，xg x ，则函数xxg 10, g10 ，所以当 x1 时，gx0，当1x 0 时，gx0，当 0 x1时，g x0，当 x1 时， gx0 .因为不等式xfx0等价于 g x0，而当 x1 或 x1 时， gx0 ，故不等式xf x0 的解集 x | x1或 x1 ，即不等式 xfx 0 的解集是, 11,.二、课堂练习1.设 f xxsin x, x0f x （） .x31,x0，则函数A. 有极值B. 有零点C. 是奇函数D. 是增函数答案： D解 析 ：

4、由 x0, f (x)xsin x ， 导 数 为 f( x) 1 cos x0 ， f ( x) 递 增 ； 又 x 0, f ( x)x3 1 递 增 ， 且f (0) 1 0sin 0 ，故 f ( x) 在 R 上递增； f ( x) 无极值和无零点，且不为奇函数.故选D.2.已知函数f xx33ax 在 1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） .A.1,B.1,C., 1D.,1答案： A解析： f xx33ax ，fx3x23a . 又函数f x 在1,3上单调递增， f x 3x33a 0 在 1,3上恒成立，即ax3 在1,3上恒成立 . 当 x1,3时，x31 ， a

5、1 . 所以实数 a 的取值范围是1,.故选A.3.已知函数 f (x)lnx ln(2x) ，则（） .A.f (x) 在 (0,2) 单调递增B.f (x) 在 (0,2) 单调递减C.y = f (x) 的图象关于直线x1对称D.y = f (x) 的图象关于点(1,0) 对称答案： C解析：由题意知，f (2x)ln(2x)ln x f (x) ，所以 f ( x) 的图象关于直线x1 对称，故 C 正确， D错误 .由 f ( x)11x2(1x) (0x2)，可知当 x (0,1) 时，fx0 ， fx单调递增，当x (1,2)时，x2x(2x)fx0 ， fx单调递减，故A ，B

6、 错误 .故选 C.三、课后作业1. 已知函数f ( x)2ln xx ，则 f (x) 的单调区间为（）.A. 单减区间是 (0,2)，单增区间是 (2,)B. 单增区间是 (,2) ，单减区间是 (2,)C. 单增区间是 0,2)，单减区间是 (2,)D. 单增区间是 (0,2)，单减区间是 (2,)答案： D解析： f(x)212 x ( x0) ，当 x(0,2) 时， f (x) 0 ，当 x(2,) 时， f ( x)0，故 f (x) 的单增区xx间是 (0,2)，单减区间是 (2,) ，故选 D.2. 设 f x 是函数 fx 的导函数， yfx 的图象如图所示，则 yfx 的

7、图象最有可能的是（）.A.B.C.D.答案： C解析：由题意可知， 当 x0 或 x2 时， fx0， fx 单调递增， 当 0 x 2 时，函数单调递减， 所以 x0是函数的极大值点，x2 是函数的极小值点；所以函数的图象只能是C. 故选 C.3.当0x1 时， fxlnx ，则下列大小关系正确的是（）.xA.f 2 xf x2f xB. f x2f 2 xf xC. f xf x2f 2 xD. f x2f xf 2 x答案： D解析：由0x1 得到2，fx1 lnx，根据对数函数的单调性可知 0x 1 时， 1 lnx0 ，可0xx1x2得 fx0，函数 fx单调递增，所以fx2f xf

8、1 0 ；而 f 2xlnx20 ，所以有 fx2fxf 2x ，故选 D.x4.已知函数 fxx me 2x，曲线 yfx上存在不同的两点， 使得曲线在这两点处的切线都与直线yx平行，则实数 m 的取值范围是（） .A.1e 2 ,1B.1 e 2 ,1C.e 2 ,0D.1,1 e 2答案： A解 析 ：fxx me 2 x ,fxm12x e 2x ， 令 m12x e 2 x1 ， 得 m112x e 2 x ， 设g x1 2 x e 2x ， 则 g x4 x1 e 2 x ， 所 以 g x 在,1 上单调递减，在 1,上单调递增，gxg 1e 2 . 当 x, g x0 ， m

9、112 xe2x 有两个不同的解， 即 ym1与 y1 2xe 2 x的图象有两个不同的交点，e 2m1 0，解得 1e 2m1 ，实数 m 的取值范围是1e 2 ,1 ，故选 A.5.已知奇函数f (x) 的导函数 f ( x)1cosx ， x( 1,1). 满足 f (1x2 )f (1x)0，则实数 x 的取值范围是（） .A.(0,1)B.(1,2)C.( 2,2)D.(2,1)(1,2)答案： B解析：当1x1 时 ， 函 数 f (x) 的 导 函 数 f(x)1cosx0 ， f (x)在 (1,1)上单调递增，由f (1x2 )f (1x)0得 f (1x2 )f (1x) ，f (x) 为奇函数，f (1x) f ( x1) ，f (1 x2 )f ( x1) ，又 f ( x) 在 (1,1)单调递增，1x2x1且 11x1 且11 x21，解得 1x2.故选 B.6.已知函数 fx1xlnx （其中 a0 ， e2.7） .ax（ 1）当 a1时，求函数f x 在 1,f1点处的切线方程；（ 2）若函数 fx在区间2,上为增函数，求实数a 的取值范围 .答案：（ ）y0；（）1.12,2解析：（ 1） fx1xlnx ， fxx 21 （ x0 ）， f10 ， f 10 ， fx在点