111_任意角第1课时[1]

1、,1.1任意角和弧度制,第一课时 1.1.1 任意角,过去我们学习了0360范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是03600范围内的角.因此，仅有0360范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.,问题提出,探究（一）：角的概念的推广,思考1：对于角的图形特点有如下两种认识： 角是由平面内一点引出的两条射线 所组成的图形（如图1）； 角是由平面内 一条射线绕其端点从一个位置旋转到另 一个位置所组成的图形（如图2）

2、. 你认为哪种认识更科学、合理？,o,A,B,始边,终边,顶点,1.角定义：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形,射线OB,射线OA,如图1,如图2,思考3：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？,按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.,思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？,角的方向规定：,逆时针,顺时针,定义：,正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方

3、向旋转形成的角,零角：射线不作旋转时形成的角,任意角,生活中的例子,3.记法:用一个希腊字母表示;用三个大写的英文字母表示 (字母前面要写上,).,2.正角,负角,零角,画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.,A,B1,O,思考4：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 对于210， 150，660，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？,思考5：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别

4、旋转多少度才能将时间校准？,120，450.,思考6：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 5080=130,5080=30，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？,以50角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80所成的角.,思考7：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？,k360（kZ）,x,y,o,1)置角的顶点于原点,2)始边重合于X轴的非负半轴,思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？,探究（二）：象限角和轴线角,在平面直角坐标系中,总是将角

5、的顶点与坐标原点重合,角的终边与轴的非负半轴重合. (1)如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角; (2)如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,我们把它称为象限界角(或轴线角).,4.象限角和轴线角:,思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？,思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？,象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.,思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50，405，21

6、0, -200，450分别是第几象限的角？,思考5：在直角坐标系中，135角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135吗？,思考6：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？,象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.,注:象限角和轴线角的表示形式并不唯一,还有 其他的表示的形式.例如终边在轴的非正半轴上 的角的集合,.,也可以表示为,知识探究（三）：终边相同的角,思考1：30，330，390是第几象限的角？这些角有什么内在联系？,30,390,330,思考2：与30角终边相同的角有多少个？ 这些角与30角在数量上相差多少？,思考3：所有与30角终边相同的角，连同30角在内，可构成一个集

7、合S，你能用描述法表示集合S吗？,S=|=k360，kZ，即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.,思考4：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内所构成的集合S可以怎样表示？,思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？,x轴正半轴：= k360，kZ ； x轴负半轴：= 180k360，kZ ； y轴正半轴：= 90k360，kZ ；y轴负半轴：= 270k360，kZ .,思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？,终边在x轴上：S=|=k180，kZ；终边在y轴上：S=|=90k180， kZ.,思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分

8、别如何表示？,第一象限： S= | k36090k360，kZ； 第二象限： S= | 90+k360 180k360，kZ； 第三象限： S= | 180k360 270k360，kZ； 第四象限： S= | 90k360k360，kZ.,思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？,第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限：,S= | k36090k360，kZ；,S= | 90+k360 180k360，kZ；,S= | 180k360 270k360，kZ；,S= | 90k360k360，kZ.,思考8：如果是第二象限的角，那么2、/2分别是第几象限的角？,90k3601

9、80k360,180k7202360k720,45k180/290k180,注:终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边 一定相同.终边相同的角有无数个,它们相差,的整数倍.,理论迁移,例1.在0360范围内，找出与95012角终边相同的角，并判定它是第几象限角.,12948，第二象限角.,例1 在0360范围内,找出与-95012角终边相同的角,并判定它是第几象限角.,解: 95012=12948-3360 所以在0360范围内,与-95012角终边相同的角是12948,它是第二象限角.,理论迁移,例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360720的元素写出来.,解:终边在直线y=x上的角的集合 S=|=45+k360,kZ |=225+k360,kZ =|=45+k180,kZ